26 d’octubre de 2015

Nombres en V

Aquest és un altre exemple de d'activitat "rica" del projecte nrich: Magic Vs on s'exerciten sumes de dígits, però la part més potent és  l'estudi de regularitats.

Per fer aquesta activitat és interessant que es fabriquin "cartes" amb els nombres per poder anar provant, per poder manipular. Tal i com es veu en els vídeos que adjuntem al final del post.

Produccions d'alumnes  
Vam proposar els primers tres apartats d'aquesta activitat a alumnes de cinquè de Primària focalitzant en: Quins nombres puc posar a la cel·la grisa de manera que els dos braços sumin el mateix? 

En la imatge superior es veu com l'alumne troba que a la rodona grisa pot posar els nombres 1, 3 i 5  i suggereix que ha trobat la solució a partir de la paritat (hem de col·locar un nombre a la rodona grisa i els altres quatre els hem de repartir en dos grups que sumin el mateix, o sigui, que la suma d'aquests 4 nombres ha de ser parell, això s'aconsegueix únicament si el nombre col·locat a la rodona grisa és senar)

En relació a la pregunta quan els nombres a col·locar són del 2 al 6 s'observa com l'alumne aplica una regularitat entre els nombres 1 al 5 i els nombres 2 al 6: "he fet créixer tons els nombres de la part A 1 número"

En aquesta segona imatge es veu un treball similar al de l'alumne de la imatge anterior en relació als apartats A i B però a més veiem com aplica el mateix raonament per a l'apartat C, per obtenir les solucions quan els nombres a col·locar són del 12 al 16, mira les solucions de l'apartat B i suma una desena a cada rodona.


En cursos superiors (a més de proposar l'apartat D) podem trobar altres raonaments en relació als primers apartats:
  • En relació a l'apartat B: si he de col·locar els nombres 2, 3, 4, 5, 6 com sumen 20 que és parell, si per la rodona grisa trio un nombre senar, per exemple 3, em queden els nombres 2, 4, 5 i 6 per col·locar a les restant rodones i no puc repartir-los en dos grups que suin el mateix. Per tant a l'apartat B el nombre de la rodona grisa ha de ser parell
  • Dresprés de l'apartat C podem fer una generalització: Si entre els cinc nombres consecutius hi ha 2 parells i 3 senars i a la cel·la grisa va qualsevol dels 3 nombres senars Si entre els cinc nombres consecutius hi ha 3 parells i 2 senars i a la cel·la grisa va qualsevol dels 3 nombres parells.
Afegim un parell de vídeos que mostren alguns mestres treballant amb aquest problema:


Extensió a altres lletres
A més de la "V" es pot fer el problema amb altres lletres. Trobem un exemple amb les lletres N, L i W al projecte Nrich:  Magic Letters (a l'apartat de solucions podeu trobar molta informació complementària sobre aquesta activitat)

19 d’octubre de 2015

Llumins i la desigualtat triangular

En una activitat de formació del curs de "Pràctica productiva" dirigida a mestres de Primària del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" inspirant-nos en l'activitat Sticks and Triangles del projecte Nrich, varem platejar aquesta activitat


Aquí veieu les tres solucions possibles:

Vam veure que no totes les descomposicions del 9 en tres sumands ens permetien formar triangles. Per exemple, no hi ha cap triangle que tingui un costat format per 7 llumins i els altres dos costats formats per un llumí, perquè amb aquestes mides el triangle no es pot "tancar" (el mateix passa amb les descomposicions 1+2+6, 1+3+5 i 2+2+5).  Aquesta conclusió ens va portar a parlar de la "desigualtat triangular" com a conclusió lògica de l'activitat: en un triangle el costat major no pot superar a la suma dels altres dos costats.

Les descomposicions del 9 que si van donar lloc a triangles van ser: 1+4+4, 2+3+4 i 3+3+3. O sigui que vam obtenir dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter*) i un tercer triangle que vam classificar fàcilment com a escalè i amb una mica més de dificultats com a obtusangle.

*Nota: creiem que és molt important insistir en que la classificació que utilitzem (en aquest cas, per a triangles segons longitud dels costats) és jeràrquica i no particional, ja que parteix de considerar que a tots els triangles que tenen dos costats iguals els anomenem isòsceles, i dins d'aquests n'hi ha que a més compleixen que el tercer costat també té la mateixa longitud per la qual cosa té els tres siguin iguals. Aquesta és la raó que justifica que al paràgraf anterior hàgim dit que entre les solucions teníem dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter). 

Ens vam quedar amb ganes d'anar més enllà i per tant, vam proposar-nos resoldre el problema para 11 i 12 llumins.

Vam arribar a la conclusió que amb 11 llumins es poden representar 4 triangles diferents: tres isòsceles (dos acutangles i un obtusangle): 1+5+5, 3+4+4 i 5+3+3 i un triangle escalè (acutangle): 2+4+5

En la propera imatge es veuen els únics tres triangles que van poder representar amb 12 llumins:

Un d'ells és equilàter, un altre és també isòsceles i acutangle però amb un costat més petit que els altres 2 i el tercer triangle és escalè i rectangle.

Val la pena esmentar aquí dues propostes

  • la de @jfontgon "Triangles i llumins", un applet fet amb Geogebra que permet visualitzar totes les solucions per a moltes quantitats de llumins
  • la del Creamat: Construïm triangles amb llumins on, a més de complementar la discusió sobre la desigualtat triangular, s'analitza el patró entre el nombre de llumins i la quantitat de solucions possibles:


Un cas on separar casos parells i senars pot ser inspirador
i un bon exemple de taules que suggereixen patrons que
s'han de contrastar més enllà d'uns pocs casos particulars 
Ens va sorprendre la alta freqüència de triangles isòsceles entre les solucions i a partir de les solucions que oferia la pàgina del Nrich vam concloure que exceptuant amb el cas de 5 llumins (en el que només es pot representar un triangle i és escalè), fins al cas de 20 llumins com a mínim la meitat de les solucions possibles són triangles isòsceles:

Amb 3, 6, 7, 8 i 10 mistos la totalitat de les solucions possibles són triangles isòsceles
Amb 11 i 14 mistos, els triangles isòsceles són les tres quartes parts de les solucions
Amb 9 i 12 mistos, las dues terceres parts.
Amb 13 i 16 mistos, el 60%
Amb 15 i 18 mistos, una mica menys: el 57%
I amb 17, 19 i 20 mistos, exactament la meitat de les solucions són triangles isòsceles.
Encara que les dades que dona la pàgina del Nrich, no va més enllà dels 20 mistos, la davallada en la proporció de triangles isòsceles ja ens va fer sospitar que no sempre serien majoria.

Qui ens va ajudar amb la solució va ser The on-line encyclopedia of integer sequences: quantitat de solucions possibles i quantitats de solucions isòsceles que ens informa que per a 21 mistos tindríem 12 solucions i d'aquestes només 5 serien triangles isòsceles: 1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+6+9 i 7+7+7 davant de les set solucions escalenes: 2+9+10, 3+8+10, 4+7+10, 4+8+9, 5+6+10, 5+7+9 i 6+7+8.

El coneixements involucrats en les reflexions anteriors són a l'abast d'un alumne de cicle superior. Però si volem aprofundir en la classificació d'aquests triangles segons els seus angles el més còmode és recórrer al Teorema de Pitàgores per la qual cosa, aquesta darrera línia d'estudi estaria limitada a alumnes de l'ESO.

El teorema de Pitàgores, malauradament en la seva versió menys utilitzada a les aules de Secundària, ens permet classificar triangles: si el quadrat del costat més llarg:
  • coincideix amb la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle rectangle
  • supera a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle obtusangle
  • no arriba a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle acutangle
Amb aquest resultat en ment és fàcil veure que dels 12 triangles de perímetre 12: cinc són acutangles (1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+7+8 i 7+7+7) i la resta són obtusangles.

15 d’octubre de 2015

Construir cases: descomposicions del 10

Les descomposicions del 10 com a suma de dos nombres és un contingut fonamental a finals d'infantil i a primer de primària atès que, conjuntament amb les sumes de dígits juguen un paper importantíssim en els primers càlculs. Però anant més enllà de la mera pràctica d'aquesta destressa i treballant en un ambient de resolució de problemes, podem fer activitats espectaculars, com, per exemple, aquesta: 

Volem fer una maqueta d'un barri, on cada cubet representa una casa (o pis). Tenim 10 cubets i la pregunta és la següent:
Poden començar per  un barri d'una sola torre de 10 cubets i preguntem si a algú se li acut un altre disseny d'aquest barri? Pot passar, amb certa facilitat,  que algun alumne en faci un de dos torres de cinc cubets cadascuna, però no podem admetre aquesta solució ja que no n'hi pot haver dos torres iguals. Ara ja queda clar l'enunciat del problema, a partir d'aqui, a treballar! Algunes respostes podrien ser una de 8 i una de 2, o una de 7, una de 2 i una de 1, etc.
    Diem que és una activitat de pràctica productiva, ja que a més de treballar un objectiu de pràctica n'incorpora un de treball sistemàtic, o de pensament exhaustiu. Han de sorgir preguntes que els guiïn cap a aquests tipus de pensament: ens en falta algun? com ens organitzem per saber que no n'hi ha cap de repetit?

    La idea original està treta de la pàgina MathPickle, concretament d'aquest vídeo fantàstic on ho treballen col·lectivament i "contrarellotge"
      http://youtu.be/ImkJEi2aQ80
      Pel que fa al pensament sistemàtic, i ara ens en aniríem a cicle mitjà, un cop entès el problema i fet manipulativament, per assegurar que no ens en deixarem cap, hem de reflexionar, identificar alguna estratègia, i potser "cridar al món del símbols".

      Discutint  podem arribar a identificar dues estratègies diferents.

      a) Començar per el cas d'una sola torre, després buscar totes les possibilitat que es poden fer amb dues torres, amb tres, etc.


      b) Ordenar numèricament començant per la torre més alta: quantes solucions diferents puc fer amb una torre de 10? (una). I amb una torre de 9? (una). I amb una torre de 8? (una). I amb una torre de 7? (dues: 7+3 o 7+2+1), etc...

      Les imatges anteriors són captures de pantalla del vídeo
      Però encara no hem tancat: Com sabem que hem acabat? No podem fer cap "barri" que tingui cinc grups de cases? Per què?

      Què passaria si tinguessim 12 cubets?

      Pensem que és importantíssim que els mestres de cicle mitjà comencin a treballar aquests aspectes que entren de ple a anar estructurant el pensament matemàtic dels nostres alumnes.

      Un problema anàleg a aquest, en el sentit que requereix suma de dígits i pensament exhaustiu,  apareix explicat al final del post "Triangles aritmètics (1). Descomposició de dígits" en dos formats: "caputxeta vermella" i "repartiendo pastelitos".

      13 d’octubre de 2015

      Les primeres potències

      Com a últim post de la sèrie "els primers nombres primers" "els primers nombres quadrats" i "els primers nombres cúbics", presentem activitats que involucren a les primeres potències de base 2, 3, 4...

      1) Les primeres potències de base 2
      Imatge extreta del llibre de 6è de Primària de l'Ed. Barcanova
      A la proposta inicial, s'afegeixen després algunes preguntes: l'obtenció de cada nombre parell com a suma de potències de 2 és única?, quina targeta s'hauria d'afegir per obtenir tots els nombres fins a 120? quin és el primer nombre que no es pot obtenir sumant aquestes targetes?, etc.

      2) Les primeres potències de base 3
      Així com tot nombre es pot escriure sumant potències de base 2 també es pot fer amb potències de base 3 si permetem que cada potència participi dos cops en cada suma:
      Reformulació d'un problema proposat pel Guido Ramellini al Nou Biaix nº 34 
      3) les  primeres potències de base 11
      Observa el patró que compleixen els càlculs relacionats amb les primeres potències de base 11:
      112 = 121  12 – 1 = 11
      113 = 133 13 – 3 + 1 = 11
      114 = 14641  14 – 6 + 4 – 1 = 11
      Verifica que el patró es compleix en relació a les següents dos potències de base 11.
      Troba la primera potència de base 11 que no compleix el patró.

      4) La potenciació no és commutativa
      Concloure que les posicions de base i exponent no són intercanviables és fàcil però: no podem anar més enllà de dir simplement que no dóna el mateix nque an?

      Pots conjecturar, sense fer cap càlcul, qui serà més gran entre 124 i 412

      Val a dir que la conjectura "dóna un major resultat l'element de la parella que té major exponent" s'ha de matisar excloent parelles en les que intervenen els nombres 1 o 2 (ja que 23 < 32 o 17 < 71).

      5) Suma de potències d'exponent diferent
      Quins nombres menors que 50 es poden descompondre com a suma de potències d’exponents diferents?  No es pot fer servir l’1 ni el 0 com a base ni com a exponent. (Font: MathPickle)

      Solució:

      La raó per la que s’evita a l’1 i el 0 com a exponent o com a base és que la descomposició seria trivial (N = qualsevol potència menor que N més la diferència elevada a la 1 = qualsevol potència menor que N més 1 elevat a diferents exponents totes les vegades que calgui)

      6) La xifra final de les potències d'exponent fix
      La següent imatge resumeix el comportament de la xifra de les unitats de les potències quan anem variant la base. Per exemple, en relació a les potències d'exponent 4, el diagrama (tercer de la primera fila) indica que si la base és 1 el resultat també acaba en 1 (per això hi ha una fletxa circular que surt i arriba a l'1), si la base és 2 el resultat acaba en 6 (per això hi ha una fletxa que surt del 2 i arriba al 6), si la base és 3 el resultat acaba en 1 i així succesivament.

      Els diagrames corresponents als exponents 2 i 3 ja havien sortit en els posts dedicats a nombres quadrats i nombres cúbics.

      Crida l'atenció el patró de les potències d'exponent 5 i la relació entre les potències d'exponent n i les d'exponent n+4.

      7) La xifra inicial de les potències de base 2
      Quina és la primera potència de base 2 que comença amb 7? i amb 9?
      Quin percentatge de les potències de base 2 comencen amb 1? (Font: Numberphile i OEIS)

      En analitzar el comportament de la primera xifra de les potències de base 2 veiem que 1 és la que més es repeteix però poc a poc van apareixent totes les altres. el 7 no apareix fins la potència d'exponent 46, el 9 fins a l'exponent 53 i entre les primeres 100 potències de base 2, l'1 apareix trenta cops.

      5 d’octubre de 2015

      Inicis del comptatge

      Comptatge acústic
      S'anomena "comptatge acústic" a aquell en el que els nens aprenen a recitar la sèrie 1,2,3,4,5,6,... per distingir-lo del comptatge resultatiu al que, anteriorment, havíem dedicat dos posts, és a dir al tipus de comptatge que es fa (de fet és el que en diem "comptar")  quan els demanem que ens diguin quants cubets hi ha a sobre de la taula, o que agafin el número de clicks necessari per omplir un vehicle  que està en un altre lloc de la classe sense que en falti ni en sobri cap.Més informació aquí i aquí.

      Aquest procés de comptar objectes implica posar en funcionament dues habilitats a la vegada : mentre es recita la sèrie numèrica cal anar assenyalant coordinadament amb dir el número de la sèrie (comptatge acústic) procés en el que moltes vegades cal enretirar l'objecte comptat per així no comptar-lo dos cops.

      Reflexions sobre la introducció del comptatge acústic

      Comptar cap endavant d'un en un i dir el següent
      Comptar endavant és la primera habilitat necessària per a poder determinar quants objectes hi ha en una col·lecció determinada. El procès de recitar  la seqüència de nombres es comença a educació infantil, i continua a primer, fent jocs o activitats que ajudin a  interioritzar la sèrie 1, 2, 3, 4, 5,etc
      Un exemple el tenim en la primera activitat del 3x6.mat de primer curs, on es planteja recitar la sèrie acompanyant-la de moviment corporal.
       

      Un cop els alumnes tenen un cert domini, cal proposar-los que diguin quin és el següent d'un nombre, diferent del 1,  o que recitin una seqüència curta començant per altres nombres

      Dir l'anterior i comptar enrere
      La seqüència inversa, comptar endarrere, comporta força més dificultat. Una habilitat, en principi fàcil, com "dir l'anterior", és molt més complicada del que sembla.
      Potser, si només demanem aquesta qüestió per escrit no ens en adonarem ja que la respondran bé, però si la pregunta és oral veurem que hi ha alumnes que tarden força a contestar, ja que, per exemple, si han de dir quin és l'anterior del 13 (o el que va abans del 13) i els demanem que diguin en veu alta el que pensen, és probable que la resposta sigui: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... el 12! Tenim algun vídeo de nens que fan això però no el podem posar  per respectar els drets d'imatge. Si coneixeu algun vídeo penjat a la xarxa, i els el voleu enviar, el penjarem en aquest post.

      Això ens porta a plantejar que a diferència del comptar endavant, la seqüència en aquest cas hauria de començar per primer dir l'anterior d'un nombre, i posteriorment comptar endarrere, just al revés que fèiem per comptar endavant: primer recitar la sèrie  i després preguntar el següent d'un nombre.

      Per acabar: és possible que algunes de les dificultats (manca de velocitat) en l'algorisme de la resta com, per exemple, fer el càlcul 9-2 vingui donada per la falta d'aquesta habilitat,encara que en aquest cas, el millor és que canvii l'estratègia i compti cap endavant enlloc de cap enrere de 2 a 9 o, millor encara, el treball amb els triangles additius (+ informació)

      Un applet
      Tret de la molt recomanable pàgina Count Me in too
      http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/countmein/children_numeral_track_english.html
      L'alumne tria una carta que es gira mostrant un nombre (en el cas de la imatge el 5) l'ordinador "pronuncia" el nom del nombre. Posteriorment, l'alumne ha de dir quin és el número posterior i comprovar-ho amb la màquina (que el "pronuncia) i l'anterior, pregunta que li fa immediatament després. Com es veu a la imatge els nombres els diu amb anglès, i també dóna la possibilitat de jugar-hi amb italià, i mandarí!

      Us recomanem que mireu els applets que presenta la pàgina: un tant per cent alt són recomanables.