20 de novembre de 2014

Un itinerari de Mesura (1): massa

L'esquema de presentació de les activitats, és tret del llibre, que citem al final,  del Institut Freudenthal. Defineix tres moments per a introduir les diferents mesures:  
  • comparar i ordenar (en el que es treballa el concepte)  
  • ús d'unitats 
  • ús d'instruments
Us presentem algunes activitats relacionades amb massa, organitzades seguint aquest esquema. Completant amb recursos que poden ajudar.
Comparar i ordenar
Comparar: sospesar dos objectes per comparar-los i veure quin és el que ens costa més d'aixecar porta implícit el concepte de mesurar masses. Una caixa plena de boles de porexpan o una plena de llibres mostra als alumnes més petits que la massa és una qualitat que no depèn necessàriament del volum.
Si els objectes a comparar són de massa semblant, segurament serà necessari agafar-los simultàniament un amb cada mà, amb els braços estesos, gairebé imitant una balança de plats.

La massa és una qualitat força abstracta. Fa molt temps algú ens va explicar com Decroly proposava la introducció del concepte de massa partint d'un seguit d'objectes quotidians. El primer que feien els alumnes era, utilitzant una balança de plats, equilibrar el pes de cadascun dels objectes amb sorra. Un cop fet, posaven la sorra en un mitjó, el tancaven i li penjaven una etiqueta amb el nom de l'objecte.
A partir d'aquí, preguntes usuals com: que pesa més l'estoig o la llibreta? quantes llibretes necessites per equilibrar el llibre? etc. es treballaven  utilitzant el mitjons prescindint dels objectes: Comparaven els mitjons amb les etiquetes corresponents en una balança.
Suposem que era una manera d'aïllar la idea de massa de l'objecte concret. Ens ho van explicar però no sabem si és cert. Si algú té referència d'això agrairem que ens ho indiqui en els comentaris.

Ordenar: per ordenar dues masses en tenim prou comparant directament els dos, com ens passa en el cas de la longitud.
No passa el mateix en el cas de voler ordenar més de dos objectes. En el cas de les longituds, ho fem de manera ràpida posant-les una al costat de l'altre formant escala (imaginem-ho amb els reglets), però ordenar més de dues masses precisa d'un treball sistemàtic molt interessant.
El el cas d'ordenar tres masses a,b, i c per exemple, haurem de seguir un procés com aquest.
  • Agafar a i b, comparar
  • Si a > b agafar b i c, comparar
    • si b > c hem acabat: a > b > c
    • si b < c ja sabem que b és el més lleuger dels tres però cal comparar a i b
Un cop han fet l'activitat, demanar que escriguin el procés que han seguit, o que escriguin les instruccions (algorismes) perquè una altra persona o un robot  ho pugui utilitzar amb la certesa que ho farà correctament  és una activitat molt interessant, que es pot estirar pels alumnes que tiben amb preguntes com:
  • Tenim algun avantatge si en el tercer pas agafem a i c enlloc de b i c?
  • Et veus en cor de fer l'esquema per quatre objectes? 
Una altra activitat interessant ens la ofereix el següent applet.
http://appletspuntmat.blogspot.com.es/2014/04/mesura-balances-1.html
Demanar que escrigui "la història" d'una seqüència pot ser  una activitat molt rica. Es podria pensar que aquesta activitat entra a la categoria d'instruments, però no considerem les balances com a instrument fins que no entren en joc les unitats.

Unitats
Unitats arbitràries
Un pilot d'objectes iguals, per exemple bales de jugar, faciliten molt la tasca d'ordenar si disposem d'una balança de plats ja que identifiquem la massa amb un nombre, i és molt més eficaç a l'hora de comparar. Parlem amb els alumnes dels avantatges que representa disposar d'unitats.
Fins i tot els mateixos nens poden ser unitats de mesura (encara que no siguin iguals) un exemple el tenim en una activitat, plenament recomanable, de l'Institut Freudenthal, plantejada amb nens de quart a partir de la visita a un parc aquàtic: quants nens de classe pesen tant com un dofí?

Unitats estàndards
Com a unitat legal el quilo, amb el mig quilo o el quart de quilo, semblen els més adequats per començar, i un bric de llet com a substitut d'una pesa de quilo, un bon recurs.

No podem oblidar dedicar un temps a l'estimació del món que ens envolta amb preguntes com: quan pesa un nen de tres anys? i un pivot de la lliga de Bàsquet? en quins productes s'utilitzen els mil·ligrams? què és una tona? què es mesura amb tones? quants nens necessitaria per equilibrar la balança amb una tona? etc.

Entrant en el món de les "peses",Juan Garcia Moreno ens obsequia un cop més amb un dels seus fantàstics applets.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/problem_retos_1/menuproblemitas.html
Per accedir-hi heu d'entrar a la pàgina, veureu una llista amb imatges i heu d'activar el de la balança
Instruments
Fer un recorregut pels diferents instruments de mesura pot ser una activitat culturalment interessant: les balances mecàniques, les romanes com a balances "portàtils" per mercats ambulats, el sistema de "peses",  ja desaparegut (didàcticament hi ha materials) poden ser les protagonistes de la classe durant uns dies.
A mig camí entre unitats i instruments el treball sobre les mesures tradicionals i els seus noms és molt gratificant, podem descobrir coses interessants, com per exemple, que el porró era una unitat de mesura. Veure informació aquí

Conversar sobre el quilo i de com solucionaven el problema que tots els quilos tinguessin la mateixa massa. L'existència del "cilindre model" en el Museu de mesures de París. L'equivalència entre quilo i litre d'aigua (amb certes condicions molt estrictes) com a model de referència, pot ser un descobriment apassionant pel nostres alumnes.

Altres aspectes: context per resoldre problemes
Molts cops la mesura de massa és utilitzada per plantejar problemes matemàtica recreativa, i que "enganxen als nostres alumnes" com per exemple:
Tenim 9 boles idèntiques, de les quals una és de diferent massa que les demés. Disposem d'un balança de plats. Esbrinar quina és la bola diferent, fent solament dues pesades.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_139_g_4_t_2.html
D'altres és utilitzada com a context per plantejar problemes aritmètics.
Un exemple d'això el trobem a l'ARC (Creamat). Cal repartir el pes d'una compra de súper entre dos cistells, de manera que quedin equilibrats. Molt interessant la pregunta final, en la que demana que expliquin el mètode utilitzat. Va acompanyat d'un applet.

http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/a/3/ca3_03.html

Comentaris finals
  • L'esquema utilitzat en aquesta entrada (comparar i ordenar, ús d'unitats, ús d'instruments) està tret del llibre "Young Children Learn Measurement and Geometry" (2004).
  • Podeu veure una explicació més detallada d'aquest tema a l'article "Algunas actividades para hablar de Medida" a la revista SUMA nº 77, dins de la secció "Ell@s tienen la palabra".


18 de novembre de 2014

Pràctica productiva: restes (1)

La proposta d'aquesta entrada és una activitat que pot substituir un full per practicar restes amb nombres entre 1 i 100. Es tracta de donar dos nombres als alumnes (en el cas de l'exemple que apareix a la primera imatge aquests dos nombres són 66 i 42), marcar-los amb un color, proposar als alumnes que trobin  la resta entre aquests dos nombres i que acoloreixin el resultat. Han de continuar restant dos nombres acolorits i acolorint el resultat fins que ja no hi hagi més possibilitats.

Les restes que s'han fet són: 66-42=24, 42-24=18, 24-18=6,
66-6=60, 60-6=54, 54-6=48, 42-6=36, 36-6=30 i 18-6=12

Es pot jugar sobre una graella de paper o sobre una graella digital que permeti acolorir les cel·les (aquí hi ha un exemple)

Altres exemples:
Malgrat que no ho sembli, el que hi ha darrera d'aquest innocent joc és el concepte de màxim comú divisor. Encara que no calgui tenir idea de divisibilitat per fer l'activitat (es pot proposar a partir de 2n de primària), saber que el que trobem, quan fem totes les restes, són els múltiples del MCD dels nombres inicials ens va molt bé als mestres per saber a cop d'ull si les restes estan ben fetes o si falta alguna resta per fer. També ens dóna moltes idees per proposar petites investigacions als alumnes:

  • què passa si els nombres inicials són consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
  • què passa si els nombres inicials són dos nombres parells consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen els nombres parells de la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
  • què passa si els nombres inicials són dos nombres senars consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
  • sempre que els nombres inicials siguin senars es cobrirà tota la graella? Solució: no, per exemple si els nombres inicials són 9 i 21 només quedaran coberts els múltiples de 3
  • sempre que els nombres inicials siguin parells es cobriran tots els parells de la graella? Solució: no, per exemple si els nombres inicials són 44 i 72 només quedaran coberts els múltiples de 4
  • etc
També es pot proposar aquesta activitat als primers cursos de l'ESO fins que trobin la relació entre els nombres inicials i els nombres que queden coberts en acabar de fer totes les restes. Les preguntes per guiar-los haurien de ser unes altres: 
  • Què passa si els dos nombres triats en un inici són 15 i 48? I si són 14 i 48? 
  • Quina relació hi ha entre la disposició final de cel·les pintades i les dues cel·les inicials?
  • Quina parella de nombres pots triar perquè les cel·les pintades al final siguin totes fins al 50? quines són totes les parelles que permeten arribar a aquesta disposició final? 
El que hi ha amagat sota les respostes a aquestes preguntes és que en restar dos nombres que tenen com a MCD un nombre n el resultat també és múltiple de n. Això permet entendre perquè tots els nombres obtinguts són múltiples del MCD dels nombres inicials però no justifica que siguin tots els múltiples del MCD dels nombres inicials (fins al més gran d'ells). Per justificar aquest últim punt hem de recorre a la base de l'algorisme d'Euclides: el MCD de dos nombres s'obté fent restes convenients entre els nombres inicials

http://nrich.maths.org/psum/picture-this/ 
Per tant, el joc proposat es converteix en un algorisme per trobar ek MCD de dos nombres!!

La idea original i un suggeriment per convertit aquesta activitat en un joc provenen de l'article El joc d'Euclides del blog Cut the knot que té una seqüela a El joc d'Euclides sobre la graella
El joc d'Euclides
El joc d'Euclides sobre la graella
Podeu llegir altres comentaris sobre aquest problema a l'entrada "El joc de les restes" del blog "Banc de recursos del Fem Matemàtiques" una fantàstica iniciativa del grup Fem Matemàtiques de l'ABEAM amb solucions, resolucions, pautes i indicacions per treballar a les aules problemes del concurs que anualment organitza la Feemcat.

16 de novembre de 2014

Les barretes i l'Emma Castelnuovo (2)

A l'entrada "Les barretes i l'Emma Castelnuovo (1)" vàrem presentar una imatge (fotocòpia en blanc i negre) d'una caixa de materials editada per "La nouva Italia" on es detallava un material fet en plàstic i del que n'havíem perdut la pista.

Vàrem aprofitar la presència de la professora Nicoletta Lanciano, a la Jornada de Matemàtiques sobre materials manipulatius, organitzada per la FEEMCAT i la SCM celebrada el 4 d'octubre, per demanar-li.  En Guido Ramellini (eficaç com sempre), del MMACA, es va encarregar de la gestió. I la Nicoletta va venir amb el "seu" sota el braç. Gràcies als dos per poder veure de nou aquest material i fer les fotografies. La llàstima és que ja no es fabrica.

Aprofitem que hi tornem de nou per proposar o fer referència a algunes activitats lligades amb aquest material en el que com es veu a la fotografia està format per dues classes de tires (per representar costats o diagonals), una goma (per visualitzar el polígon generat) i angles.


Les tires
Les tires, de longituds entre 6 i 18 centímetres són de diferents colors corresponents a diferents mides. A destacar el sistema d'encaixar dues tires: amb una petita pressió queden enganxades.


Exemple activitat: rombes, quadrats, perímetres i àrees
A partir del quadrilàter format per quatre tires del mateix color i fent moure dos vèrtexs oposats podem passar d'un quadrat a un rombe, el que deixa clar que un quadrat és un rombe amb els quatre angles iguals.
Per altra banda si partim d'un quadrat i fem moure els vèrtexs posats ens dóna peu a preguntar si l'àrea i el  perímetre es mantenen constants. Els alumnes, en començar a veure el moviment sostenen que l'àrea es manté. Sospita que s'ensorra, al final, quan coincideixen els vèrtexs oposats i l'àrea és zero.
Més informació: http://puntmat.blogspot.com.es/2014/05/perimetre-i-area-2.html

Els angles
Dos de 30º, dos de 45º, dos de 60º dos de 90º, un de 120º i un de 150º. 

Mostra d'alguns angles on es veu el mateix sistema d'encaix que comentàvem en relació a la unió de dues tires
Altres activitats (diferents nivells)
  • Construir tot tipus de triangles a partir de la tria de tires de diferents longituds. Un cop aconseguits ens permeten entrar a la classificació per angles i costats. Podem trobar una aplicació per fer aquesta activitat a NRICH.
http://nrich.maths.org/2342
  • Per final de primària o secundària: construir un triangle (que no ensenya), dir als alumnes quines tires s'han utilitzat, demanar-los que fabriquin un amb les mateixes tires i comprovar si coincideix. Amb aquesta mateixa dinàmica de reproduir una figura amagada a partir d'instruccions podem, per exemple:
    • Donar els tres angles. Se'n podrà fer més d'un. Podrem parlar de semblança.
    • Donar dos costats i un angle. Si la dada és l'angle comprés, no hi haurà problema, però si donem l'angle oposat a un dels costats veurem que no sempre queda determinat. Quants triangles diferents poden sortir?
    • Discutir sobre que passaria amb dos angles i un costat, etc
    • Plantejar que siguin ells qui plantegin el problema als altres
    • Demanar tots els casos de determinació d'un triangle.
  • Demanar la construcció d'un hexàgon regular. Faran servir els angles? Com faran per assegurar-se que no es deformi? 
Diagonals, quadrilàters, propietats i definicions
Ja vàrem parlar d'aquesta activitat el post  "Les barretes i l'Emma Castelnuovo (1)". Aquí en fem una visió general. Dues tires amb els extrems foradats i una goma que es pot "tancar" ens permeten estudiar les propietats i construir definicions de quadrilàters, recolzats en l'estudi del que es manté fix i el que canvia quan intentem deformar la construcció.
Si unim les dues diagonals pel punt mig es genera una família de quadrilàters.
Les tires permeten que se les uneixi també pel seu punt mig a més de pels extrems.
En el cas de la imatge es podria definir un rectangle com a un quadrilàter en el que les seves diagonals són iguals i es tallen en el punt mig de les dues. Un quadrat seria un rectangle de diagonals perpendiculars.

Altres activitats
Proposar un taller on es generin totes les figures possibles jugant amb diferents longituds i punts d'intersecció de les diagonals ens portaran a un  bon "univers de quadrilàters". Quines figures diferents sortirien? Quines tenen un nom conegut? Com definiríem un paral·lelogram? Un rombe? I un trapezi isòsceles? Quina propietat han de cumplir els quadrilàters que tenen algun eix de  simetria?

    7 de novembre de 2014

    Pràctica productiva: nombres romans

    Quants nombres parells (menors que mil) es poden escriure en nombres romans fent servir dues "lletres"?  

    Aquesta tasca substitueix molts exercicis de conversió de nombres romans, generant una activitat molt més rica que permet reflexionar sobre els beneficis del treball sistemàtic. 

    Si eliminem la restricció de que els nombres siguin més petits que mil tenim altres cinc nombres parells que s'escriuen amb dues lletres: MX ML MC MD MM  (sense entrar en supraratllats)


    Si ens preguntem, per exemple, si XD és una manera correctre per representar el nombre 490 podem fer servir un conversor virtual com el següent.
    http://do-skoly.cz/en/courses/math/m-1/roman-arabic-numbers/calculator.aspx 


    Hem proposat la tasca a 5è de primària (Escola Sadako), ha sortit molt bé i, tal com preveiem, en un primer moment se'ns han col·lat entre solucions falses en nombres com el 990 o el 490. Això ens ha permès engegar un interessant debat sobre les normes d'escriptura de nombres romans (en aquest debat els conversors esmentats abans han jugat un paper molt important com a validadors de les respostes) 


    Inicialment, aquesta entrada formava part de "Convertir la pràctica reproductiva en productiva" però amb els comentaris sorgits en aplicar a a l'aula l'activitat proposada ens ha semblat que ja contenia prou informació com per independitzar-se.

    I, amb l'ajuda de la OEIS, encara podem dir molt més sobre pràctica productiva i nombres romans. Podem demanar:

    •  el llistat de tots els nombres romans més petits que "C" que s'escriuen exactament amb tres (A142958) o amb quatre lletres (A178968)
    • el llistat de tots els nombres més petits que "C" que tenen simetria vertical (A166874) o  horitzontal (A242590)
    • el llistat tots els nombres que escrits en nombres romans, el seu revers també resulta un nombre romà (A093703)
    • quin és el nombre més petit que necessita dos lletres per ser expressat en notació romana? i el més petit que en necessita quatre? i set? i nou?  (A036746)