Decimals periòdics

Als cursos d'ESO molts cops veiem extensos exercicis de traducció entre fraccions i expressions decimals, però creiem que amb les eines que disposen els alumnes d'aquests mateixos cursos es poden fer coses molt interessants. Com a mínim poden proposar-los activitats més interessants que fer servir fórmules com aquestes:

photo credit: xurde via photopin cc

• Si el decimal és periòdic pur, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període.
• Si el decimal és periòdic mixt, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera seguida de l'avantperíode i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període seguit per tants zeros com xifres tingui l'avantperíode.

A l'aula:

Podem descobrir que els decimals periòdics s'obtenen a partir de fraccions que en la seva forma irreductible tenen denominadors amb algun divisor primer diferent de 2 i 5. Encara més, podem descobrir que únicament quan tots els divisors primers del denominador són diferents de 2 i 5 obtindrem decimals periòdics purs, d'altra banda seran peròdics mixtos. I fins i tot es podria relacionar la longitud de l'avantperíode amb els exponents de 2 i 5 en la descomposició factorial del denominador.

I també podem jugar cercant patrons i curiositats en les expressions decimals de:

• fraccions amb denominador 7

En aquestes fraccions es pot veure una interessant regularitat entre les 6 xifres del seu període.

Treball d'una alumna de 2n d'ESO

      http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique 

Una curiositat que també el compleixen fraccions de denominador 17, 19, 23, ...
Val a dir que 142857 té moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la pàgina 36 del llibre de David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math)

• fraccions amb denominador 13

Treball d'una alumna de 2n d'ESO

Val a dir que 076923 i 153846 tenen moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la mateixa pàgina dels llibre de Wells esmentat abans)

• les primeres fraccions amb denominador 19

Considerant les divuit primeres xifres decimals tal com es veu a la imatge s'obté un quadrat màgic!!

http://www.futilitycloset.com/2010/12/31/bewitched/ 

http://gaussianos.com/una-fraccion-muy-progresiva/

• la primera fracció amb denominador 729

La fracció 1/729 té un període de 81 xifres (les que apareixen en la imatge) que separades en nou grups de nou sense alterar l'ordre en el que apareixen formen nou nombres que difereixen en 11111111 (exceptuant en l'últim cas en que la diferència és de 11111112)

Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador una potència de base 9 (729=9·9·9).

• la primera fracció amb denominador 9801

El període de l'expressió decimal de la fracció 1/9801 està format per la llista de tots els nombres de dues xifres exceptuant el 98: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11...96 97 99

Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador el quadrat d'un nombre en que totes les seves xifres són 9 (9801=99·99)

Comentari final: Fa un parell d'anys, el Gerard un alumne de segon després d'haver treballat a l'aula les particularitats de les fraccions de denominador 7, va trobar més propietats del nombre 142857 http://es.wikipedia.org/wiki/142.857, com que va sentir-se molt encuriosit al respecte li vam proposar que fes un estudi semblant per als períodes de les fraccions de denominador 13, el resultat del qual podeu trobar aquí.

A posteriori:
Una setmana després de la publicació d'aquesta entrada, en el bloc de Don Steward, apareixen alguns elements que poden ampliar la informació aquí presentada

• fraccions amb denominador 17

• respecte a les fraccions de denominador 19 ens dóna aquesta altra informació

Per acabar, en aquest fantàstic vídeo de @Lemnismath trobem esment al teorema de Midy que destaca una altra particularitat de diferents nombres que apareixen en els paràgrafs anteriors (períodes de longitud parell) 

• fraccions amb denominador 7: 142+857 = 999
• fraccions amb denominador 13: 076+923 = 153+846 = 999
• fraccions amb denominador 17: 05882352+94117647 = 99999999
• fraccions amb denominador 19: 052631578+947368421 = 999999999
• ...

Un bloc interessant

Dan Meyer (@ddmeyer) és el que podríem anomenar un "animador matemàtic". En el seu bloc hi trobem moltíssimes coses que criden l'atenció, comentem algunes d'elles:

En la categoria "What can you do with this?" el que fa sovint és agafar problemes clàssics, d'aquells d'examen, que considera avorrits o poc interessants i els converteix en activitats que solament de llegir-les et venen ganes de pensar-hi.

A la imatge de l'esquerra trobem un exemple "Si la Sally pinta una casa en 6 hores i en John en 4. Quant tardaran en pintar-la tos dos junts?", un problema que confessa que odia profundament.

A continuació podem veure, a través d'un vídeo mut, en quina activitat proposa reconvertir aquest problema:

Bean Counting from Dan Meyer on Vimeo.

Podeu llegir més sobre aquesta activitat aquí (hi trobareu la video-solució del problema i una extensió del mateix). 

En la categoria "3acts" presenta activitats en un format de tres actes: presentació del problema (d'una manera molt oberta tal com es pot veure a al vídeo mut que hi ha a continuació), cerca per part dels alumnes de les dades i les eines per resoldre el problema, solució del problema i plantejament de noves preguntes. Aquí podem veure un exemple del primer acte d'una d'aquestes activitats que amb altre format és molt probable que ja feu a classe: 

Popcorn Picker from Dan Meyer on Vimeo.

Podeu llegir més sobre aquesta activitat aquí (hi trobareu comentaris sobre els altres dos actes incloent la video-solució i una sèrie de preguntes que poden representar una extensió del problema).

Un últim exemple que presentem aquí per il·lustrar la proposta del Dan Meyer és el següent:

25 Billion Downloads from Dan Meyer on Vimeo.

Podeu llegir més sobre aquesta activitat aquí.

Applets i diners

En el post Resta portant-ne (III): construïm l'algorisme ja vam parlar de la utilització de monedes i bitllets com a un context estructurador d'estratègies emergents per sumar i restar amb els nostres alumnes. En aquest nou post volem compartir alguns applets que treballen amb aquest context i que poden donar idees d'activitats per fer amb els nostres alumnes a l'aula. 

www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/00411/spel.html  

En aquest applet es demana pagar l'import exacte d'alguns objectes a partir d'unes monedes i bitlllets que hi ha a la pantalla, el problema es planteja quan per poder fer-ho s'ha de demanar a l'apllet que ens bescanviï alguns d'aquests bitllets o monedes per poder fer el pagament. 

http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/01041/

La llista que es veu a la dreta de la imatge són enllaços a diferents activitats relacionades amb els diners que descriurem a continuació: 

• Geld pakken: situacions d'experimentació lliure, arroseguem alguns diners i monedes a la finestra blanca i l'ordinador ens va comptant els diners que hi hem acumulat.
• Welk bedrag ligt hier?: situacions en que s'ha de comptar els diners que apareixen a la pantalla (es poden arrossegar i agrupar per facilitar el comptatge) i escriure el total obtingut. Podem triar entre dues opcions: makkelijk (quantitats de diners en les que no apareixen monedes de cèntims) i  moeilijk (quantitats amb decimals).

Welk bedrag ligt hier?

• Bedrag neerleggen: situacions en que s'ha d'arrossegar a la finestra central la quantitat de diners indicada a la cantonada superior dreta. Podem triar entre 4 nivells: quantitats enteres més petites de 50 euros, quantitats superiors als 100€ però que no requereixen ús de cèntims, quantitats més petites de 50 euros per les que cal fer servir monedes de 50, 20 o 10 cèntims i quantitats per les quals entren totes les monedes i bitllets en joc.

Bedrag neerleggen

• Betaal voor de klant?: situacions similars a les de l'activitat anterior (nivell 1 i 2) en que ara no estan tots els bitllets i monedes disponibles. Per exemple, en la situació de la imatge es demana pagar 25€ quan només es disposen de bitllets de 10 i 50€ i monedes de 10 cèntims

Betaal voor de klant?

• Wisselgeld: situacions en que s'ha de donar el canvi a un personatge que paga una certa quantita amb un bitllet de més valor. 

Wisselgeld 

• Snel rijk worden: situacions en les quals es presenten dues quantitats de diners i en vuit segons s'ha de clicar la quantitat que estimem de més valor

Snel rijk worden

• Hoeveel kost dit artikel?: situacions en que s'ha d'endivinar el preu de diferents objectes, preus que estan molt ajustats als preus reals d'aquests objectes la qual cosa permet interessants discussions sobre els preus de les coses. Per poder endevinar-lo hi ha una barra vertical a la dreta de la imatge que informa si les aproximacions que es van fent queden curtes o es passen i permet estimar per quant s'ha fallat. 

• Hoeveel kost dit artikel 2?: situacions idèntiques a les de l'activitat anterior però en les quals al final s'ha d'escriure el preu exacte que s'ha pagat per l'objecte.

Segurament en aquest llistat heu trobat les mateixes activitats que venim fent els mestres des de molt abans que les TICs entressin a les aules però també n'hi ha algunes que són molt difícils d'implementar sense l'ajut d'un ordinador (per exemple, per poder portar a l'aula l'activitat "Snel rijk worden" sense aquest applet es podrien fer còpies de pantalla de les diferents situacions proposades, mostrar-les durant uns pocs segons i demanar als alumnes que triïn en quina de les dues bandes hi ha més diners, però realment perd bastant l'activitat feta així).

Encara que hi ha altres materials per treballar el sistema decimal (blocs multibase, bossetes de 10 cigrons i caixetes de 10 bosses, àbacs de punxes, etc) els diners són un material imprescindible, amb molt més potencial que els altres materials mencionats, que no els substitueix sinó que els complementa. Aquest és el motiu pel qual els diners són un dels "Deu materials per a l'aprenentatge de les matemàtiques".

Feliç 2013. Ens acomiadem fins a gener

Els nostres bons desitjos de cara a aquestes festes: descanseu, passeu-ho bé i gaudiu-ho amb la vostra gent propera. I com que no pot faltar la postal pertinent per acompanyar aquests desitjos: aquí la teniu

La imatge està treta del magnífic llibret de Concepció Vandellòs i Maria Esteve-Llach: "Lliçons d'aritmètica. Grau I" publicat a l'any 1934 per l'Associació protectora de la llengua catalana.

La segona postal és pel dia que torneu a treballar: una classe de l'època (en la que volem destacar la presència d'un globus terraqui, material més aviat desaparegut i que particularment trobem a faltar).

Una curiositat: encara que fa molts anys que aquests llibres estan publicats, es nota una sensibilitat vers la igualtat entre els humans. Fixeu-vos que el rei blanc, el ros, i el negre valen el mateix. Tot i així no anaven tan avançats pel que fa a igualtat entre dones i homes (els nens són més cars que les nenes!). Si hi trobeu alguna explicació: comentaris.

Comentari sobre el llibret
Les il·lustracions corresponen als "jocs de vendre" que formen part dels 56 "exercicis" (que més aviat responen a la idea de lliçó tal i com el títol indica) que conté el llibret on hi ha problemes de càlcul mental, presentació d'estratègies, treball de conceptes, exercitacions, etc. N'hi ha set d'aquests "jocs de vendre" que podrien ser una primera idea del "racó de la botiga" actual (salvant les distàncies metodològiques).

Aquest és el primer "joc de vendre". Volem destacar la bona tria de les preguntes que es formulen.

Per acabar-se d'imaginar l'estil del llibre fixeu-vos quin exercici de resta proposava al 1934 pel que era un cicle inicial!

Per acabar volem dir que aquesta publicació forma part d'una col·lecció de quatre llibrets i que és una adaptació de la "Fundamental Arithmetic" de P. B. Ballard, M.A.D. Litt.

Mateclicks: presentació

 

A partir de la utilització dels clicks en el post "L'àbac de cadires" ens va quedar "el cuquet" d'utilitzar aquestes figuretes per protagonitzar algunes propostes. També han sortit a les activitats de comptatge (penjades en SlideShare) dels posts "Primers passos en multiplicació" i "Avaluar el comptatge, Competències?" i al post "Els costa molt fer 3+?= 10".

Finalment ens hem decidit, hem fet un petit equip de gent incorporant a en Lluís Pèrez, Jordi Losantos i Blanca Pujol per preparar activitats d'aquesta mena i és així que de volta en quan trobareu vídos o documents en SlideShare on els protagonistes són ells: els Mateclicks.


La presència del pirata no té res a veure amb les aficions dels autors del bloc, sinó a que és el representant canònic d'aquests, entranyables per a molts, ninotets de plàstic. Pel que fa als decorats de fons utilitzem el material anomenat KAPLA que en mans de nens és d'una gran potencialitat.

El primer vídeo: el problema de les abraçades

El vídeo permet o bé proposar-lo als alumnes com a "enunciat del problema" i a partir d'aquí gestionar l'activitat i fins i tot: estirar-la: plantejar què passaria amb "n" ninots o fer que siguin els mateixos alumnes els que escenifiquin el problema per comptar si les seves conjectures són encertades o no.

Comentari sobre el problema

El camí per trobar la solució del problema de la quantitat d'abraçades quan hi ha 6 ninots passa per analitzar primer que en el cas de 5 ninots les abraçades són 1+2+3+4 (quan arriba el segon ninot es fa la primera abraçada, en arribar el segon en fa dues, en arribar el terce en fa 3,...) i si al grup arribés un sisè ninot haurà d'abraçar als 5 que ja hi són produint-se un total de 5+4+3+2+1 abraçades.

Podem dir que ja hem solucionat el problema, però n'apareixen d'altres: 

• Com fer, de manera fàcil, aquesta suma? 
• Es pot trobar una fórmula general que resolgui aquest tipus de sumes de nombres consecutius?

Una manera d'encarar la recerca d'una fórmula és a partir de representacions geomètriques: si representem els ninots per punts i les abraçades per línies ens trobarem que el nombre total d'abraçades coincideix amb la quantitat de segments que es poden dibuixar entre aquests punts (els costats i les diagonals de l'hexàgon). Aquesta representació ens acosta a pensar en una solució que passa per la multiplicació: 6 vèrtexs dels que surten 5 segments són 30, però cal tenir en compte que d'aquesta manera estem comptant dos cops cada segment per la qual cosa hem de dividir 30 entre 2.

Una guia de treball: el plantejament de la pàgina "nrich"

Darrera del problema de les abraçades se'n poden trobar d'altres que tenen la mateixa estructura: el de comptar costats i diagonals (com ja hem vist) i a més el descobriment de la regularitat dels nombres triangulars. Clicant als enllaços accedireu al tractament que en fan a la pàgina "nrich" on trobareu indicacions, recursos i algun applet per a poder fer les activitats

Al maig de 2015 els alumnes de 5è de l'Escola Sadako van fer una activitat al voltant d'aquest problema, podeu veure la proposta seguint l'enllaça que trobareu al peu de la següent imatge:

https://5prmpromosadako2004.wordpress.com/2015/05/11/abracades-matematiques/ 

A l'octubre de 2016 quan els alumnes de 6è de l'Escola Sadako feien aquesta activitat, el programa DEUWATTS de BTV va entrar a la seva aula.

http://beteve.cat/clip/deuwatts-aprendre-matematiques/

Per acabar de tancar el tema us recomanem l'excel·lent recull de fotografies sobre nombres triangulars que ha fet la gent de Xeix en el seu concurs amb motiu de la cel·lebració de les properes JAEM a Mallorca

Estimació (II) Existeixen els problemes d'estimació?

De l'arrodoniment informal al formal: decisions a l'hora de arrodonir

El món de l'estimació està allunyat de les nostres classes. Podríem dir que gairebé solament ens dediquem a la tècnica instrumental: arrodonir. A més, en general, els alumnes aprenen a arrodonir, gràcies, a que els dictem una "fórmula màgica": si és més gran de 5 arrodoneix cap a dalt, i si és més petit arrodoneix cap a baix. Fins i tot de vegades ni comentem que cal fer quan és un 5. Cap a on tirem? No podem perdre l'oportunitat per pensar matemàticament que ens brinda l'estimació. Parlem-ne una mica.

http://es.classora.com/units/a52778440/images/hipopotamo

Un tipus activitats, força conegudes i de gran potencial, són les que parteixen d'una pregunta com la següent: "Entre tots els alumnes de la classe, en tindríem prou per equilibrar una balança en la que a l'altre plat hi hagués un hipopòtam?" (veure taula).
Resoldre aquest problema implicaa treballar amb nombres com 31,400 - 28,700, etc.
Però abans de resoldre aquesta situació  s'hauria de prendre una primera decisió: aquesta situació necessita un càlcul exacte o aproximat? Aquest aspecte descriu una de les capacitats més importants que demanen els currículums desde fa molt.

És clar que aquesta situació, no precisa d'un càlcul exacte. Podem fer una estimació i per això necessitarem arrodonir els nombres (solament ens fixarem en els quilos deixant de banda els grams). Apareix el debat:

• Hem de tenir en compte els decimals o no ?
• Com es fa per treure la part decimal de manera que no ens desviem massa del resultat?
• Què fem amb el 31,400? triem el 30? el 31? el 32? el 31,4? I amb el 28,700?
• Ens quedem amb la part entera? és a dir, arrodonim al nombre inferior?

No perdem de vista que la línia numèrica ens ofereix un model molt útil per aquests tipus de tasca, i que a més ens brinda connexions amb l'aprenentatge de la representació de decimals sobre la recta.

Per contrastar les decisions obtenim el càlcul exacte amb una calculadora per poder així contrastar les diferents propostes dels alumnes amb el resultat exacte i provocar la discussió: quina de les estratègies és la que s'acosta més al resultat real? Per què?

Un cop els alumnes hagin formulat la seva proposta cal solucionar l'últim dubte: què passa quan la primera xifra decimal és un 5? què fem?
I si en una la classe hi ha molts alumnes que pesen una certa quantitat de quilos i 500 grams? Totes aquestes dades les arrodonim cap a dalt? Com ho podríem fer per a acostar-nos al màxim al resultat exacte?

Així els alumnes poden arribar a "la fórmula" de la que parlavem al primer paràgraf a partir de la discussió de classe.

En els libres de text gairebé tots els problemes són de càlcul exacte: ho arreglem?

En el post Estimació (I) dèiem que a la majoria de situacions de la vida quotidiana, el càlcul exacte no és necessari. Però si ens mirem un llibre de text, gairebé tots els problemes ho són de càlcul. Hauríem d'intervenir per a equilibrar la balança. Per exemple hi podem trobar aquest exercici:

• La Maria vol posar a la porta de la seva habitació el seu nom amb lletres de fusta. Cada lletra val 2,98. Quant li costarà posar el seu nom?

 Imatge treta de http://www.lalluna.com/

El podríem reconventir en un problema d'estimació. Una de les maneres és "tunnejar-lo  Per exemple canviant la pregunta quant costarà? per en tindré prou? el convertim en un problema d'estimació:

•  La Maria vol posar a la porta de la seva habitació el seu nom amb lletres de fusta. Cada lletra val 2,98€. En tindrà prou amb 15€? Per què? 

El més important aquí són els criteris d'avaluació de la resposta, tenint en compte que lliguin amb la idea d'estimació. Si un alumne contesta

•  2,98x5 = 14,90€. Sí que en tindrem prou ja que no arriba a 15

vol dir que la seva resolució continua utilitzant el  càlcul exacte i no ha entès la idea d'estimar. Les  respostes haurien d'anar  més en aquesta línia:

• Si les lletres costessin 3€ cadascuna aleshores el rétol valdria 15€. Com que valen 2,98€ que és menor que 3, aleshores en tindré prou ja que el resultat serà menor de 15.

En aquest sentit hi ha raonaments que sorprenen al mateix professorat, per la seva senzillesa i rigorositat. Davant el problema: Vull comprar dos pastissos un val 48 € i un altre val 46 €. En tindré prou amb 100€? una de les respostes dels alumnes va ser:

• Sí que en tindré prou: si tinc 100 € en dos bitllets de 50 €, amb un dels bitllets pago el de 46 i amb l'altre el de 48, i encara em sobren diners en els dos

Animem-nos a canviar enunciats d'alguns problemes del llibre de text per fer problemes d'estimació i a demanar justificacions del seu raonament.

NOTA. Aquest problema està inspirat (és a dir, copiat directament) del llibre de lnstitut Freudenthal "Children's Learn Mathematics". Les indicacions sobre gestió de classe, respostes d'alumnes, i preguntes a formular si que són reflexions o experiències nostres. A més de "en tindré prou", el capítol del llibre esmentat proposa dues preguntes més que ajuden a generar activitats d'estimació: aproximadament quant dóna? i el resultat és correcte? segurament tractarem activitats relacionades amb aquestes dues preguntes en propers posts dedicats a l'estimació.

Fraccions: què vol dir "parts iguals"?

Una activitat de mesura

Vàrem posar-nos en una sala petita de l'escola Baloo, corria l'any 99, una càmera de vídeo filmaria el que ens proposàvem fer aquell matí amb alumnes de 6è. Sobre havia la taula una "caixa d'eines" (una caixa en la que hi ha de tot: cordills, paper quadriculat, regle graduat, escaire, cartabó, semicercle graduat, paper vegetal, calculadores, etc.) amb l'objectiu que siguin els alumnes qui triïn l'eina a l'hora de solucionar un problema.

Els alumnes entren en grups de quatre i a cada grup els plantegem la mateixa activitat: agafem quatre fulls iguals i doblegant de diferents maneres obtenim aquestes línies.

De cadascun del fulls separem, retallant, una de les seves parts

Posem les quatre figures sobre la taula i preguntem: d'aquestes quatre figures que hi ha sobre de la taula, quina és la que té l'àrea més gran?

Què van contestar els alumnes?
La primera resposta va ser francament desencoratjadora. Una mica més i pleguem!

• Manuel: L'àrea és com... allò del fútbol, oi?

El que buscàvem nosaltres en aquesta activitat és veure si els alumnes tenen clara la idea de fracció, i realment, apart de la desmoralització de la mestra veient el que "els ha quedat" de quan van fer àrees, es va produir una discussió molt interessant que no reproduïrem aquí, però de la que en fem un resum. Podeu llegir-ho complet a l'article "Del cuarto escondido a la idea de área: el material como modelo o contexto generador de problemas". (Carme Barba & David Barba. Aula 83/84. Juliol 1999, pg 46-49).

Finalment després de molt discutir i arribant a una mena de definició d'àrea com a "l'àrea és l'espai que ocupa una figura" van fer la seva primera conjectura 

• Marta: Doncs jo crec que és el triangle!
• Mestra: Podeu demostrar d'alguna manera que el triangle és el que té l'àrea més gran
• Tots: Podem "TOCAR-LOS" ?

La caixa d'eines i el camí cap a la solució
La majoria de grups van optar en primer lloc per la corda, posant-la sobre els costats fins a arribar a adonar-se'n que no els servia. Posteriorment van passar al paper quadriculat per a poder calcular làrea de cadascuna de les figures.

Cal destacar que cap del grups va utilitzar el regle graduat per mesurar costat i altura i aplicar la fórmula per ells ja coneguda. Sembla que si no és en un exercici de llibre de text, no té aplicació. Aixó ens porta a pensar que  l'aprenentatge de les fórmules de les àrees no ha esdevingut competencial.

A mesura que, gràcies al paper quadriculat,  anaven obtenint resultats, i veient que cada nova figura mesurada donava el mateix resultat que les anteriors, van arribar a enfurismar-se, fins a dir-li a la mestra.

• Ondia! si són iguals! TU (mestra) ens ho has fet retallar de una manera determinada per a enganyar-nos. No ens havies dit que era la quarta part!!!

Reflexionant sobre aquesta experiència veiem que aquí no solament es treballa el concepte d'àrea, sinó que, paral·lelament, implica també  el concepte de fracció que, de fet, esdevé la millor "eina" per a resoldre el problema. Solament un grup, va solucionar el problema utilitzant aquesta idea, sense necessitat de prendre cap mesura.

• Grup: Són iguals (sense mesurar res, a la primera)
• Mestra: Per què?
• Grup: Perquè cada part és 1/4

Una bona pregunta per discutir sobre fraccions
La pregunta clau seria: "què vol dir dividir en parts iguals quan parlem de fraccions". Veient les explicacions, propostes i exemples i discussions dels alumnes veurem realment que han entés. "Què parlin ells", però com començar?

photo credit: Edgar Barany via photopin cc

Per iniciar  la idea de fracció de manera coherent amb el concepte una activitat interessant por ser la següent. Els alumnes disposen d'una fulla o reproducció d'una fulla i preguntem: "Un cuc es menja una quarta  part d'aquesta fulla cada dia. Dibuixa quant s'haurà menjat aproximadament el primer dia". Posteriorment i utilitzant paper quadriculat cada grup valida qui s'acosta més a la quarta part. D'aquesta manera el concepte de fracció es lliga al de superfície el que ens permet atacar problemes molt més interessants.

Fraccions i textos escolars

La figura següent presenta l'activitat comentada anteriorment, ara en format text, amb la diferència que s'esmenta la quarta part. cosa que en l'activitat de retallar no es va fer.

 3x6-mat, Quandern 17, p18. Ed. Barcanova (2005)

Activitats d'aquest tipus ens obren les porten a una comprensió més completa de la idea de fracció. El problema està en que en la majoria de textos escolars els models gràfics utilitzats gairebé sempre són rectangles, quadrats o cercles dividits en parts d'igual forma, i no proposant divisions de mateixa superfície com per exemple els triangles de groc i vermell de la imatge anterior. Això implica que molts alumnes, i adults associïn que parts iguals vol dir necessàriament "mateixa forma" reducció malèvola del concepte de fracció com a part d'un objecte.

Estimació (I)

Si analitzem la vida quotidiana, en la majoria de situacions ens movem utilitzant l'estimació:

• planifiquem les vacances pensant més o menys quant ens volem gastar (gairebé sempre ens equivoquem a la baixa, gastem més però això no és culpa del càlcul estimatiu fet).
• en passar un carrer mirant la seva amplada i la velocitat del cotxe que s'acosta decidim si tenin prou temps per creuar-lo o no.
• en fer una operació amb la calculadora, ens adonem que aquell resultat no es correspon amb l'operació que suposadament hem introduït, tot pensant "no pot ser". 
• si anem al super sense targeta de crèdit (opció molt recomanable tal com van les coses) mirem quant podem gastar i triem els articles necessaris controlant la despesa total per no fer el ridícul a l'hora de pagar a la caixa.
• tenim certa mesura del món: com obtenir aproximadament un litre d'aigua per fer la sopa de sobre el dia de camping, quant són aproximadament 100 metres, l'altura aproximada d'una casa, etc.

Però a l'escola la presència de l'estimació és gairebé nul·la

Estimar no és arrodonir

A l'escola, i en els llibres de text l'estimació, en el camp aritmètic, queda molts cop reduïda a arrodonir, confonent l'eina utilitzada, arrodonir, amb el coneixement general: l'estimació. Fins i tot convertim l'arrodoniment en una altra fórmula màgica tipus "si es més gran de 5 arrodoneixes cap amunt i si és més petit arrodoneixes cap avall". El marc és més ampli ja que implica d'entrada la capacitat de decidir davant una situació determinada si el càlcul necessari ha de ser exacte o aproximat. Per altra banda, cal pensar en activitats que vegin més enllà de l'arrodiment com a contingut i que entrin de ple a l'estimació.

Estimació i operacions
Una de les preguntes clau a fer en estimació del resultat d'una operació és "aproximadament, quant dóna?". Us presentem dos exemples trets dels quadern d'estratègies "3x6.mat" de l'Editorial Barcanova

La idea bàsica aquí és la d'afitar el resultat. En el cas del primer exercici el resultat estarà entre 6 (1+5) i  8 (2+6). El fet de posar sumes sense tapar, és per aplicar allò aprés en el primer exercici al segon. També estariem afitant si diem que 8,32+5,8 està entre 0 i 100 però el que cerquem és, a partir de la discussió grupal, trobar fites el més ajustades possibles.

Aquesta activitat implica ja una investigació que es podria acabar reflexionant qué implica arrodonir per dalt o per baix par anar classificant les operacions entre aquelles en les que el resultat té dues o tres xifres. Activitats com aquesta poden ajudar perquè a la resolució d'un problema es facin una idea prèvia de la magnitud que ha de tenir el resultat final. 

Estimació i calculadores

clicar imatge

Des de la seva inclusió en els telèfons mòbils, la calculadora forma part de l'instrumental bàsic que es porta posat quan es surt de casa. Semblaria lògic dir que estimar no té sentit si podem fer un càlcul exacte, però no podem oblidar que treballar l'estimació ens ofereix grans oportunitats de discutir sobre Matemàtiques, com hem vist abans. Val la pena aprofitar-ho.
 

De totes maneres últimament ho inventen tot. Acabem de conèixer la calculadora ideal per a evitar que els alumnes la utilitzin per a qualsevol càlcul fàcil. Us presentem la versió on-line d'una "calculadora estimativa"

Aquesta calculadora té la particularitat que en entrar una operació (735x56 en l'exemple) quan es prem la tecla "≈" (que en aquesta calculadora és l'alternativa al signe igual) no dóna directament el resultat sinó que demana una estimació. Si l'estimació és prou acurada, aleshores dóna el resultat i representa sobre el requadre vermell del centre la distància entre l'estimació realitzada i el resultat correcte.
La tecla "Tolerance" permet fixar el màxim d'error admès, que per defecte està posat en un 15%. Això és important per impedir que la utilitzin per fer operacions bàsiques (caldrà posar la tolerància al mínim: 5% per a evitar-ho). En la pàgina web (a la que s'accedeix clicant a la imatge anterior també trobareu informació) sobre una app gratuïta per a iPhone: iestimation. 

La calculadora QAMA

clicar imatge

Aquest tipus de calculadora existeix també en "3D", amb prestacions més elevades que la on-line que coneixem, ja que és científica. Us imagineu estimar sinus, cosinus o tangents?
Es pot comprar per Internet i en menys d'una setmana rebre-la a casa. El seu preu és raonable si es té la prudència de posar-se d'acord amb altra gent i comprar-ne unes quantes ja que les despeses d'enviament es comparteixen.
El seu funcionament és gairebé el mateix que la on-line amb una diferència molt divertida (o represora). Es pot utilitzar també com a calculadora normal però en prémer aquesta opció s'encenen un parell de llums vermells intermitents que alerten al professorat de la possible infracció. A més, encara que l'alumne transgressor torni a prémer la tecla amb rapidesa per no ser vist, els llums no s'apaguen fins al cap d'una bona estona, fins i tot encara que es premi l'off!

Penseu que és una bona eina per a treballar a classe? què ens aportaria? quines discussions noves podríem generar?

Fantàstics calendaris d'advent de "nrich"

Us presentem els dos calendaris on-line que acaben de penjar la gent de "nrich". Una bona proposta per treballar aquest desembre. Està dirigit a alumnes d'11 i 12 anys en el cas de Primària i a la segona etapa de la ESO el de Secundària.

El problemes plantejats estan en anglès, una bona excusa per a treballar conjuntament les dues matèries.

Calendari per a Primaria

Clicar aquí

Calendari per a Secundària

Clicar aquí

Si els utilitzeu i algú té ganes i temps d'enviar-nos respostes d'alumnes d'aquelles que val la pena compartir, els publicarem a comentaris, o els hi dedicarem un post. Si tenim molt èxit en farem un recull i publicarem un resum dels més característics. No oblideu posar el nom dels alumnes, el grau, l'escola i el vostre si voleu que ho citem.

Suggeriment
Si voleu tenir informació sobre el problema, indicacions, preguntes clau etc, entreu aquí, copieu el nom del problema en el buscador i la trobareu (en anglès, però sant Google ajuda). És básicament per aquesta raó que hem posat "fantàstic" en el títol.

Calendari Numberphile

Aquest desembre els de @Numberphile també ens proposen el seu calendari d'Advent. Difereix dels anteriors en que:

• no es proposen problemes sinó vídeos relacionats amb el número indicat per la data 
• no estan tots els enllaços ja disponibles sinó que els van penjant dia a dia
• les matemàtiques involucrades, coneixent als autors, probablement es moguin des de les que podem compartir amb alumnes d'ESO cap amunt

Al dia d'avui (1/12/12) només està enllaçat el vídeo corresponent al dia 1, podrem trobar els següents seguint-los per Twitter o a la informació que apareix sota del vídeo que acabem de veure (quan aquest el visionem des d'aquí)

Què passaria si? algorismes a CI

Gianni Rodari va ser l'autor d'un llibre mític. "Gramàtica de la fantasia", per treballar la creativitat amb els nens i les nenes a l'hora d'escriure històries. Un dels capítols del llibre porta per títol "Què passaria si..." i aquí explica com a partir d'una situació hipotética es pot proposar als alumnes escriure una història que respongui a la situació plantejada. Un exemple: "Què passaria si un cocodril truqués a la porta de casa vostre a demanar romaní"? Al recordar-lo hem decidit jugar al mateix joc per escriure aquest post.

Existeix un país en la que les autoritats han decidit endarrerir la presentació dels algorismes de sumar i restar fins a tercer (o quart) de primària. Què passaria amb les Matemàtiques de Cicle Inicial?

http://www.flickr.com/photos/ouyea/365161974/

Si els algorismes deixessin de ser  els organitzadors del currículum, les discussions no es centrarien en intentar entendre què vol dir "en porto una". El terme "resta portant-ne" desapareixeria del mapa. Els alumnes afrontarien el repte de resoldre els problemes utilitzant estratègies que impliquen un coneixement conceptual molt més a fons. El coneixement del sistema de numeració posicional  (unitats, desenes, centenes) deixaria de ser solament saber el valor  d'una xifra, per passar a ser l'eina principal del càlcul.

http://www.flickr.com/photos/nadiatwitch/6136128220/

En aquest país la feina dels mestres seria la d'encoratjar i acompanyar als alumnes. Crear un espai de confiança, que els permeti atrevir-se a resoldre situacions de les quals no n'estan completant segurs a partir de coses que coneixen.








Una reflexió
Si d'una vegada per totes ens convencem que "donar instruments" abans que els alumnes no hagin intentat resoldre el problema amb les seves eines, ho mata tot, obrirem un engrescador món matemàtic, no solament a cicle inicial sinó a tot l'ensenyament obligatori.

En aquesta mentalitat la fórmula de l'àrea del trapezi o del polígon regular, la cançoneta de "els factors primers comuns elevats a l'exponent més...", etc deixaran de tenir sentit. O apareixerien com a punt i final d'un procés en el que els problemes associats ja se saben resoldre des d'abans, i el que es millora és l'eficàcia en els procediments.

Somni o realitat?
El que ens il·lusiona és que s'està  marcant un nord cap el que anar caminant. Sortosament aquest país ja existeix, més ben dit, deu haver molta gent que ja hi viu. No parlem solament de mestres que ho portin a terme, sinó de pàgines web institucionals que van per aquest camí. No es queden solament en el discurs general, sinó que a més inclouen treballs d'alumnes amb exemples d'estratègies classificades, que conviden a la discussió sobre la eficàcia i al reconeixement dels conceptes implicats en el si de les classes en que es realitzen.

Un exemple

clicar sobre la pàgina per ampliar

D'entrada aquesta pàgina de problemes és com qualsevol pàgina de les que s'utilitzen a les nostres classes. El que canvia és el requeriment pel que fa a la resolució per part dels alumnes:

Cadascuna de les pàgines que presenten va acompanyada de comentaris com el següent. Cal destacar que el focus d'atenció són les diferents estratègies de resolució recollides de diferents alumnes. A més no solament reprodueix la resposta sinó que la classifica.

Aquest fragment és solament el primer comentari del primer problema.  Si voleu veure tot el document, cliceu aquí. Veureu la riquesa de diferents resolucions on l'algorisme és una més, on cada alumne utilitza la que li és més propera. El més important és treballar l'actitud amb els alumnes: voler resoldre el problema. I els mestres els han d'ajudar en el camí d'utilitzar cada cop una estratègia més eficaç.

Aquest exemple està tret de la part de Matemàtiques de la pàgina Assesment Resource Banks de Nova Zelanda. Quan la mirem ens morim d'enveja, i pensem que amb un material com aquest, el professorat disposa d'una eina important de formació i potser d'un substitut del llibre de text. La pàgina recomanada té un problema: cal registrar-se. Si llegiu l'article de la Carme Burgès a la revista SUMA 70 de juliol del 2012, tindreu molta més informació, una visita guiada a la pàgina, indicacions i claus d'accés per entrar a llocs triats per l'autora que us aportaran la informació necessària.

Un desafiament: tornant a Gianni Rodari
Fins aquí el conte, la descripció del que podria passar i la convidada a anar endavant. Si voleu col·laborar escrivint algun comentari curt sobre que passaria en aquest cas a altres col·lectius com podrien ser els pares, les editorials de materials escolars, aquell mestre que té uns fulls fotocopiats d'operacions des de fa "n" anys i els passa cada curs, etc. estarem encantats de llegir-los. Demanem un comentari curt, un paràgraf, gairebé una piulada. I en podeu escriure més d'un si us enganxa el tema.