Pràctica productiva: equacions de segon grau

Al post Pràctica productiva i Pràctica reproductiva ja vam comentar com es pot fer l'imprescindible treball relacionat amb destreses bàsiques ambientant-lo en la resolució d'un problema. En aquella ocasió ens centràvem en destresses aritmètiques i en Primària (encara que el problema que allí es presenta "Diffy" l'hem proposat també al primer cicle de l'ESO amb molt bon resultat), avui la proposta és centrar-nos en destresses algebraiques i en el segon cicle de l'ESO (sí! aquí també hi ha lloc per convertir la pràctica reproductiva en productiva)

Ensenyem als nostres alumnes a resoldre equacions de segon grau i després cal que practiquin aquesta destressa. Per què no substituir per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental les llargues llistes d'equacions que han de resoldre simplement aplicant una fórmula?

Un exemple de fitxa de treball

1. Tria tres nombres a, b i c de tal manera que b=a+c. Resol l’equació ax2+bx+c=0. Fes-ho amb altres ternes de nombres. Què observes? 
2. Tria tres nombres a, b i c de tal manera que a+b+c=0. Resol l’equació ax2+bx+c=0. Fes-ho amb altres ternes de nombres. Què observes? 
3. Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
• x2 + 7x + 12 = 0 i 12x2 + 7x + 1 = 0
• x2 – 5x + 6 = 0 i 6x2 – 5x + 1 = 0 
• 2x2 – 7x + 3 = 0 i 3x2 – 7x + 2 = 0
• x2 – 13x + 42 = 0 i 42x2 – 13x + 1 = 0 
4. Resol aquestes equacions i conjectura alguna conclusió 
• 7x2 – 50x + 7 = 0 
• 6x2 – 15x + 6 = 0 
• 4x2 – 17x + 4 = 0 
• 9x2 – 30x + 9 = 0
5. Una equació de la forma ax2+bx+c=0 té coeficients 1, 2 i 5. Què és més probable: que tingui solucions reals o no? 
6. Omple la taula:

Els nostres alumnes podran arribar a diferents conclusions: 

• a la proposta 1: ax2+bx+c=0 si b=a+c sempre té una solució igual a -1
• a la proposta 2: ax2+bx+c=0 si a+b+c=0 sempre té una solució igual a 1
• a la proposta 3: quan són reals, les solucions de ax2+bx+c=0 són els inversos de les solucions de cx2+bx+a=0
• a la proposta 4: quan són reals, les solucions de ax2+bx+a=0 són dos nombres inversos ente si
• a la proposta 5: per analitzar si les solucions són reals o no, les sis equacions que tenen aquests coeficients es poden classificar en tres grups segons qui ocupi el lloc del coeficient b 
• a la proposta 6: la suma de les solucions de ax2+bx+c=0 coincideix amb l'oposat de b/a i el producte de les solucions coincideix amb c/a

I alguns dels nostres alumnes podran, fins i tot, justificar que aquestes conclusions són vàlides sempre.

Afegitò: una setena proposta passa per relacionar

• les solucions de ax2+bx+c=0 amb les de ax2–bx+c=0 preguntant: Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
• x2 + 7x + 12 = 0 i x2 – 7x + 12 = 0
• x2 – 5x + 6 = 0 i x2 + 5x + 6 = 0 
• 2x2 – 7x + 3 = 0 i 2x2 + 7x + 3 = 0
• x2 – 13x + 42 = 0 i x2 + 13x + 42 = 0 

• o les solucions de ax2+bx+c=0 amb les de ax2+2bx+4c=0 preguntant: Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
• x2+ 3x + 2 = 0 i x2+ 6x + 8 = 0
• x2+ x - 42 = 0 i x2+ 2x - 168 =0
• 2x2- 5x - 42 = 0 i 2x2- 10x -168 = 0

Una vuitena proposta: Si en cada requadre posem un 1, un 2 i un 3 ¿quines solucions racionals es poden obtenir?

Solució:

• 1x2 + 2x - 3 = 0 solucions: 1 i -3 
• 2x2 + 1x - 3 = 0 solucions: 1 i -1/2 
• 3x2 + 2x - 1 = 0 solucions: -1 i 1/3 
• 3x2 + 1x - 2 = 0 solucions: -1 i 2/3

La pràctica productiva també cap en un examen:

Resol x2–11x+24=0, 2x2–11x+12=0 i 4x2–11x+6=0.
Podries dir quines són les solucions de 8x2–11x+3=0 i 16x2–11x+1.5=0 sense resoldre-les?

I després de la primera sessió del curs Activitats enriquidores i competències matemàtiques a l'aula de secundària ha arribat la novena: