Nombres amb forma (III)

A partir de les fotografies de dos piràmides de taronges en un post anterior vam desembocar en els nombres oblongs, avui reprenem una d'aquelles dues fotografies per parlar dels nombres piramidals:

Aquests nombres són la suma de nombres quadrats consecutius començant des d'1, per tant, són piramidals els nombres: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ...

Algunes propietats dels nombres piramidals:

• aquesta successió està formada per dos nombres senars, seguits de dos nombres parells, seguits de dos senars, etc

En una graella de 5x5 hi
ha 25+16+9+4+1 quadrats

• aquests nombres apareixen en la solució del problema del càlcul del nombre de quadrats en una graella (per exemple, un tauler d'escacs)

• també apareixen en la solució del problema del càlcul del nombre de ternes en que el primer element és més gran o igual que els altres

• el nombre que ocupa la posició n de la successió dels nombres piramidals és ⅓ n (n+½) (n+1) tal com es veu a la següent prova visual:  

Una altra prova visual trobada a www.matematita.it que permet entendre perquè la suma dels quadrats dels primers nombres naturals és igual a  n(n+1)(2n+1):6.

http://mrhonner.com/2012/01/13/kitchen%C2%A0counting/

Val a dir que quan la base d'aquestes piràmides no són nombres quadrats sinó triangulars s'obtenen els nombres tetraèdrics: 

Són tetraèdrics els següents nombres 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969... (suma dels primers nombres triangulars)

Algunes propietats dels nombres tetraèdrics:

• aquesta successió està formada per un nombre senar, seguits de tres nombres parells, seguits d'un de senar, tres de parells, etc
• la suma de dos  nombres tetraèdrics consecutius dóna com a resultat un nombre piramidal (això és dedueix d'un fet comentat en el post anterior dedicat als nombres amb forma: la suma de dos nombres triangulars consecutius dóna com a resultat un nombre quadrat) 

• les relacions entre nombres quadrats i triangulars i entre nombres piramidals i tetraèdrics no són totes elles exportables. Per exemple: hi ha infinits nombres ques són quadrats i triangulars simultàniament (1, 36, 1225...) però només hi ha un nombre que sigui piramidal i tetraèdric: l'1 
• els nombres tetraèdrics es poden obtenir mitjançant la fórmula ⅙ n (n+1) (n+2)

Font: www.takayaiwamoto.com/Sums_and_Series/sumsqr_1.html
Aquí Tet_n representa l'enèsim nombre teraèdric i Tri_n l'enèsim nombre triangular

• els nombres tetraèdrics formen la quarta "columna" del triangle de Pascal, però d'aquest punt ja en parlarem en un post futur.