23 de maig de 2014

Perímetre i àrea 2

A escola parlem de perímetres i àrees. Plantejar quina és la relació entre el perímetre d'una figura i la seva àrea dóna un joc a classe molt interessant. Per altra banda és una manera de rendir un petit homenatge a l'Emma Castelnuovo, que ens ha deixat fa molt poc.

En el seu llibre de text, per a alumnes del que seria actualment un primer d'ESO, publicat al 1949 sota el títol "La via della Matemàtica la Geometria" publicat en català per la Editorial Ketres presenta la següent imatge. El redactat és un resum del text del llibre.

Relació intuïtiva entre el perímetre i l'àrea de diferents rectangles
Agafeu un cordill que tingui les dos extrems lligats per un nus i poseu-lo entre els dits de les mans de manera que en l'interior es vegi un quadrat. Acostem els dits i separem les mans  per formar  un rectangle com el de la figura. Repetim alguns cops el pas de quadrat a rectangle i de rectangle a quadrat.

La pregunta formulada és: què passa amb el perímetre i l'àrea? Veure que el perímetre no canvia és una deducció fàcil, ja que s'utilitza el mateix tros de corda, però davant la pregunta de l'àrea, un gran nombre d'alumnes (i d'adults) responen que l'àrea es manté igual, ja que el que es perd per una banda es guanya per l'altra.

Una versió Mateclicks d'aquest problema 

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG.
A l'ARC trobareu una activitat relacionada:
http://apliense.xtec.cat/arc/node/29111

Al blog del Joan Jareño també trobareu una entrada fantàstica on s'esmenta i analitza aquesta activitat: Les tires dels tiris: tancant àrees màximes

Mateix perímetre, diferent àrea
Deixant el llibre de banda, però entomant la idea de tractar conjuntament perímetre i àrea una activitat interessant podria ser estudiar quants rectangles del mateix perímetre i diferent àrea es poden trobar dibuixat sobre una quadrícula.

A la imatge l'estudi amb el perímetre 24:

Com es pot observar a l'últim rectangle l'alumne ha badat. Tant bé que anàvem!

Podem obrir-lo a figures sense la restricció que siguin rectangles: partint d'un quadrat de perímetre 16, buscar totes les figures del mateix perímetre que es puguin obtenir dibuixant sobre la trama, i calcular-ne l'àrea.

Exemples de figures amb perímetre 16 que abasten des de l'àrea 16 fins a la 10.
  • Quina és la figura d'àrea més petita que es pot trobar?
  • Podem aconseguir totes les àrees des de 16 fins a la mínima, baixant d'un en un?
  • Podem aconseguir dues figures diferents de perímetre 16 amb la mateixa àrea? 
Una de les discussions interessants a portar a terme és identificar quines accions (sobre els costats) fan que el perímetre disminueixi i quines no. Un exemple de resposta: "doblegar les puntes el revés" (pas de la figura de 16 a la de 15 per exemple)

La mateixa activitat es pot proposar amb escuradents en lloc de treballant sobre paper quadriculat, l'únic aclariment que hem de fer és que els escuradents només poden ser paral·lels o perpendiculars entre sí:
Presentem un exemple de cada valor que pot prendre l'àrea (fets amb Geogebra)

Mateixa àrea, diferent perímetre
Els Tangrams y els Tetraminós són dos materials que ens poden ajudar molt a treballar aquest  aspecte:

Tetraminós
Disposant d'un joc de tetraminós podem preguntar als nostres alumnes si tots tenen la mateixa àrea i el mateix perímetre. Quants perímetres diferents us sembla que trobarem?

Ajuntant dos tetraminós: quina és la figura de perímetre més petit que es pot obtenir? Aquesta activitat aporta discussions interessants. Sobretot si es proposa trobar totes les figures possibles (obtingudes a partir dels dos tetraminós donats), per així comprovar les conjectures prèvies.

Si es volen ampliar les possibilitats de trobar figures diferents ajuntat dues figures podem dels pentaminós
 
Tangrams
En una conferència José Luís Lupiáñez en la que parla de competències, va presentar un exemple que solament de veure'l et ve de gust plantejar-ho als alumnes. De les dues figures de la imatge següent, quina és la que té l'àrea més gran? I perímetre? La part important d'aquesta activitat és demanar que ho justifiquin, utilitzant el vocabulari matemàtic necessari: que parlin ells!

Ajuntant les dues idees, l'activitat proposada anteriorment de buscar figures de perímetre mínim per a tetraminós es pot fer perfectament amb peces del tangram. Aporta un element de dificultat ja que en aquest cas no tots els costats són iguals.

Finalment l'activitat sobre el  tangram del Median, (publicada en aquest blog) va molt més enllà,  tant en la identificació de figures com en el treball d'àrees i perímetres. Us recomanem fer-li un cop d'ull.

13 de maig de 2014

Més activitats relacionades amb la graella del 100

La graella del 100 és un dels deu materials que considerem imprescindibles per treballar les matemàtiques en una escola. Vam parlar d'una activitat per a la seva construcció i de la possibilitat de fer amb ella dictats de nombres al post La graella del 100. I vam tornar a dedicar-li un post a Graella, applets i materialització. Avui el que volem proposar és una sèrie d'activitats per relacionar la graella amb les taules de multiplicar.

Primer hauriem de proposar als nostres alumnes que en una graella (triem la que va de l'1 al 100 per fixar idees però també es pot fer amb la que va del 0 al 99) pintin d'un mateix color tots els nombres que van a la taula del 2 (extesa fins a que el resultat sigui més gran que 100) o del 3, o del 4... i que descriguin el patró que s'hi veu. Els podem proposar que relacionin els diferents patrons fent preguntes com: Quines relacions poden establir, per exemple, entre les taules del 4 i del 8? o entre les del 2, del 3 i del 6?



Després podem proposar-los una activitat com la que apareix al Quadern 10 de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova:


Creiem que una bona manera de continuar aquesta sèrie és la següent: 

Imaginem la graella del 100 construïda a base de peces d’un puzle, on n'hi ha de diferents formes. Quins nombres són els que formarien la peça dibuixada? De quantes maneres podries col·locar la peça perquè un dels nombres que formen la peça sigui el 58? etc.



Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 2,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 2?
Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 3,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 3?
Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 8,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 8?
 Si la casella B correspon a un nombre de la taula del 5 y la casella A a un nombre de la taula del 9, quins nombres formarien les peces?

Quins nombres formarien les peces si sabem que en cada una hi ha dos nombres de la taula del 6 i un de la del 7?

Pot ser interessant complementar aquesta activitat amb la proposada pel projecte Nrich a Multiples Grid

En la línia d'aquest post val la pena esmentar l'activitat proposada al blog PinkMathematics:
http://pinkmathematics.blogspot.com.es/2014/05/weaving-three-times-table.html

Una seqüela a partir d'una piulada de @Veganmathbeagle: es pot analitzar com varien els patrons que dibuixen les taules sobre la graella quan modifiquem les graelles: posant els nombres de l'1 al 100 en zig zag o posant-los en espiral. Algunes taules (com la del 6) continuen dibuixant patrons unes altres (com la del 9), no.



11 de maig de 2014

Les barretes i l'Emma Castelnuovo (1)

El Meccano va ser un joc que la vella generació vàrem gaudir a la nostra infància. Aquest joc, a l'època de l'eclosió dels materials manipulatius va ser aprofitat pels didàctics de l'època per proposar unes classes de Matemàtiques més "actives".

Ens referim a les barretes de ferro, de diferents longituds, i plenes de forats, que apareixen a la imatge inferior. Van ser utilitzades per crear polígons manipulables i per poder experimentar o descobrir diferents propietats. Era el temps que es parlava de Geometria Dinàmica o també de "Geometria a través de les transformacions". Aquest article de J. A. Mora és un exemple del treball amb barretes.


Les barretes aplicades a construir polígons i l'Emma Castelnuovo
Identificar les barretes amb l'Emma Castelnouvo està plenament justificat ja que en el seu llibre (de text) "La Geometria" el primer que fa és estudiar els triangles a partir de la utilització de barretes, que en el seu cas no són de Meccano sinó d'un material genial, anomenat "Construiamo la Geometria" (Firenze, La Nuova Italia 1963). Aquesta és la llista del seu contingut:
No sabem de qui és el disseny (creiem que és de l'Emma, però si algú ho sap del cert , que ens ho faci saber). Aquest material va molt més enllà del Meccano, i en donem algunes raons:
  • Les barretes (encaixables fent pressió) són de diferent color segons la seva longitud, el que permet distingir fàcilment quins costats tenen la mateixa longitud i quins no.
  • Incorpora gomes de manera que es puguin construir polígons, posant les barretes con a diagonals i les gomes representant els costats (o les barretes fent de costats i les gomes com a diagonals)
  • Incorpora angles, el que permet plantejar construccions no solament jugant amb la longitud dels costats sinó també amb els seus angles.
Aquest material estava, fa molts anys, a l'aula de material de l'Escola de Magisteri de la UAB (actual Laboratori) fins que algú va decidir que se l'emportava, una pena.

Els materials d'ara
Proyecto Sur (n'hi ha d'altres marques) distribueix una versió en plàstic en la que solament hi ha les barretes i els encaixos.


Si volem disposar de les mateixes oportunitats que oferia el material original, cal completar-lo amb uns angles de fabricació artesanal (com els que es veuen a les fotos anteriors) i gomes elàstiques.

Uns quants exemples d'activitats
Presentem una tria d'activitats que hem realitzat a les aules. Algunes directament importades del llibre de la Castelnuvo, d'altres d'algun article, i també algunes que hem reinventat.

Indeformabilitat i determinació d'un polígon
Es tracta de proposar als alumnes construir un triangle i un quadrilàter amb les barretes i veure que el triangle es manté indeformable i el quadrilàter no. Una activitat molt interessant de comparació que ens obre forces possibilitats:
  • La majoria de prestatgeries es recolzen en escaires i no en formes de més quantitat de costats, per què?
  • Copiar un quadrilàter dibuixat en un altre lloc de manera que sigui exactament igual. Quines mides cal prendre?
Estudi d'una figura i geometria dinàmica
Les diagonals estan representades per gomes
La idea de Geometria Dinàmica defensada per Catelnuovo, es basa en treballar les propietats de les figures identificant quines coses canvien i quines no quan movem la figura transformant-la en una altra. Per exemple, podem proposar als alumnes partir d'un rectangle i passar per diferents paral·lelograms fins a arribar a no tenir un quadrilàter (tindriem "un segment" que es forma en la superposició de les barretes: la vermella i groga superior amb les inferiors).

La Castelnuovo comenta que aquesta és una bona oportunitat per conjecturar què passa amb la suma dels angles d'un paral·lelogram (quan els alumnes no sabem que passa amb la suma dels angles d'un quadrilàter). En la posició inicial (rectangle) la suma dels angles dóna 360º ja que els quatre angles són rectes, si vaig acostant dos vèrtexs oposats d'aquesta figura fins a no tenir quadrilàter també la suma dóna 360º perquè dos angles són de 0º i els altres dos són angles de 180º. Què passarà amb les altres posicions?

Suma dels angles d'un triangle
Castelnuovo treballa molt sobre aquesta idea de arribar "al límit" per intuir que si en una transformació en començar i acabar es dóna el mateix resultat aleshores podria ser certa la generalització. Ho explica perfectament al capítol 2 del llibre "El Material para la enseñanza de las Matemáticas" de la editorial Aguilar.

Per treballar que la suma dels angles interiors d'un triangle és 180º parteix d'una justificació clàssica (i manipulativa!) i en fa una crítica molt clarificadora de la seva manera de pensar.
Castelnuovo escriu: "En esta ocasión se ha hecho uso de un material (la cartulina) y la ejecución de algunos pliegues pero el proceso no es espontáneo en absoluto, puesto que se precisan las sugestiones del maestro"

La seva proposta passa per l'ús d'un "artefacte" consistent en una goma que passa per dos claus (punts A i B) clavats en una fusta i que es estirada des del vèrtex (C) en direcció perpendicular a la base.


No reproduïm aquí tot el text que acompanya a la imatge anterior, en farem un petit resum de les observacions que poden sorgir per part dels alumnes.
  • La base no canvia.
  • Tots els triangles que surten són isòsceles i n'hi ha un de rectangle. 
  • L'angle C quan el vèrtex s'acosta a la base es fa gran, els angles A i B es fan petits, i al revés si tibem cap a dalt: 
    • C s'acosta molt a 180º a mesura que s'acosta a la base.
    • Si anem amunt A i B creixen i es van acostant a molt a 90º. Si tiréssim molt amunt els angles A i B estarien molt a prop dels 90º. Entre tos dos 180º
Si en els dos casos extrems la suma és molt a prop de 180º, podríem pensar que sempre és 180º? Així acaba la presentació. No us podeu perdre les reflexions posteriors que fa en el llibre sobre aquest tipus de pensament i sobre la seva decisió d'apostar per aquesta manera de motivar a les conjectures malgrat que les generalitzacions que provoca no sempre són certes. Ho trobareu clicant a "més informació" al final del post. 

Jugar a definicions i propietats
Aquí la proposta consisteix en construir quadrilàters diferents posant barretes com a diagonals i classificar-los ens aboca a discussions molt interessants. Què pot passar?
  • Que les diagonals tinguin la mateixa longitud o no
  • Que els angles que formen siguin perpendiculars o no
  • Que el punt de tall sigui 
    • el punt mig de les dues barretes
    • el punt mig d'una d'elles però no de l'altra
    • no sigui el punt mig de cap de les dues diagonals
Exemple d'un cas en el que veiem que els rombes són un cas particulars dels romboides (o paral·lelogams en general) i identifiquem un paral·lelogram com a una figura que les seves diagonals es troben en el punt mig
Després de la classificació podem anar cap a definicions, en alguns casos, alternatives a les que presentem habitualment:
  • Un quadrat és un rombe que te les diagonals iguals
  • Un rectangle és un paral·lelogram de diagonals iguals
  • Els quadrats són rectangles que tenen les diagonals perpendiculars
I d'aquí podem conduir la classe cap a discussions dels mateixos alumnes i la cerca d'arguments o contraexemples. Per exemple, el Pau ha dit que un rectangle és un quadrilàter amb les diagonals iguals, podries construir un quadrilàter amb les diagonals iguals que no sigui un rectangle?
Del treball amb barretes a les construccions geomètriques
Les barretes són un bon suport per entendre l'ús del compàs. 
 
Com es construeix un triangle a partir de les mides dels tres costats? Si posem un llapis al forat i dibuixem el moviment que fan les barretes per trobar-se una amb l'altra, així com la base del triangle i traiem les barretes, "apareix" el dibuix. L'exemple de la dreta de la imatge superior, tret del llibre de la Castelnuovo, mostra el cas en el que el triangle no es pot construir. Podem fem redactar als alumnes quina condició han de complir els tres costats d'un triangles perquè es pugui construir... encara que aquesta empresa no es tant fàcil com pot semblar.

Un desig final
El llibre de la Castelnuovo va ser publicat en català, a iniciativa del grup Periòdica Pura*, per la Editorial Ketres. Ara està descatalogat... i és una pena. Es podria fer alguna cosa per recuperar-lo, com per exemple penjar-lo (legalment) a la xarxa i així proporcionar als docents un gran llibre.

* Periòdica Pura va ser un grup de treball de Rosa Sensat format per Claudi Alsina, Carme Burquès, David Barba, Isabel Batlle, Joaquim Giménez i Josep Partagàs.

6 de maig de 2014

El puzle de la graella del 100 (2)

En el post anterior "el puzle de la graella del 100" ens havíem quedat aquí: un cop completat el puzle ens vàrem adonar que faltava una peça i la mestra, l'Ana, va proposar als alumnes que construïssin la peça faltant, per completar-lo. 

Al dia següent, a la classe, es realitza la activitat de construcció de la peça. En una taula central hi ha el problema "plantejat". Dibuixar una peça que ompli el forat. Es treballa en grups, cadascun a la seva taula, i els alumnes es desplacen a la taula central quan necessiten recollir dades.
1.Agafant dades necessàries per omplir el forat. 2. Dibuixant la peça sobre paper utilitzant els instruments necessaris. 3. La peça dibuixada.
Ara cal posar els nombres que hi falten
Encara que de vegades no acaba de sortir el que preteníem. Aquest és un exemple. Cal dir que hi van haver altres errades (que no hem reproduït  al blog) com: col·locar els nombres correctament però girats 90º en relació als altres, omplir la peça amb els nombres 20, 43, 44 i 54, errades de precisió, com es veu a l'imatge inferior etc.
Uiii! per poc. Encara que l'instrument de la mesura que utilitza la nena no sabem si serà del tot útil.
L'anècdota
No hi ha res que ofereixi estratègies més imprevistes que deixar que els alumnes es "barallin" amb els reptes utilitzant els seus recursos. Es fantàstic deixar fer, però també portar a classe discussions sobre quines estratègies són més eficients, quines poden portar a més errades, etc. Expliquem la de la nena de la última imatge:
  1. Obra els dits per pendre la distància que li fa falta
  2. Va cap a la seva taula, en arribar xerra amb el company que li fa una pregunta, després es mira els dits i se n'adona que la mida "ha crescut"
  3. Torna a la taula central a prendre la mida de nou, i... torna corrent! amb els dits marcant la nova distància. Es veu que la velocitat es inversament proporcional a la possibilitat d'errada
  4. Posa "la distància" sobre una línia recta que els seus companys tenen dibuixada sobre un paper
  5. El seu company li pren la mida de la distància entre dits amb una regla, no sense haver-li fet canviar la inclinació de la mà tres o quatre cops, i diu: "8 centímetres"!
Aquesta és una anècdota, però és que si entrem a les diferents maners de prendre mides dels alumnes quan la situació no és "academitzant" podríem omplir dos posts més. El millor és que ho proveu vosaltres, segur que n'apareixeran moltes a la classe, si els deixem fer.
La pregunta important a fer-nos és: com hem d'actuar perquè la propera vegada cada alumne arribi un pas més enllà del que ha fet avui? si "manem molt" malament! però hem d'intervenir per a que millorin, oi? Com? Aquest és el repte.

1 de maig de 2014

Els criteris de divisibilitat

Els criteris de divisibilitat són simplement tècniques per saber si un nombre és divisible entre un altre sense necessitat de fer la divisió.
  • els criteris de divisibilitat entre 2, 5 i 10 són descoberts de manera natural per nostres alumnes després d'haver estudiat les taules d'aquests nombres
  • els criteris de divisibilitat entre 3, 4, 8  i 9 es poden presentar a classe de manera transparent (o sigui, entenen per què funcionen). 
Aquí, per exemple, trobareu un text on s'explica per què funciona el conegut criteri de divisibilitat entre 9 que afirma que un nombre és divisble entre 9 si la suma de la seves xifres ho és.
El document al que fem esment és part del curs “Desarrollo de las competencias aritméticas” que vam desenvolupar dins del marc del Master on-line eMeC de la Universidad de Puerto Rico a l'any 2008. El curs estava format per dotze mòduls i a l'onzè, titulat Estudio de la relación entre dos números a partir del resto de su división vam dedicar-nos a estudiar els criteris de divisibilitat.
 
Si volem saber si 4536 és divisible entre 4 podem inspirar-nos en el repartiment de 4536 pesos (o alguna moneda en que hagi bitllets de mil) entre 4 persones. 
4536 és divisible entre 4 perquè 36 ho és.
Tenim alguns bitllets de $1000 i cadascun d'ells es pot repartir entre 4 persones sense que sobri cap peso. D'igual manera, cada bitllet de $100 es pot repartir entre 4 persones sense que sobri cap peso.  Per saber si la quantitat inicial es  podia repartir exactament entre 4 persones basta veure si els diners que queden entre els bitllets de 10 i les monedes és divisible entre 4. Resumint, per saber si un nombre és divisible entre 4 n'hi ha prou amb esbrinar si és divisible entre 4 el nombre format per les dues últimes xifres del nombre inicial.
Observeu que aquest raonament es pot extendre per justificar que un criteri de divisibilitat entre 8 pot ser el que afirma que un nombre és divisble entre 8 si el nombre format per les seves tres últimes xifres ho és.
Aquí, trobareu un text on s'aplica un argument anàleg a l'utilitzat per justificar el criteri de divisibilitat entre 9 però ara aplicat al criteri que afirma que un nombre és divisble entre 3 si la suma de la seves xifres ho és.
La idea d'utilitzar diners per justificar aquests criteris prové del fantàstic llibre Children Learn Mathematics de Marja van den Heuvel-Panhuizen. També trobem interessant la idea d'utilitzar blocs multibase tal com es proposa al blog Orca.
  • un criteri de divisibilitat entre 6 surt com a combinació del criteris de divisibilitat de 2 i de 3
  • els criteris de divisibilitat no són únics, pot haver-ne més d'un. Per exemple, a l'article "Algoritmos antiguos de cálculo" (Barba & Calvo, 2012, Cuadernos de pedagogía, Nº 421, págs. 62-65) vam parlar de dos algorismes associats a criteris de divisibilitat entre 7 (val a comentar que aquest cas no és habitual trobar-lo en llibres de text i fins i tot, hi ha vegades que diuen que “no existeix” un criteri de divisibilitat per a aquest nombre).   
Un algorisme que al llibre History of the Theory of Numbers (Dickson, 1920) es diu que ja apareix al Talmud (siglo V):     

Un algorisme que segons la mateixa font va ser presentat per Tucker al 1889:     

"La justificación del primer algoritmo se basa en el hecho que el número original se puede escribir como 100n+m y el criterio afirma que éste es divisible entre 7 si y sólo si 2n+m lo es (ya que estos dos números difieren en un múltiplo de 7: 98n). La justificación del segundo se basa en el hecho que el número original se puede escribir como 10n+m y el criterio afirma que éste es divisible entre 7 si y sólo si n-2m lo es (ya que la diferencia entre 10n+m y el triple de n-2m es un múltiplo de 7: 7n+7m).  Comparando ambos algoritmos, se observa que el segundo implica mayor número de pasos pero que las duplicaciones involucradas son más sencillas por ser siempre de números menores que 10. Por otro lado, el primero no sólo dice si el número es divisible entre 7 sino que en caso de no serlo, el residuo del valor de entrada al ser dividido entre 7 coincide con el residuo del valor de salida del algoritmo al ser dividido entre 7".
Trobareu algun comentari més sobre aquests dos criteris aquí (l'enllaç torna a referirse al material de Puerto Rico abans esmentat).
  • per suposat que existeixen criteris de divisibilitat per a altres nombres (per exemple, el criteri de divisibilitat entre 25 diu que un nombre és divisible entre 25 si acaba en 25, 50, 75 o 00) però l'objectiu no és tenir un llistat complet de tots els criteris de divisibilitat existents per treballar a classe (objectiu inassolible, per cert) sinó estudiar aquest criteris com a exemples d'algorismes, com a exemples del poder abreujador del raonament matemàtic, com a exemple de la importància de fer una matemàtica transparent en les nostres aules de classe.