19 de juny de 2012

Nombres amb forma (I)


Fotoproblema del Richard Philipps
analitzat en un post anterior
Comencem aquest post amb una piràmide de taronges diferent de la que va aparèixer en el post de la setmana passada: Matemàtiques anant pel carrer (3). Allí vam veure que un alumne aconseguia calcular el nombre de taronges que havia a la foto (la mateixa que veiem aquí a la dreta) i deduir quantes n'hi hauria si la piràmide tingués un altre pis d'alçada, a partir d'identificar que en cada pis havia 1x2, 2x3, 3x4... taronges.  De la mateixa manera, en el cas de la piràmide que hi ha a l'inici d'aquesta entrada, cada pis està format per un nombre "quadrat": 1x1, 2x2, 3x3... Moltes vegades, en Matemàtiques, fem això de fer servir noms de figures per descriure nombres i els nombres 1x2, 2x3, 3x4... també reben un nom d'aquest tipus: es coneixen com a "nombres oblongs".


Per començar a estudiar aquests nombres us proposem començar amb un applet de l'Institut Freudenthal: "Problemas con puntos". La idea d'aquest applet és la identificació de patrons que permetin descobrir "fórmules" generals i aquest tipus de nombres per la seva senzillesa permet fer una suau introducció al tema.



Algunes propietats dels nombres oblongs:
  • per ser el producte de dos nombres consecutius, tots els nombres oblongs són parells
  • encara més: els nombres oblongs són la suma dels primers nombres parells
  • els nombres oblongs també es poden obtenir com la suma d'un nombre quadrat més la seva arrel quadrada
  • En un futur post podrem relacionar els nombres oblongs amb altres nombres amb forma: els triangulars. I aquests nombres ens donaran la possibilitat de relacionar la quantitat de taronges dels dos tipus de piràmides esmentades: les oblongues (les del fotoproblema) i les quadrades (com la de la imatge de l'inici d'aquest post)
COMENTARI FINAL: En el número d'abril de 1989 de la revista Mathematics Magazine va aparèixer una prova visual de la fórmula que permet calcular la quantitat de taronges de la piràmide del fotoproblema en funció de la quantitat de pisos: si la piràmide té n pisos, té n(n+1)(n+2)/3 taronges. Les proves visuals o proves sense paraules com aquesta jugaran un paper important en la sèrie de posts "nombres amb forma" que avui comencem.
http://mathdl.maa.org/images/cms_upload/269038922424.pdf

En relació al problema amb el que començavem aquest post, mireu què fantàstica activitat han compartit amb nosaltres les mestres de cicle mitjà de l'escola Montagut de Santa Sussana

16 de juny de 2012

MAMA POR!

Estem contents: els posts publicats sota el títol "Matemàtiques al carrer" han tingut una bona acollida. Sobretot ens han reafirmat la idea que mirar la realitat des d'un punt de vista de "plantejador de problemes" ens obre les portes a un treball molt interessant, creatiu i proper als alumnes.
Però sobretot estem contens per veure la interacció que poden produir posts com aquests: no feia ni un dia que estava penjat el post del pàrquing, que ja rebíem propostes de nous reptes, reflexions sobre els problemes plantejats i qüestions per a pensar-hi de nou.
Prova d'això és la resposta enviada pel bon professor i enemic íntim "JJ". Després d'enviar-nos dos comentaris curts, que ja amenaçaven, va enviar-ne un de llarg. En aquest darrer ens diu que els dos primers eren precipitats, que aquest és "el de veritat" i que publiquem, si ho trobem oportú, solament aquest darrer. Finalment hem decidit dedicar-li un post.

Creiem que la millor manera de transmetre la impressió que vàrem tenir després de llegir el seu comentari és la que més o mes o menys  reflecteix la criatura de la fotografia

photo credit: maestropastelero via photo pin cc
El Comentari d'en JJ
Ara va un comentari que potser és massa llarg per fer-ho com a comentari.
Aquest matí estava fent una feina de molta concentració i estava cansat. Per desconnectar m'he posat a mirar-me lo del puntmat i he fet el primer comentari. He seguit fent feina i m'he pres uns segons de descans fent un excel per mirar-m'ho. He fet el segon comentari. Però m'ha quedat un run-run. Primer he vist que m'havia equivocat hi havia fet els càlculs per 2 minuts en comptes de dues hores. Però el run-run seguia i al cotxe s'ha fet la llum: tants decimals no serveixen per res.
Ara a casa he fet un altre excel
Suposant que un cotxe s'està dues hores al pàrquing i que passen un milió de cotxes de tres decimals a sis la diferència és 2760 €. Si imaginem que cada dues hores canvien tots els cotxes d'un pàrquing de 600 places al milió s'arriba en menys de mig any. Però l'error està aquí. És com si comptéssim que és un sol cotxe que s'està dos milions d'hores i això és fals. El que és cert és que cada vegada, a cada cotxe quan paga se li fa el càlcul i el seu arrodoniment a dos decimals.L'efecte acumulatiu es perd. L'arrodoniment pot ser a l'alça o a la baixa.
He mirat quina importància té el tercer decimal en l'arrodoniment. Curiosament és inferior al 50% per l'excés. Hi ha més arrodoniments a la baixa que a l'alça. El 8, com a tercer decimal, fa 4 excessos i 6 defectes. El 5 fa un 50% de cada.
Jo crec que als pàrquings on es foten és en l'arrodoniment a l'alça del temps: 3 min i 20 seg seran 4 minuts.
Per tant el reguitzell de decimals crec que només fa una funció psicològica: fer creure que el preu és molt ajustat i que al ser 0,0.... amb molts decimals és un nombre molt petit.
M'hauré de pensar el cas de la benzina. Si jo fos benziner sempre posaria el tercer decimal amb 6 o 9. Són els més alts amb 50% d'excessos. Feu amb aquest macrocomentari el que vulgueu. O discutiu-me'l que potser alguna cosa se m'ha escapat.


El nostre comentari
Després del "canguelo" inicial ens ha tornar la alegria: pensar que les situacions obertes obren un espai molt interessant. Pot passar que molts cops la intervenció dels alumnes  ens desmunti la nostra idea inicial. És possible que entrem a una discussió que fins i tot, d'entrada, ens depassi a nosaltres. Ens trobarem que l'haurem d'atacar colze a colze amb els alumnes. Hi ha alguna cosa millor que aquesta?.


 Finalment: esteu d'acord amb el que diu en jj en el seu comentari?


clicar a  la imatge per accedir al post
No ens allarguem més. Estem "perdent" la tarda del dissabte intentant resoldre el maleït  problema dels pingüins que ens ha proposat en JJ en el seu últim post (clicar imatge per accedir-hi) li maleïm, de nou, els ossos.

13 de juny de 2012

Matemàtiques anant pel carrer (3)

Un altre matí en el que cal anar pensant sobre alguna activitat "de carrer" per portar a classe. De sobte passant per davant d'una oficina de "La Caixa" al Carrer de l'Escorial del barri de Gràcia a Barcelona, em crida l'atenció aquest conjunt de tres "finestretes" 


 Tot i que l'estat de les rajoles no és massa atractiu, la disposició ja convida a fer la pregunta: dibuixar les dues finestres que continuarien la sèrie, per preguntar posteriorment quantes rajoles es necessitarien per fer la vuitena finestra, la dotzena, la que fa 25... o la "n"

És important que "parlin ells" és a dir que redactin l'explicació dels seus raonaments. Això ens pot portar sorpreses com per exemple certs raonament geomètrics com el següent:


Cada finestra nova té vuit rajoles més que l'anterior: si moc  dues rajoles, la del mig de dalt i de baix, fins a l'altura de la finestra anterior, queda clar que n'afegeixo quatre a dalt i quatre a baix.

Aquesta activitat fa pensar en l'aprofitament de la fotografia per fer Matemàtiques. En aquest cas no ens referim a la coneguda "Fotografia Matemàtica" i als seus concursos tant atractius, sinó més aviat a la idea de "Fotoproblemes": plantejar un problema a partir d'una imatge com per exemple: 


  1. Quantes taronges hi ha en aquesta pila?
  2. I si tingués un pis més?
Aquesta fotografia, així com la proposta, forma part d'un CD publicat per Richard Philipps. Podeu trobar-ne la informació aquí, així com una petita mostra d'altres fotoproblemes.

Acabem amb un parell d'exemples de treballs d'alumnes de quart de Primària treballant aquest problema. Volem fer notar la importància de l'explicació de la resolució, en la  que cal exigir una presentació ordenada i que  pugui ser entesa còmodament per part dels altres. 

En el cas de la primera alumna, apart de la seva resposta correcta, veiem que no sempre els alumnes entenen el que preguntem: ha pensat que el pis que es posa de més era el de dalt i per això ha contestat 41 a la segona pregunta.

El segon alumne ens mostra un molt bon exemple de com "comunica" el seu procés. Aquí "ens explica" quina estratègia ha utilitzat per comptar les fileres (multiplicar) cosa que no passa en la primera alumna, la qual cosa li permet fer un pas més en la descoberta del patró que li permet generalitzar de manera més fàcil.


Descobrir regularitats
El problema plantejat al principi també el trobem en un applet protagonitzat per Arquimedes, que crida Eureka! quan escrius correctament el patró. El recomanem! clicar imatge. Avís: en una revisió posterior (2013) han desaparegut els enllaços d'aquest applet, una pena!. Si els localitzeu ens ho feu saber via comentari o mail


Es complementa amb dues versions més que presenten altres mosaics: tiles1 i tiles2.
Posts anteriors relacionats: Anant pel carrer (1)  Anant pel carrer (2)

10 de juny de 2012

El tangram del Median (2a part)

Tangram obtingut d'un
rectangle de 6 x 4
Comentant amb d'altres persones les possibilitats del tangram del Median del que ja hem parlat en un post anterior, ens vàrem preguntar: i què passaria si les quatre peces del tangram no s'obtenen a partir d'un quadrat sinó a partir d'un rectangle de 6x4?

La primera conseqüència és que poden obtenir 10 quadrilàters diferents (un menys que amb el tangram que va ser proposat al Median). La segona conseqüència és que els triangles obtinguts serien triangles rectangles en que la mida del seus tres costats són nombres enters: 3, 4 i 5 (a diferència de les peces del tangram original en que les peces tenen sempre un dels costats de longitud un nombre irracional) i això permet proposat com a activitat el càlcul del perímetre dels deu quadrilàters. La sorpresa és que aquests quadrilàters d'àrea 24 només poden tenir tres valors de perímetres diferents, la qual cosa permet visualitzar tres grupets de figures diferents que comparteixen valors de perímetre i àrea (en la imatge apareix el valor del perímetre indicat en cada quadrilàter)


A la imatge anterior falta aquest altre quadrilàter de perímetre 24 trobat per alguns dels alumnes de la especialitat "Matemáticas" del "Máster en didácticas específicas" de la UAB i la UNAN (Carazo, Nicaragua):
També faltava aquest altre paral·lelogram de perímetre 28! (ens va comunicar aquesta abscència @druizaguilera a partir de la proposta que va fer @calaix2 als alumnes del posgaru "Expert Universitari en Matemàtiques de l’Educació Primària" de la UIB)




Aquí veiem imatges d'alumnes de 1r d'ESO treballant amb aquest tangram:




Les següents preguntes són naturals: què passaria si les quatre peces fossin com escaires (o sigui que cada triangle és mig triangle equilàter)? i si fossin com cartabons (o sigui que cada triangle és mig quadrat)?
Tangram obtingut d'un rectangle
compost per quatre escaires



En el cas de peces amb forma d'escaire, tres combinacions de peces que en el cas del triangle de Median generaven diferents quadrilàters, ara generen el mateix rombe:

Això implica que la quantitat de quadrilàters que es poden obtenir són uns quants menys:


Tangram obtingut d'un
rectangle de 6 x3


En el cas de peces amb forma de cartabó només es poden obtenir 5 quadrilàters!!



5 de juny de 2012

La suma de tots els angles...

Després de treballar que la suma dels angles d'un triangle és 180º i d'un quadrat és 360º hem volgut presentar als nostres alumnes (1r d'ESO @escolasadako) una petita investigació en que aquest coneixement juga un paper central. Els hem demanat exemples de triangles que tinguessin exactament 1, 2 o 3 angles obtusos, aguts i rectes i que en cas que aquests exemples fossin impossibles de trobar, ens expliquessin la raó.

Primer havien de fer-ho a la llibreta:


Per passar després a fer un pòster amb les seves troballes: 




El resultat final ha estat aquest:


Per suposat que hi ha hagut exemples que han costat més de trobar que altres i que hem hagut d'incidir molt en la precisió dels gràfics i en l'ús de transportador en casos en que l'angle era proper a 90º però, tal com era d'esperar el que han trobat més difícil ha estat la justificació dels cassos impossibles. Quan treballaven amb triangles, per exemple, per explicar que no pot haver triangles amb dos angles obtusos recorrien més a imatges visuals "es que els dos costats s'anirien cap enfora i no formarien un tercer vèrtex" que a arguments del tipus "no pot ser que tingui dos angles obtusos perquè entre ells ja sumarien més de 180º". A força de guiar-los en aquestes discussions per a triangles, en el cas de quadrilàters ja han aparegut arguments d'impossibilitat basats en que la suma dels seus angles és sempre de 360º.  


1 de juny de 2012

Matemàtiques anant pel carrer (2)

El rètol del pàrquing
La setmana vinent vull fer una altra activitat de vida quotidiana lligada amb les Matemàtiques (veure l'anterior aquí). Les antenes tornen a estar a punt per localitzar situacions mentre vaig pel carrer. En entrar al pàrquing, el rètol de l'entrada em crida l'atenció per la quantitat de xifres decimals que té el preu del minut: 0,048023 €.
La preguntes són immediates: per què té tants decimals? és necessari posar-ne tants? canvia significativament si arrodoneixo? en quina mesura? quina importància deu tenir per a la butxaca de l'usuari? i per a l'economia de la empresa? quant deu representar això al cap d'un any?
Un càlcul ràpid, fet amb al mòbil (no porto llapis i paper per fer algorismes) em recorda que en un any de 365 dies hi ha 525600 minuts. Segurament el nombre de xifres decimals pot influir més del que sembla.

Una primera activitat a fer podria ser  calcular com varia l'import que comporta tenir  un cotxe aparcat una jornada laboral,mdurant tot un any, segons les diferents  aproximacions successives: 0,048023, 0,04802, etc. En primer lloc és un bon exercici d'arrodoniment,i a més  permet valorar a partir de quin punt deixa de ser rellevant, sobretot si es calculen les diferencies per a un pàrquing de 200 places enlloc de per a un cotxe. 




Una sorpresa i un dubte

Dins del pàrquing hi ha exposada la llista de preus, segons els  minuts. La sorpresa és que el preu de l'hora en aquesta llista (veure figura)  és de 2,85€ el que signifiquen 4 cèntims menys per hora que la que indica el rètol de l'entrada.

Comptant per hores i suposant el cas d'un cotxe que hi estigui 13 hores diàries en horari matinal, la diferència entre els dos preus representa prop de  200€ l'any.

Si suposem les 200 places ocupades 13 hores aquests 0,04€ de diferència, representarien un benefici o pèrdua d'uns 38 000€.

No m'he parat a comprovar a quin preu cobra la màquina quan et cobra l'hora, però es pot imaginar.








El preu del pàrquing a classe.
Com ho portem a la classe? Proposem dues opcions diferents: mini-projecte o llistat de problemes

Plantejar-ho com a miniprojecte
És una feina molt interessant. La feina important dels alumnes és "posar-se les olleres de fer mates" fer-se preguntes, resoldre situacions i conjecturar que passa. Pot acabar en un informe o presentació sobre el que han trobat, on les taules i gràfics explicatius siguin una part important del treball. Pot incorporar també, una proposta de formulació de problemes per resoldre, de cara als seus companys.
Llistat de problemes
Hem fet una llista indicativa, uns quants exemples, en els que cal tenir a la vista el cartell i el llistat de preus, ja que depenen de l'hora del dia en que es deixa el cotxe. Aquí en teniu una mostra. Utilitzem la llista per a fer els càlculs, però cal tenir en compte els preus del rètol per a aplicar les tarifes "especials" (nit, més de 13 hores)
  1. Entro a les 8: 32 del matí i surto a les 16, 56 de la tarda. Quan pagaré?.
  2. He entrat a les 20:45 i he recollit el cotxe a les 2:18. Quant m'ha costat?
  3. He pagat 37,45 € de pàrquing.A quina hora he entrat i a quina hora he sortit?
  4. Vas al matí a passejar per una ciutat i vols anar a sopar. Troba un interval horari en el que et surti a compte pagar la quota de la nit encara que marxi a les 2 de la matinada. És possible?
  5. He pagat 7,80. A quina hora he entrat i a quina hora he sortit?
  6.  He pagat 38 €. Quants hores ha estat el cotxe al pàrquing?
  7. Inventa un problema i explica la seva solució.
Cal dir que alguns d'aquests problemes són de resposta oberta. Depenent de l'edat dels alumnes podeu demanar trobar una solució o definir les diferents possibilitats
Esperem que si inventeu algun problema o situació  que us agradi ens el poseu en un comentari.

Altres ambients en que el nombre de xifres  decimals és  important
El rebut de la llum
Buscar i treballar altres situacions on el nombre de xifres decimals sembli exagerat pot ser una tasca entretinguda. En el rebut de la llum veiem que també s'aproxima en el preu del kw  fins a sis xifres decimals. Ignorem que és l'1,05113 de l'apartat de l'impost,  ni tampoc sabem per quina raó solament s'aproxima fins a 5 xifres decimals (a no ser que l'´última xifra sigui un zero i la màquina l'amagui).

Els canvis de moneda
En el moment d'escriure aquest post l'euro es canvia a 1,3206 €, no sabem demà a quin preu anirà: en aquest moments de crisi l'única cosa que creiem  estar segurs és que, sigui quin sigui el valor del canvi, el continuaran donant amb quatre decimals (com a mínim el diari que hem mirat). Aquí les situacions són fàcils de trobar, sobretot a principi de temporada amb els fitxatges de estrelles de l'esport, per exemple.

El preu de la benzina
Quina influència té o pot tenir l'última xifra decimal en el consum en un interval llarg de temps: un any o per exemple la durada mitjana d'un vehicle.