Wiris, Simpsons i Fermat

Wiris és una calculadora, que es pot fer servir online, d'enorme potencial per treballar a l'aula. En aquesta entrada analitzarem únicament la possibilitat de treballar amb nombres de moltes xifres (cosa que no permeten altres calculadores que per nombres de més de unes 10 xifres ja fan sevir notació científica).

Versió simplificada de la Wiris suggerida per a Primària http://www.wiris.net/demo/wiris/ca/elementary.html

Per comentar la potencialitat d'una calculadora que permeti expressar nombres de tantes xifres exposarem un exemple d'una activitat inspirada per un vídeo de Numberphile (Fermat's Last Theorem & Homer Simpson) i una entrada del blog Gaussianos (El último teorema de Fermat y los Simpson) i proposada a alumnes de 3r d'ESO.

L'activitat comença presentant als alumnes l'enunciat del teorema de Fermat amb una imatge que apareix al vídeo abans esmentat i s'els demana que expressin aquest enunciat amb paraules.

Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans

Després s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 6 de la setena temporada de The Simpsons i s'els demana que expliquin per què aquesta igualtat, si fos certa, contradiria el teorema de Fermat.

Imatge del post del blog Gaussianos esmentat abans

Havent arribat a la conclusió de que no pot ser certa, es proposa als alumnes esbrinar per què hi apareix aquesta igualtat. Es suggereix començar fent els càlculs que allí apareixen amb calculadora:

Resultats obtinguts amb la calculadora del Google però anàlegs
als que s'obtindrien amb qualsevol calcualdora científica de butxaca

Semblaria que els resultats són iguals. Com a mínim, ja veiem que els dos resultats tenen la mateixa quantitat de xifres i que les 8 primeres coincideixen (sobre la novena no sabem si efectivament és un 3 o podria ser un 2 "arrodonit") però com que hi ha moltes xifres que no es veuen es proposa  repetir els càlculs amb la Wiris:     

O sigui que per sort, per la consistència del coneixement matemàtic, la igualtat que apareix a la sèrie és falsa. A continuació es proposa als alumnes cercar algun argument per justificar aquesta falsetat  sense necessitar una calculadora tan específica. Per arribar a aquest argument els proposem classificar els tres nombres involucrats (1782^12, 1841^12 i 1922^12) segons siguin senars o parells i deduir d'aquesta classificació que la igualtat és falsa (no pot ser que un nombre senar i un de parell donin un resultat parell).

Per acabar s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 2 de la desena temporada de The Simpsons on torna a aparèixer una d'aquestes igualtats que sembla refutar el teorema de Fermat i es torna a demanar als alumnes que verifiquin que és una igualtat falsa. 

La falsetat d'aquesta segona igualtat és una mica més difícil de justificar perquè no només coincideixen la quantitat de xifres dels dos resultats i els 10 primers dígits de les seves expressions decimals sinó que també tenen el mateix últim dígits. Per tant, aquí la classificació de les potències en senars i parells no serveix però es pot verificar fàcilment que els sumands són múltiples de 3 i el resultat no!!

Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans

Entrada redactada amb la col·laboració de la Gemma Garcia