23 de gener de 2014

Aritmètica al marge dels algorismes.

Podem fer moltes Matemàtiques abans dels algorismes
Un dels temes recurrents en l'ensenyament de les Matemàtiques és el paper estructurador que juguen els algorismes. Força gent està posant en entredit el seu paper protagonista, i molta està d'acord en que, segons com es miri, representen una gran pèrdua de temps.
També és certa  l'opinió que restar importància als algorismes col·loca als mestres davant un paisatge que els produeix molta inseguretat, i als pares també.

Però volem donar-li la volta al mitjó: enlloc de pensar com ho enfontrarien els mestres pensem en que passaria amb els nens.  Ens plantegem què pot passar (o millor dit, que passa) si s'endarrereix la presentació dels algorismes i es continuen fent les mateixes situacions, activitats o problemes, deixant que els alumnes les solucionin amb les seves estratègies emergents. Per poder fer això els alumnes han de dominar un seguit d'habilitats bàsiques i estratègies que els permetin les eines necessàries per poder resoldre les situacions.

No es pot dir que l'aportació de l'algorisme de la suma pel que fa les habilitats sigui fantàstic: solament han de saber sumar dígits, i "posar un 1 a dalt a  l'esquerra" si és que en porten una.
Imaginem per un moment que proposem una suma a un grup d'alumnes als que s'ha endarrerit la presentació de l'algorisme de la suma,  amb els que s'ha treballat l'actitud de "buscar-se la vida".

Potser millor que imaginar-s´ho veiem dues respostes d'un alumne de un grup de primer als que no se'ls va presentar l'algorisme estàndard de la suma.

Si fem una lectura de la seva resolució el primer que destaca és la comunicació o si voleu el registre, que fa de la seva feina.
Analitzant el procés una possible descripció del que ha fet seria la següent:
  1. suma 30 + 30 i li dona 60 (anota) ,  
  2. per sumar el 8+3 , primer, suma 8+2, li dóna 10, que sumats als 60 anterior fan 70, xifra que apunta, i li suma l'1 que quedava encara de la suma 8+3. El resultat 71, el posa al començament.
Estem molt contents de mostrar aquest exemple ja que la promoció de l'alumne que el va realitzar, estan fent actualment 4t d'ESO, i han anat creixent en Matemàtiques sota aquesta idea, el que implica que fa 10 anys que estem treballant amb aquest enfocament i les actituds que crea ens agraden. Us convidem a provar-ho.


 Volem destacar que aquest alumne està aplicant l'estratègia de descomposició, és a dir per sumar dues quantitats suma per una banda les desenes, per l'altre les unitats i finalment agrupa. Aquesta precisament és l'estratègia que utilitza l'algorisme estàndard, però d'una manera "comprimida" el que el fa poc transparent a ulls dels alumnes. Així dons quan aquest alumne més endavant, potser fins i tot en un altre curs conegui l'algorisme estàndard, l'entendrà com una simplificació en el món dels símbols, del que ja sap fer.
No es pot negar que el "text matemàtic" escrit per l'alumne és fantàstic, ordenat i a més correcte. No ha posat tots els símbols (no hi fa res, ja vindran estem construint llenguatge). A més es posa de manifest una de les estratègies bàsiques de càlcul que s'inicia en l'interval 0-20: el "salt del 10" en una suma, que comentem més endavant.

La segona suma 26+66 deixem que sigueu vosaltres els que esbrineu que ha fet, però no volem que passi alt l'estil d'aprenentatge de molts alumnes a aquestes edats: solucionar fets que no saben, o dels que no estan segurs del tot, partint de fets que coneixen: per fer 6+6 fa 5+5 (que s'ho sap) i "recupera" els 2 que ha deixat. És el que en diem "fets coneguts/fets derivats, i representa una l'alternativa a les memoritzacions sistemàtiques i per repetició, com per exemple en les taules de multiplicar. Diríem que els alumnes més competents aprenen de memòria utilitzant aquesta manera de pensar.

Treball paral·lel
Per poder "jugar amb el càlcul" d'aquesta manera cal treballar unes habilitats i estratègies determinades, poques de fet, que llistem a continuació. De totes maneres el procés no és separat: aquestes habilitats, un cop iniciades, es treballen paral·lelament resolent problemes. És un primer exemple del que estem treballant actualment que anomenem "pràctica productiva". Aviat en farem un post.

Les habilitats i estratègies
Per poder fer una Aritmètica al marge dels algorismes i en el camp de les operacions additives una proposta (de fet la que apliquem) sobre les  habilitats bàsiques necessàries per a construir la bastida podria ser:
  1. Comptar endavant d'un en
  2. Comptar endarrere d'un en un
  3. Dir el posterior de un nombre (oralment i de manera ràpida, no com exercici escrit)
  4. Dir l'anterior (un nen que no sàpiga dir de manera ràpid l'anterior no serà eficaç restant)
  5. Sumes de dígits (implica el seu pas invers descomposicions) 
  6. Dobles (molt utilitzats per fer sumes de "quasi dobles" com per exemple per calcular 4+3, "cridar" al 4+4 ja sabut utilitzant "fets coneguts/fets derivats")
  7. Descomposicions del 10 (i sumes que donin 10)
  8. Comptar endavant i endarrere de 10 en 10 a partir del zero o de  qualsevol nombre
Amb aquestes 8 habilitats i les estratègies de descomposició i la de salts en tenim prou per resoldre tots els problemes de cicle inicial. Perquè no provar-ho?  

El pas de 10 i la suma
El pas de la desena (per sumar 8+7 la majoria de gent adulta utilitza aquesta estratègia: fa 8+2+5 o alguna variant que "passi per la desena") és una estratègia que dóna un camí per deixar de comptar amb els dits.
És molt interessant, ja que mobilitza constantment la descomposició de dígits i la del 10, englobant aixi l'ús de rutines, que d'altra manera faríem per separat: descomposicions.  Per exemple: per sumar  8+7
  1. Es busca el complement a 8 respecte del 10.
  2. Es descompon el 7 es dos nombres: el 2 que ja s'ha utilitzat, i el complement a 7 (5)
  3. Es realitza la suma 8+7 = (8+2+5 = 10+5=15)
Estratègies personals i pas del 10
Aquest procés, quan es domina és instantani en gent adulta, i fins i tot molta gent diu que s'ho sap "de memòria", cosa que en alguns casos és certa, però que en la majoria no.
Us posem un exemple: feu la suma de la fila de sota mentalment el més ràpid possible: preparats, llestos, ja!
14 + 8
 Després penseu com ho heu fet. Ha estat memòria? Si no ho ha estat segurament molts de  vosaltres haureu anat a buscar alguna desena.

Alguns exemples de respostes de gent adulta
  1. 14+6+2
  2. 8+4=12 ...22
  3. 8 i 4 12 en porto una i una 2...22 (fotografia mental de l'algorisme, no és estratègia de càlcul en sentit estricte)
Si n'heu fet algun de diferent ens ho envieu en els comentaris, ho anirem publicant.

Alguns exemples curiosos
  1. Un cop en una xerrada per mestres feta en una casal d'avis, un d'ells va venir a la xerrada. Va aixecar la ma i va dir "jo faig 18+4 que és més fàcil"
  2. A magisteri una alumna "multiplicativa". He fet 3x7+1
Cloenda
  • Endarrerir els algorismes obre la possibilitat de discutir a classe sobre matemàtiques, buscar camins, arribar a conclusions i anar avançant en el món del càlcul. Això és bonic, però també cal tenir en compte una cosa: no es tracta de parar-nos tot "admirant" la creativitat del alumne en trobar estratègies "ocurrents" sinó de conduir-los a avançar en la eficàcia del seu procés. En aquest sentit recordem una frase, segurament provocativa de  Eddy Gray, un "didàctic" notable (citem de memòria) "el mestre que davant una estratègia ineficaç d'un alumne el felicita, no solament no l'està ajudant sinó que està cometent un acte vandàlic"
  • Es pot fer tota l'aritmètica de Primària al marge dels algorismes. Val la pena ja que obre el camí a treballar a fons: estructura del sistema de numeració, propietats, treball de procediments, treball de conceptes, pensar matemàticament etc.
  • Diem endarrerir els algorismesi no eliminar-los, ja que no estem per la seva desaparició, formen part de la nostra història i representen l'instrument de càlcul més potent i eficaç fins l'arribada de les calculadores. Per aquest component cultural es mereixen  que se'ls dediqui un tema o un projecte matemàtic per conèixer, comparar i discutir com resolien els càlculs els nostres avantpassats. Cal que els nostres alumnes sàpiguen, per exemple, que l'algorisme actual de la multiplicació al nostre país, ve  dels àrabs, i comparin les dues maneres buscant semblances. Cal que coneguin que actualment no tothom utilitza  mateixos algorismes, per exemple el de la multiplicació, és diferent al que utilitzen a Cuba, que curiosament ho fan igual que els alemanys.
  • Finalment els algorismes han de deixar de ser els continguts estructuradors a l'ombra del currículum de cadascú. Hem d'anar més enllà d'organitzar aquest camp del saber amb títols com "resta portant-ne", "divisió per dues xifres" etc. I aquests són termes que se senten contínuament a les converses, enlloc de aspectes més lligats amb els conceptes que és el que ens acosta a poder entendre el món. S'haurien de començar a sentis frases com: els nostres alumnes saben resoldre situacions que impliquen operacions additives, buscar la solució més eficaç, saber-la comunicar de manera entenedora i comprovar la seva validesa, per exemple.

22 de gener de 2014

Graella multiplicativa

Al quadern 8 de la col·lecció 3x6.mat vam incloure aquesta proposta
Quan demanem a l'alumne que col·locant la "L" en altres posicions ompli la taula, podrà observar que sense haver de fer cap multiplicació ha omplit la graella multiplicativa.

Recordeu que al blog d'applets del Puntmat hi ha una entrada amb applets relacionats amb aquesta graella.
Captura de pantalla d'un dels applets ressenyats a Graella Multiplicativa
Lluny de ser simplement una taula de nombres a recordar, la considerem un terreny per analitzar:
  • la seva simetria com a reflex de la propietat commutativa de la multiplicació
  • els nombres que hi apareixen més vegades
  • la distribució dels múltiples d'un nombre


Si voleu explorar altres patrons que dibuixen els múltiples sobre la graella multiplicativa, exploreu-los fent servir un applet dissenyat pel @jfontgon amb Geogebra. El Jordi també ens ha regalat la possibilitat de fer exploracions en un full de càlcul.

Els múltiples de 15
  • la suma de cada fila d'aquesta taula o la suma de la taula sencera 
Si ens restringim a la graella de 5x5 la pregunta anterior coincideix amb
preguntar pel nombre de cubets necessaris per a la construcció de la imatge
  • per què no apareix el nombre 13? i el 77?
  • què passaria si fessim la taula ampliada a 20 x 20? i a nxn? hi hauria nombres que continuarien sense apareixer? hi hauria nombres que només apareguéssin 2 cops? i 3? 
  • on es troben els nombres triangulars en aquesta taula?
Captura de pantalla de la proposta del projecte Nrich: Triangle Numbers
  • què s'obté en sumar els nombres de la n-ésima fila i la n-ésima columna fins al punt on es troben ambes dues?
Captures de pantalla de l'applet Multiplication Square on també es troben relacions entre la suma de diagonals de la graella amb els nombres tetraèdrics i piramidals
Altres graelles multiplicatives
Al blog d'applets del PuntMat tenim un bon recull de recursos digitals per treballar amb aquesta mena de graelles i a continuació llistem algunes altres propostes


A la pàgina del projecte NRICH trobem un problema relacionat amb aquestes graelles: Gabiel's Problem on es demana col·locar els nombres de l'1 al 9 en les cel·les de manera que el producte de cada fila i columna sigui el valor indicat









Una altra activitat d'aquesta mena és Mystery Matrix, també del NRIC implica prendre decisions sobre l'ordre d'actuació. Per exemple el 49 és segur, i també sabem que a la fila del 15 i el 27 solament hi pot anar un 3.







Aquesta mateixa idea la treballa una tercera proposta del NRICH Missing multipliers. INclou un applet en el que cal prémer un quadret i apareix quin nombre hi ha amagat i cal triar els factors. Cal anar omplint fins obtenir tots els factors de l'eix vertical i horitzontal.  És de dificultat més alta, implica haver d'utilitzar estratègies d'optimització per fer-ho en el nombre de passos que marca l'applet. Potencia  fer un treball de descomposició en factors molt interessant. L'applet es completa amb  un seguit de preguntes o reflexions a formular




Hi ha un blog anomenat "Find the factors" destinat exclusivament a proposar reptes d'aquesta mena. Aquests reptes es diferencien en sis nivells i creiem que a partir del nivell 3 comencen a tenir gràcia les propostes.




19 de gener de 2014

Més sobre representacions planes d'objectes tridimensionals

En l'entrada Desenvolupament de poliedres vam parlar d'algunes activitats que es poden proposar a classe en relació a aquest tipus de representació plana de poliedres. En aquesta entrada parlarem d'una altra activitat: comptar cares, arestes i vèrtexs d'un poliedre a partir dels seu desenvolupament.

Comptar cares, arestes i vèrtexs
Font: Wikimedia
A la xerrada Entre el pla i l’espai, la visualització. Reflexions sobre el bloc Espai i Forma organitzada pel Creamat a l'abril de 2012 vam dedicar una tercera part de la nostra exposició a aquesta activitat, encara que en aquell cas no es vam restringir a fer el comptatge a partir del desenvolupament. Allí també ho feiem a partir d'envasos, d'imatges semitransparents del poliedre (imatge de la dreta), de materials de construcció de poliedres a partir de les seves cares (Polydron, per exemple) o de les seves arestes (Volumes a construire, per exemple).

Quan treballem amb desenvolupaments tenim una problemàtica específica. Per exemple, el nombre de cares del poliedre desenvolupat en la imatge de l'esquerra, clarament té 9 cares, però quantes arestes i vèrtexs té?

No podem comptar directament el nombre de segment que hi veiem perquè en alguns casos dos segments corresponen a la mateixa aresta. I el mateix passa amb els vèrtexs?

Per aquest motiu creiem que és molt convenient treballar prèviament amb applets com els que ens proposa Garcia Moreno en el seu blog Didacticprimaria.

En el primer podem treballar simultàneament amb el desenvolupament i el cos representat en perspectiva (passant d'una representació a l'altra de manera gradual, movent la barra lliscant de la part inferior). A l'entrada Cares, arestes i vèrtexs del blog AppletsPuntmat trobareu propostes anàlegs d'altres autors

En el segon i el tercer, encara que no comptem arestes, focalitzem en el problema d'identificar quins segments del desenvolupament representen la mateixa aresta.



Diagrames de Schlegel
Són una manera de representar en el pla poliedres que té la caracterítica de facilitar moltíssim el comptatge de cares, arestes i vèrtexs
Captura del minut 0:48 del vídeo 120-cell que il·lustra
l'obtenció del diagrama de Schlegel d'un dodecaedre regular
Dos diagrames de Schlegel diferents del mateix prisma
depenent del punt des del qual es faci la projecció  
Diagrama de Schlegel del poliedre esmentat a l'inici de l'entrada
Observar que per obtenir el nombre de cares del poliedre representat per un diagrama de Schlegel s'ha de sumar 1 al nombre de polígons que el conformen.

Wireframes
Una altra representació plana de poliedres que facilita el comptatge principalment d'arestes és la que proposa Anne Tying aquí

17 de gener de 2014

Cases de quatre cubs

El problema que descrivim en aquesta entrada el vam veure per primer cop al fantàstic llibre de Van den Heuvel-Panhuizen, M. & Buys, K. anomenat Young children learn measurement and geometry: A learning-teaching trajectory with intermediate attainment targets for the lower grades in primary school editat pel Freudenthal Institute al 2005.

En aquest problema es demana construir tots els tetracubs possibles considerant que cadascun d'ells és una casa. Es tracta per tant d'una situació que requereix pensament exhaustiu i si es vol comunicar per escrit la solució trobada, el llibre de Van den Heuvel suggereix la seva representació mitjançant vistes zenitals amb informació d'altures.

A les imatges següents es veuen algunes de les 15 cases possibles, representades a partir de captures de pantalla del applet Building with blocks:


Les cases A i B són clarament diferents encara que es tracti del mateix tetracub i el mateix passa amb les cases C i D. Però no és tan fàcil apreciar que les cases E i F o G i H són diferents entre sí. 


El problema es fa més interessant encara quan es demana als alumnes que assignin un preu a cada casa en funció de les unitat de sòl que ocupen o del nombre d'obertures que caldrien si s'ha de col·locar una en cada cara dels cubets si aquesta dóna a l'exterior. Per aprofundir en aquesta derivació del problema es poden consultar aquestes tres propostes: 

5 de gener de 2014

Visualització amb cubets V: esculpir

A la xerrada Entre el pla i l’espai, la visualització. Reflexions sobre el bloc Espai i Forma organitzada pel Creamat a l'abril de 2012 vam fer servir per introduir el capítol de "vistes" aquesta imatge:
http://berdinanimus.tumblr.com/post/17274298723
Les que nosaltres acostumem a anomenar "vistes" són les projeccions dièdriques de l'objecte (encara que la imatge anterior és prou explícita del significat  d'aquests projeccions, hem trobat un vídeo molt senzillet per il·lustrar aquest concepte)
http://youtu.be/Eoh5ZK5UBnk
Revisant aquests dies el que hi ha al projecte Nrich sobre aquest tema ens hem trobat una activitat, The Perforated Cube, que ens ha recordat la imatge de l'inici. Allí es proposa construir un cos format per cubets de manera que les diferents projeccions dièdriques siguin una S, una H i una E. El podriem fer amb cubets multilink? Millor, seguirem el suggeriment que ens fan d'utilitzar Building with blocks:
Solució realitzada amb http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00724/
La manera de resolver aquest problema posa en evidència la diferència entre construir la solució i esculpir-la. Sent aquesta última una estratègia fonamental en totes les activitats en que s'ha de trobar el cos a partir de les seves vistes.

Ceno con Nicole y con Adoum. Nicole habla de un escultor que ella conoce, hombre de mucho talento y fama. El escultor trabaja en un taller inmenso, rodeado de niños. Todos los niños del barrio son sus amigos. Un buen día la alcaldía le encargó un gran caballo para una plaza de la ciudad. Un camión trajo al taller el bloque gigante de granito. El escultor empezó a trabajarlo, subido a una escalera, a golpes de martillo y cincel. Los niños lo miraban hacer. Entonces los niños partieron, de vacaciones, rumbo a la montaña o el mar. Cuando regresaron, el escultor les mostró el caballo terminado. Y uno de los niños, con los ojos muy abiertos, le preguntó: Pero... ¿cómo sabías que adentro de aquella piedra había un caballo? 
Eduardo Galeano, Días y noches de amor y de guerra

2 de gener de 2014

Desenvolupaments de poliedres

Revisant què teniem al blog sobre representacions planes d'objectes tridimensionals ens hem adonat que teniem unes quantes entrades parlant de vistes (l'última sobre Tomografies geomètriques, però també altres com Des d'on està tirada la fotografia? o la sèrie sobre Visualització amb cubets) però fins ara havíem parlat molt poc sobre desenvolupaments. 

Entenem que els desenvolupaments són molt més que models per construir poliedres amb cartolina, el veiem com una manera de donar informació sobre l'objecte representant-lo en dues dimensions. Esmentem algunes activitats que podem servir d'exemple:

Pensament exhaustiu
Podem demanar als alumnes trobar entre els 35 hexòminos possibles tots els que representen desenvolupaments d'un cub. Aquesta activitat sí que la havíem esmentat en dues entrades prèvies (en Poliòminos i pensament exhaustiu i en Noves entrades a l'Espai Jordi Esteve on s'esmenta una activitat del projecte Nrich que involucra desenvolupaments: A puzzling cube) però ara, a més, afegim alguns applets relacionats amb aquest problema

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=84
http://www.transum.org/Maths/Activity/Net_or_Not/


  • També podem demanar als alumnes que trobin entre els 3 tetriamants possibles els que representen desenvolupaments d'un tetraedre, entre els 12 hexamants els que representen desenvolupaments d'una bipiràmide triangular o entre els 66 octiamants els que representen desenvolupaments d'un octaedre. Per aprofundir-hi llegir al blog Median l'entrada: Other numbers of nets
Imatge dels 3 triamants (Font: http://commons.wikimedia.org)
Imatge dels 12 hexamants (Font: http://commons.wikimedia.org)

  • I una última proposta, en aquest sentit, difícil però interessant és la de trobar tots els desenvolupaments possibles d'un prisma de base rectangular. Per aprofundir-hi llegir al blog Median l'entrada: Nets of a cuboid
Què hi ha a la cara oposada?
http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/
Identificar la mateixa aresta

http://nrich.maths.org/2315
Més exemples al blog d'applets del PuntMat: Cares, arestes i vèrtexs (1a part) i Cares, arestes i vèrtexs (2a part)