24 de gener de 2015

Pràctica productiva: sistema d'equacions

Al post Pràctica productiva i equacions de segon grau ja vam comentar que al segon cicle de l'ESO també podem practicar destresses algebraiques bàsiques en un ambient de resolució de problemes. Avui ho exemplificarem en el cas de la resolució de sistemes d'equacions de primer grau amb dues incògnites (un tema del que també vam parlar a ).

Al post "Que parlin ells" també a l'ESO ja vam parlar sobre els sistemes d'equacions i com podem treballar amb els alumnes el descobriment d'estratègies per a resoldre'ls. Després d'aquests descobriments cal que practiquin aquesta destressa. Però, per què no substituir la proposta de llargues llistes de sistemes d'equacions per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental?

Un exemple de fitxa de treball 


1. Tria tres nombres parells consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres nombres senars consecutius.   Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?

2. Tria tres potències de base 2 i exponents consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres potències de base 3 i exponents consecutius.  Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?
3. Tria diferents nombres enters per completar les equacions i resol el sistema resultant. 
Si és possible, troba un cas en el que la solució 
  • doni valors enters per a x i y  
    • i que tots dos siguin parells 
    • i que tots dos siguin senars 
    • i que siguin un parell i  un senar  
  • no doni valors enters per a x o y 
  • no doni valors enters ni per a x ni per a y
Alguns comentaris
A l'activitat 1 es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica i la solució del sistema sempre serà x=-1, y=2 ja que qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica el doble del central és igual a la suma dels dos de les puntes o el que és el mateix l'oposat del primer més el doble del segon sempre dóna el tercer.

A l'activitat 2 la solució del sistema sempre serà x=-6, y=5. Es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió geomètrica però la solució depèn de la raó d'aquestes progressions, en el cas en que les raons siguin r i r+1 les solucions seran enteres.

A l'activitat 3 els alumnes poden trobar patrons com els següents (anomenem p i q els nombres triats per completar les equacions):
  • el valor de y sempre serà enter i tendrà la mateixa paritat que p
  • el valor de x serà enter quan p+q sigui parell i aquest valor enter de x serà parell quan, a més, p+q sigui múltiple de 4.
Es pot canviar la proposta per qualsevol sistema en que ad-bc sigui 2, sent a el coeficient de x i b el coeficient de y en la primera equació, c el coeficient de x i d el coeficient de y en la segona equació. 

6 de gener de 2015

Perímetre i àrea 3

Després de les activitats suggerides als posts Perímetre i àrea 1 i Perímetre i àrea 2, en aquest post proposem unes noves activitats que pretenen oferir experiències als alumnes perquè interioritzin el fet no trivial de que aquestes dues magnituds es poden modificar de manera independent.

Primera activitat: pensament exhaustiu


A la graella que apareix a l'esquerra cada quadre mesura 1cm de costat. Pinta alguns dels seus quadres de manera que quedi una figura (única i sense forats) de 12 cm de perímetre. Quantes solucions realment diferents pots trobar?

A la imatge es poden veure les 16 solucions trobades per un alumne de 5è de primària:


Si en lloc de mantenir constant el perímetre, demanem les figures que es poden fer sobre la mateixa graella de 6 cm² d’àrea, les solucions són vuit (una de perímetre 10 cm, una altra de perímetre 11 cm, una altra de perímetre 14 cm i cinc de perímetre 12 cm):


En la següent imatge ja es pot intuir una propietat de les figures formades per la unió de quadrets que consisteix en que si el quadret que s'elimina està a la "cantonada" el perímetre no s'altera.
Feina encara sense acabar d'un alumne cercant les figures de perímetre 12 cm
Volem aprofundir en aquesta "propietat" a la segona activitat.

Comentari a posteriori
Si l'activitat anterior la proposem sobre paper quadriculat sense restringirse a una graella de 3x3 el nombre de solucions varia de manera considerable
  • les solucions de perímetre 12 cm passen de 16 a 25
  • les solucions d'ârea 6 cm² de 8 a 35
Aquestes 35 figures d'àrea 6 es coneixem com a hexaminos

Segona activitat: cerca de patrons i regularitats
En aquestes graelles també cada quadre mesura 1cm de costat.


Transforma la figura vermella en una altra canviant únicament un dels seus quadrets de lloc, de manera que la figura no es trenqui.

Verifica que es poden obtenir 12 noves figures però que cap d'elles té el mateix perímetre que la vermella (cinc d'elles tenen perímetre 14 cm i les altres set, perímetre 12 cm; els perímetres més grans els obtenim quan el quadret que movem és el que no està a les cantonades del rectangle vermell).


Transforma la figura verda en una altra canviant únicament un dels seus quadrets de lloc, de manera que la figura no es trenqui i el perímetre de la nova figura sigui major.

Pots canviar qualsevol dels quadrets? A quines noves posicions els pots moure?

Es pot fer el mateix amb l'objectiu de que el perímetre de la nova sigui menor que el perímetre de la figura inicial?



Val la pena destacar que aquests patrons que pretenem que els alumnes descobreixin estan involucrats en la següent pregunta de les proves PISA en que es demana als alumnes que triïn quins dissenys són vàlids per al fuster:

Podeu accedir al document complet clicant aquí

Tercera activitat
Una manera de posar en pràctica aquest patorns descoberts és omplir la taula de la imatge de manera que en una mateixa fila les figures comparteixen àrea però el perímetre augmenta i en una mateixa columna les figures comparteixen perímetre però l'àrea augmenta:

La taula buida
Un exemple de taula plena