Matematiques anant pel carrer (5)

Comencem per un diari

Sota la bossa d'escombraries que hi ha posada al costat de la porta, a punt perquè la porti al contenidor, hi ha un full de diari per preservar el terra de possibles humitats no desitjades. Veig que els números de les dues pàgines (del mateix full) que estan cap a dalt són la 14 i la 35 i un seguit de preguntes em venen al cap:

1. Quins números estan a l'altre banda del full? 
2. Quantes pàgines té aquest diari? 
3. El número 20, on estarà: a la pàgina de la dreta o de l'esquerra? 
4. Quina serà la pàgina oposada de la 9? 
5. En algun moment el número de la pàgina de l'esquerra és més gran que la de la dreta?
6. Entre quines pàgines es veuen les grapes?
7. Quan sumen tots els números de pàgina del diari?

Les pàgines d'un llibre

Molts cops, quan s'acaba de llegir un llibre, ens trobem amb un dubte: per què hi ha una, dues o més pàgines blanques al final? quin paper juguen? serà per agafar apunts?

Tot té una raó. Ho hem preguntar a l'Enric, un amic que treballa en edició de llibres, i ens ho ha explicat. Cal dir que parlem de llibres cosits, no dels encolats. Un cop a casa per comprovar el que ens ha dit, agafem dos llibres de cuina: "Cuina per a solters" d'en Ismael Pardos i "El Gran Llibre de la Cuina Catalana" d'en Josep Lladonosa.

Comptem les pàgines que tenen en total aquests llibres, comptant també com a pàgines del llibre les blanques no numerades. El resultat és 192 i 720 respectivament. Si ara dividim el nombre de pàgines per 16, curiosament ens dóna un nombre enter, 192:16 = 12 i 720:16 = 45.
Això és degut a que per fer llibres cosits, en general, es fan "llibretes" (en diuen "plecs") de 16 pàgines o de 32 per després cosir-los. Per tant el nombre de pàgines d'un llibre per anar bé ha de ser múltiple de 16, i com que això és difícil de demanar als autors, complementen amb planes blanques. Proveu-ho amb algun dels vostres llibres. Molts llibres tenen un nombre total de pàgines múltiples de 16!
Us podeu trobar en que de vegades el quocient de la divisió no és enter (dóna 33,5 en el cas del llibre de Paul Auster "Creia que mi padre era Dios", per exemple). Això és degut a que arribar a un múltiple de 16 inclouria massa pàgines blanques i aleshores els editors  utilitzen un plec de 8 o fins i tot de 4 pàgines per "tancar el llibre."

Com és un plec?
Aquest és el model d'organització de les pàgines amb el que treballen a l'editorial de l'Enric

En aquest cas es tracta d'un plec de 32 pàgines. La mesura del full (16 impreses per les dues bandes)  si les pàgines del llibre fossin de mida DINA 4, és  un DIN A0, és dir un metre quadrat. Després cal plegar-lo i guillotinar-lo pels llocs indicats en vermell a la figura de la dreta, per a obtenir el plec.

Estudi d'un plec de 16 pàgines

Una bona activitat per portar a classe és construir un plec de de 16 fulls. Aquesta és la distribució de pàgines on a més de l'ordre s'indica el sentit del text de cada pàgina

Seguint aquest model, podem proposar als alumnes dividir un DINA4 en vuit rectangles iguals per cada banda, numerar els rectangles que representen les pàgines i construir el plec plegant-lo correctament.

Alguns aspectes per discutir: Tenint com a punt de partida la posició de la pàgina 1, la ubicació de les altres pàgines és un joc de simetries:

• darrera de l'1 ha d'anar el 2 però la direcció del text ha d'anar al revés. 
• al costat de l'1 ha d'anar el 16, perquè al plegar-les una sigui la pàgina inicial i l'altre la final

Descobrir que la suma de les pàgines que van de costat (1 i 16, 4 i 13, etc) és sempre la mateixa, és la clau de volta per resoldre l'activitat proposada. Si a més de construir el plec els fem escriure o explicar quines decisions han anat prenent per solucionar la tasca, aprofundirem molt més en el tema: "Que parlin ells"

Un joc de màgia plegant paper

Per acabar un joc de màgia que, com quasi sempre, hem après d'en Lluís Segarra.

• Feu dividir un full en 16 parts i escriure els nombres de l'1 al 16, en ordre (figura). Mentrestant escriu el nombre XXX en un paper i poseu-lo en un sobre.
• Feu doblegar el paper de la manera que vulguin (fent meitats, com un mapa, com un acordió...) fins que solament es vegi un dels rectangles numerats al davant.
• Retalleu els quatre costats de manera que els nombres us quedin solts, per poder-los utilitzar com a cartes.
• Separeu les cartes en dues piles: les que vinguin de cara les poseu en una pila i les que vinguin d'esquena en una altra.
• Demaneu a algú que sumi els nombres de la pila i digui en veu alta el resultat. Obriu el sobre i ensenyeu que aquest resultat coincideix amb el nombre que hi ha escrit (el nombre al que hem anomenat XXX). 

Quin és aquest nombre XXX que hauriem d'haver posat al sobre per tenir èxit en aquest joc? Serà realment "màgia"?