Les barretes i l'Emma Castelnuovo (1)

El Meccano va ser un joc que la vella generació vàrem gaudir a la nostra infància. Aquest joc, a l'època de l'eclosió dels materials manipulatius va ser aprofitat pels didàctics de l'època per proposar unes classes de Matemàtiques més "actives".

Ens referim a les barretes de ferro, de diferents longituds, i plenes de forats, que apareixen a la imatge inferior. Van ser utilitzades per crear polígons manipulables i per poder experimentar o descobrir diferents propietats. Era el temps que es parlava de Geometria Dinàmica o també de "Geometria a través de les transformacions". Aquest article de J. A. Mora és un exemple del treball amb barretes.

Tret de http://en.wikipedia.org/wiki/Meccano

Les barretes aplicades a construir polígons i l'Emma Castelnuovo

Identificar les barretes amb l'Emma Castelnouvo està plenament justificat ja que en el seu llibre (de text) "La Geometria" el primer que fa és estudiar els triangles a partir de la utilització de barretes, que en el seu cas no són de Meccano sinó d'un material genial, anomenat "Construiamo la Geometria" (Firenze, La Nuova Italia 1963). Aquesta és la llista del seu contingut:

No sabem de qui és el disseny (creiem que és de l'Emma, però si algú ho sap del cert , que ens ho faci saber). Aquest material va molt més enllà del Meccano, i en donem algunes raons:

• Les barretes (encaixables fent pressió) són de diferent color segons la seva longitud, el que permet distingir fàcilment quins costats tenen la mateixa longitud i quins no.
• Incorpora gomes de manera que es puguin construir polígons, posant les barretes con a diagonals i les gomes representant els costats (o les barretes fent de costats i les gomes com a diagonals)
• Incorpora angles, el que permet plantejar construccions no solament jugant amb la longitud dels costats sinó també amb els seus angles.

Aquest material estava, fa molts anys, a l'aula de material de l'Escola de Magisteri de la UAB (actual Laboratori) fins que algú va decidir que se l'emportava, una pena.

Els materials d'ara

Proyecto Sur (n'hi ha d'altres marques) distribueix una versió en plàstic en la que solament hi ha les barretes i els encaixos.

Si volem disposar de les mateixes oportunitats que oferia el material original, cal completar-lo amb uns angles de fabricació artesanal (com els que es veuen a les fotos anteriors) i gomes elàstiques.

Uns quants exemples d'activitats
Presentem una tria d'activitats que hem realitzat a les aules. Algunes directament importades del llibre de la Castelnuvo, d'altres d'algun article, i també algunes que hem reinventat.

Indeformabilitat i determinació d'un polígon
Es tracta de proposar als alumnes construir un triangle i un quadrilàter amb les barretes i veure que el triangle es manté indeformable i el quadrilàter no. Una activitat molt interessant de comparació que ens obre forces possibilitats:

• La majoria de prestatgeries es recolzen en escaires i no en formes de més quantitat de costats, per què?
• Copiar un quadrilàter dibuixat en un altre lloc de manera que sigui exactament igual. Quines mides cal prendre?

Estudi d'una figura i geometria dinàmica

Les diagonals estan representades per gomes

La idea de Geometria Dinàmica defensada per Catelnuovo, es basa en treballar les propietats de les figures identificant quines coses canvien i quines no quan movem la figura transformant-la en una altra. Per exemple, podem proposar als alumnes partir d'un rectangle i passar per diferents paral·lelograms fins a arribar a no tenir un quadrilàter (tindriem "un segment" que es forma en la superposició de les barretes: la vermella i groga superior amb les inferiors).

La Castelnuovo comenta que aquesta és una bona oportunitat per conjecturar què passa amb la suma dels angles d'un paral·lelogram (quan els alumnes no sabem que passa amb la suma dels angles d'un quadrilàter). En la posició inicial (rectangle) la suma dels angles dóna 360º ja que els quatre angles són rectes, si vaig acostant dos vèrtexs oposats d'aquesta figura fins a no tenir quadrilàter també la suma dóna 360º perquè dos angles són de 0º i els altres dos són angles de 180º. Què passarà amb les altres posicions?

Suma dels angles d'un triangle
Castelnuovo treballa molt sobre aquesta idea de arribar "al límit" per intuir que si en una transformació en començar i acabar es dóna el mateix resultat aleshores podria ser certa la generalització. Ho explica perfectament al capítol 2 del llibre "El Material para la enseñanza de las Matemáticas" de la editorial Aguilar.

Per treballar que la suma dels angles interiors d'un triangle és 180º parteix d'una justificació clàssica (i manipulativa!) i en fa una crítica molt clarificadora de la seva manera de pensar.

Castelnuovo escriu: "En esta ocasión se ha hecho uso de un material (la cartulina) y la ejecución de algunos pliegues pero el proceso no es espontáneo en absoluto, puesto que se precisan las sugestiones del maestro"

La seva proposta passa per l'ús d'un "artefacte" consistent en una goma que passa per dos claus (punts A i B) clavats en una fusta i que es estirada des del vèrtex (C) en direcció perpendicular a la base.

No reproduïm aquí tot el text que acompanya a la imatge anterior, en farem un petit resum de les observacions que poden sorgir per part dels alumnes.

• La base no canvia.
• Tots els triangles que surten són isòsceles i n'hi ha un de rectangle. 
• L'angle C quan el vèrtex s'acosta a la base es fa gran, els angles A i B es fan petits, i al revés si tibem cap a dalt: 
• C s'acosta molt a 180º a mesura que s'acosta a la base.
• Si anem amunt A i B creixen i es van acostant a molt a 90º. Si tiréssim molt amunt els angles A i B estarien molt a prop dels 90º. Entre tos dos 180º

Si en els dos casos extrems la suma és molt a prop de 180º, podríem pensar que sempre és 180º? Així acaba la presentació. No us podeu perdre les reflexions posteriors que fa en el llibre sobre aquest tipus de pensament i sobre la seva decisió d'apostar per aquesta manera de motivar a les conjectures malgrat que les generalitzacions que provoca no sempre són certes. Ho trobareu clicant a "més informació" al final del post. 

Jugar a definicions i propietats

Aquí la proposta consisteix en construir quadrilàters diferents posant barretes com a diagonals i classificar-los ens aboca a discussions molt interessants. Què pot passar?

• Que les diagonals tinguin la mateixa longitud o no
• Que els angles que formen siguin perpendiculars o no
• Que el punt de tall sigui 
• el punt mig de les dues barretes
• el punt mig d'una d'elles però no de l'altra
• no sigui el punt mig de cap de les dues diagonals

Exemple d'un cas en el que veiem que els rombes són un cas particulars dels romboides (o paral·lelogams en general) i identifiquem un paral·lelogram com a una figura que les seves diagonals es troben en el punt mig

Després de la classificació podem anar cap a definicions, en alguns casos, alternatives a les que presentem habitualment:

• Un quadrat és un rombe que te les diagonals iguals
• Un rectangle és un paral·lelogram de diagonals iguals
• Els quadrats són rectangles que tenen les diagonals perpendiculars

I d'aquí podem conduir la classe cap a discussions dels mateixos alumnes i la cerca d'arguments o contraexemples. Per exemple, el Pau ha dit que un rectangle és un quadrilàter amb les diagonals iguals, podries construir un quadrilàter amb les diagonals iguals que no sigui un rectangle?

Del treball amb barretes a les construccions geomètriques
Les barretes són un bon suport per entendre l'ús del compàs. 

 

Com es construeix un triangle a partir de les mides dels tres costats? Si posem un llapis al forat i dibuixem el moviment que fan les barretes per trobar-se una amb l'altra, així com la base del triangle i traiem les barretes, "apareix" el dibuix. L'exemple de la dreta de la imatge superior, tret del llibre de la Castelnuovo, mostra el cas en el que el triangle no es pot construir. Podem fem redactar als alumnes quina condició han de complir els tres costats d'un triangles perquè es pugui construir... encara que aquesta empresa no es tant fàcil com pot semblar.

Un desig final

El llibre de la Castelnuovo va ser publicat en català, a iniciativa del grup Periòdica Pura*, per la Editorial Ketres. Ara està descatalogat... i és una pena. Es podria fer alguna cosa per recuperar-lo, com per exemple penjar-lo (legalment) a la xarxa i així proporcionar als docents un gran llibre.

* Periòdica Pura va ser un grup de treball de Rosa Sensat format per Claudi Alsina, Carme Burquès, David Barba, Isabel Batlle, Joaquim Giménez i Josep Partagàs.
Extracte del Capítol III del llibre “El material para la enseñanza de las Matemáticas” escrit per Emma Castelnuovo: “El objeto y la acción en la enseñanza de la Geometria intuïtiva” on fa una reflexió a partir d’un exemple concret: suma dels angles intern d’un triangle.

Comença amb un revisió crítica d’una presentació feta amb material manipulatiu (pg. 36)

Presenta la seva proposta feta des de l’òptica de la “Geometria Dinàmica”

Aquest post té una continuació a Les barretes i l'Emma Castelnuovo (2)