7 de desembre de 2015

Fraccions & Geometria

La representació gràfica de fraccions pot anar molt més enllà de exercicis en que demanem als alumnes  quina fracció representa la regió ombrejada en un cercle que s'ha dividit en 8 parts iguals de les que s'han pintat tres.

Podem plantejar als alumnes les mateixes situacions sobre figures una mica més "desafiants" però la tasca no ha variat substancialment perquè la divisió de la figura inicial en parts iguals ja ve donada.
Extret del "Quadern de treball" de "Matemàtiques - 6è" de l'Editorial Barcanova 
Però en aquest post ens interessa anar una mica més enllà i treballar la representació gràfica de funcions fent ús de propietats geomètriques de les figures

Exemple 1: Geofraccionador és un applet preciós dissenyat per J. García Moreno que ens apropa a la línia que volem desenvolupar en aquest post


Es pot portar aquesta idea a l'aula encara que no disposem d'ordinador:
Exemple 2: "What part?" era una proposta de Don Steward que vam trobar en el seu blog Median i la vam proposar a alumnes de 1r d'ESO  (ja no existeix l'entrada on vam veure aquesta proposta encara que la recull aquí)


Exemple 3: Hexagon fractions és una activitat de la mateixa font que l'exemple anterior que torna a reforçar la idea de la importància de dibuixar les línies auxiliars adequades

Proposta original: quina fracció de l'hexàgon està pintada de marró?
Figura original amb línies auxiliars afegides

Podem veure que el primer hexàgon marró és 18/24 = 3/4 de l'hexàgon groc, que el primer triangle marró és 9/24 = 3/8 de l'hexàgon groc, que el segon hexàgon marró és 3/4 del primer hexàgon marró (ho hem vist al primer cas d'aquesta sèrie) i per tant 9/16 de l'hexàgon groc i que el segon triangle marró és 1/2 de l'hexàgon groc.

Trobem un altre exemple a l'article de C. Foster "Avoiding Pythagores"
L'àrea marró és un terç de l'àrea de l'hexàgon groc.

Amb aquesta estratègia de dibuixar les línies auxiliars adequades podem descobrir propietats geomètriques molt interessants:

Exemple 4: si dividim els costats d'un triangle qualsevol en 2, 3 o 4 parts iguals i unim alguns dels punts obtinguts tal com es veu a la imatge, podem determinar quina fracció representen els triangles vermells respecte els triangles grans.

Unint la resta de punts de manera convenient queden determinats nous triangles que en compartir la mida de les seves bases i alçades tenen tots la mateixa àrea.
1er cas: Cada triangle petit  és ¼ del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- ¾ = ¼ del triangle gran
2n cas: Cada triangle petit és 1/9 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 6/9 = 1/3 del triangle gran
3er cas: Cada triangle petit és 1/16 del triangle gran, per tant, el triangle vermell és 1- 9/16 = 7/16 del triangle gran

Exemple 5: La regió taronja té per àrea dos novens de l'àrea de l'hexàgon (a partir de les línies auxiliars que apareixen en el 3r hexàgon es pot veure que la regió taronja n'ocupa 4 de 18)
Proposat per @matesymas
Les línies auxiliars no sempre són per dividir una figura en parts iguals entre sí tal com  ho veurem  en els següents dos exemples:

Exemple 5: en un octàgon regular si dibuixem dues diagonals com es veu a la imatge, l'àrea del rectangle és 1/2 de l'àrea total i les àrees dels trapezis 1/4 cadascuna.

Les línies auxiliars descomponen l'octàgon en 4 rectangles iguals (pintats de rosa) i 8 triangles iguals (pintats alguns de verd i uns altres de blau). Com el rectangle ocupa dos d'aquests rectangles i 4 dels triangles, la seva àrea és la meitat de l'àrea de l'octàgon i un argument anàleg es pot fer servir per relacionar les àrees dels trapezis amb l'àrea total.

Aquesta idea es pot extendre a altres polígons regulars de n costats (amb n parell): l'àrea del rectangle gris és 4/n de l'àrea total
http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf

Justificacions visuals
http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag97/Puzzle.pdf
Solució inspirada en aquest tweet

Exemple 6: La següent imatge representa la justificació de que l'àrea del dodecàgon és 3/4 de l'àrea del quadrat que el circumscriu:


Més exemples: 
Aquesta mateixa setmana @Simon_Gregg va publicar aquesta prova visual que explica per qué el quadrat groc representa un cinqué del quadrat gran


El triangle groc té per àrea un cinquè de l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma, unint un vèrtex amb un punt que triseca el costat oposat. 
Hi ha una demostració molt elegant a la pàgina 34 del llibre Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics de Claudi Alsina & Roger B. Nelsen. En aquest mateix llibre apareix com a exercici provar que l'àrea de l'Hexàgon vermell és dos cinquens de 'l'àrea del triangle equilàter a partir del qual es forma unint cada punt mig d'un costat amb punts que trisequen els altres costats.
L'espectacular pàgina GoGeometry és una font inesgotable d'aquest tipus de problemes. Com a mostra, us deixem només un parell d'exemples:
 http://www.gogeometry.com/problem/p122_marion_walter_theorem_proof_area.htm 

En relació al problema anterior, hem sabut a través del "Cuaderno de Cultura Científica" es coneix com a teorema de Marion i es pot generalitzar canviant la divisió de cada costat del triangle en tres parts per la divisió en n parts.