Triangles aritmètics (2). Multiplicació i divisió

En una entrada anterior havíem parlat dels triangles additius. En aquest post ens referirem als triangles multiplicatius. La idea és la mateixa: entendre una multiplicació no solament com una operació sinó com una càpsula que organitza tres nombres d'una manera determinada.

Quan construïm els triangles la relació és que els dos nombres de sota multiplicats donen el de dalt. En el cas de la imatge no només veiem que: 5x6=30 sinò també 6x5=30, 30:5=6 i 30:6=5

Si davant d'un triangle, amaguem el nombre que està al vèrtex de dalt (l'artefacte de la fotografia ens ajuda a amagar un dels vèrtex deixant els altres dos visibles) estem repassant les taules. Si en canvi amaguem un dels nombres que estan en els vèrtexs inferiors, la dificultat no canvia massa: podríem dir que a la vegada que aprenen les taules de multiplicar també aprenen les de dividir i es resalta la visió de la divisió com a inversa de la multiplicació.

Model de fitxa de pràctica

Tret de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova 

Triangles i problemes

Per altra banda, no s'ha de pensar solament com un material descontextualitzat, al contrari ens pot brindar una primera representació simbòlica d'un problema en context:

Aquí tenim un exemple de problemes que es poden considerar "de dividir".

Tret de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova 

Descomposicions factorials
Trobar la descomposició d'un nombre en producte de factors primers ve lligat directament amb aquesta idea

Es dedueix fàcilment que 60= 2x3x2x5, escrit ordenadament:  60= 2x2x3x5

L'activitat en el 3x6.Mat Ed.. Barcanova

Aquesta manera de descompondre ens acosta a un model de descomposició en arbre, que al nostre entendre dóna moltes més possibilitats, diferent del típic de la ratlleta. Podeu veure més informació al post més sobre l'arbre de factors.

Els triangles de l'1 al 100: una activitat "rica"

Quants triangles haurem de fer si volem obtenir tots el possibles entre 1 i 100? la resposta és: molts! Per tant el podem convertir en un treball col·laboratiu on cada grup d'alumnes, n'ha de realitzar uns quants, on es fan un fart de buscar divisors.

Un cop fets es col·loquen sobre la taula de manera que els triangles que tinguin el mateix nombre a la seva part superior es posen junts fent "escaleta" i de manera ordenada com es veu a la imatge

 

Després començarem a parlar-ne; què hi veieu? 

Veiem que hi ha nombres que, solament estan a un triangle: per exemple el 47, altres que en generen dos: el 46 i el 49, mentre que el 48 apareix a 5

Algunes preguntes a debatre o que sortiran en el debat

• Quins nombres són els que tenen un sol triangle?
• Per quina raó hi ha nombres que generen  un nombre de triangles parell, per exemple el 15 que en genera 2 (1/15 i 3/5) el 30 que en genera 4 (1/30, 2/15, 3/10 i 5/6) mentre que d'altres com el 68 en generen un nombre imparell (1/68, 2/34 i 4/17). Pot ser una investigació a proposar
• Quins nombres són els que generen més triangles? perquè?

Una observació final: si posem els triangles ordenats tal i com es veu a la figura, en el cas del 48, si ens fixem en els nombres assenyalats trobem:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 i 48 que són precisament els divisors de 48.

Aquesta troballa ens pot conduir a utilitzar el "mètode del mirall" quan vulguem buscar tots els divisors d'un nombre. Per exemple en el cas del 48, primer els escriurien
D(48) = (1,48, 2,24, 3,16, 4,12, 6,8) per després presentar-los de manera ordenada.

Segurament seria el  moment per trobar adonar-se'n  que els nombres que els nombres que tenen un nombre imparell de divisors són els nombres quadrats. Solament falta saber expressar amb certa correcció l'argumentació.

Materials
Podeu baixar-vos la col·lecció de triangles multiplicatius del 0 al 99. Si trobeu alguna errada o si detecteu que ens n'hem deixat algun, aviseu-nos! Així ho han fet l'Aina Gonzàlez i els seus "nins" i els estem molt agraïts per les correccions que ens han permet fer els seus comentaris.

Des d'on està tirada la fotografía?

Llegint una de les entrades d'aquesta setmana del blog ORCA, la seva autora ens ha fet recordar una sèrie d'activitats sobre les quals encara no havíem parlat en el nostre blog: activitats que relacionen vistes amb fotografia.

En l'entrada a la que fem referència: Mateclicks: La pirámide apareixen dos exemples d'activitats d'aquest tipus: una extreta d'un llibre de text i materialitzada amb Clicks i una altra que els del PuntMat vam proposar fa alguns anys durant una trobada de l'Espai Jordi Esteve.

Creiem que és interessant afegir alguns altres exemples a aquests dos primers:

• Els del PuntMat vam incloure activitats d'aquest tipus per a Cicle Inicial al Bloc de Mates editat per Barcanova:

• El Freudenthal Institute inclou d'altres a un parell dels seus applets:

• L'illa: http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/03298/leerling.html 

Captura de pantalla de l'applet esmentat en que s'ha d'ubicar el punt des del qual s'ha tirat la fotografia a partir de la posició de tres edificis emblemàtics d'una illa: un far, una església i la casa del pirata

• Endevina la vista: http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00198/toepassing_wisweb.en.html

Captura de pantalla de l'applet esmentat en que s'ha d'indicar si la fotografia s'ha tirat des de davant, darrere, esquerra, dreta, adalt o abaix

• A algunes de les proves de competències bàsiques proposades pel Departament d'Ensenyament es proposen activitats d'aquesta mena:

• per a Cicle Superior (curs 2005-06)

Clique aquí per accedir al quadernet

• per a Primer Cicle d'ESO (curs 2006-07)

Cliqueu aquí per accedir al quadernet

• Entre les preguntes alliberades de la prova PISA proposada com a pilot en 2002 també podem trobar-ne un exemple:

Cliqueu aquí per accedir a la publicació

Matemàtiques anant pel carrer (6) Camí al restaurant

De vegades m'agrada anar a dinar a Ca'l Boter, un restaurant situat al carrer Tordera 62 en el que cal fer certes cues per a entrar-hi i que té un menú del dia excel·lent. Està situat en el "barri dels gitanos" de Gràcia, on hi tenim o hem tingut gent famosa, com Peret, el "Pescadilla" (marit de la Lola Flores) o l'argentí Gato Pérez, molt lligats a l'aparició de la "Rumba Catalana".

Cal Boter està a prop d'on visc. Aquest és el planell del recorregut des de casa, assenyalat amb una fletxa, fins al restaurant, marcat amb una A i un cercle verd.

Cada cop que hi vaig tinc un problema: quan arribo a la Travessera de Gràcia, cantonada Torrijos,(cercle vermell imatge anterior) dubto sobre quin és el camí més curt. què he de fer: girar a l'esquerra  o a la dreta?

A vosaltres que us sembla?

Algunes altres preguntes per discutir a l'Aula

1. On hauria d'estar Can Boter perquè la distància fos la mateixa.
2. Quantes mides cal prendre? Quines? 
3. A quina hora he de sortir de casa si vull arribar a les 13:30 per estalviar-me fer cues?

Notes

• La història no és un exercici inventat. És verídica.
• És una activitat de carrer on els alumnes hauran de planificar i prendre mides. També es pot treballar sobre un mapa. Aleshores, cal disposar d'imatges suficientment grans per poder mesurar-hi i arribar a conclusions.
• Si realitzem una activitat semblant al carrer, agafar un plànol o dibuixar un croquis, forma part de la resolució del problema i segurament, és la part més "competencial" del procés: planificar i triar les  eines adequades que et permetin resoldre el problema.
• Aquesta activitat està dedicada especialment a TocaMates: ell ja sap perquè.

• El preu del menú de Cal Boter és d'11,20€, actualment. 

Triangles aritmètics (1). Descomposició de dígits

Un dels continguts fonamentals per construir el càlcul és el domini de les descomposicions dels dígits i sobretot, de la descomposició del 10.

Manipulativament

Una activitat, clàssica (deu tenir més de 50 anys) és la de fer catifes utilitzant els reglets Cuisenaire: la barra taronja representa el 10, la blanca l'1, la vermella el 2, etc. Cal anar fent "pisos" de dos reglets de manera que junts tinguin la mateixa longitud que la barra taronja.

descomposicions del 10 fetes amb reglets

Un cop feta la catifa es passa a anotar simbòlicament cadascuna de les descomposicions: la barra blava val 9 i la blanca 1, per tant, al costat els alumnes escriuen 9+1. Marró i vermella és 8+2, etc.

Nivell simbòlic

Una altra activitat força coneguda és la de la "casa del 10". Es dóna un nombre de l'1 al 9 a cada alumne, que l'ha de portar en un lloc visible. Es demana que busquin un company o companya que tingui el complement a 10: el 2 ha de buscar al 8, el 6 al 4, etc. Un exemple d'això ho trobem al llibre "Dau" de David Barba i Montserrat Torra, editat al 1981

Fins i tot més endavant es proposen "histories de detectius", en aquest cas trobar dos nombres que sumats donin 10 i que un sigui quatre unitats més gran que l'altre, que juguen amb aquesta mateixa idea.

Descomposicions i triangles 

Aquest és un exemple del treball fet a l'Escola Sadako de Barcelona, per la mestra Maria Roca, en el que enlloc de reglets s'utilitzen cubets. Entenem que aquest material aporta un avantatge fonamental sobre els reglets: permet comptar  unitats, cosa que no passa en els reglets on el nombre es reconeix pel color del reglet i no per la quantitat.
Un altre canvi icorporat és el del  registre: no s'utilitza l'escriptura simbòlica (8+2=10) sinó que es recull en els anomentats "triangles additius" con es veu a les imatges.

.

Un cop construït els alumnes registren cada descomposició en un triangle

Recollim i ens quedem amb el full de triangles

Aquests triangles són un material manipulatiu pensat per fer entendre que 7, 3 i 10 no són solament una suma sinó un "trio" que forma un paquet: una "encapsulació" que permet deduir fets importants relacionats amb les operacions inverses.

Triangle i accessori que permet tapar  les tres puntes

La fotografia il·lustra un artefacte que permet tapar un nombre, sigui el de dalt, el de l'esquerra o el de la dreta. Si es tapa el de dalt tenim una suma (7+3=?). Tapant el de l'esquerra seria (?+3= 10)  i si és el de la dreta  (7+?=10).

L'avantatge dels triangles additius consisteix en que que tan bon punt els han construït, veuen els tres nombres com un tot. Es notable la facilitat dels alumnes en resoldre aquest tipus "d'exercicis" enfront de la gran dificultat que representen expressions com 7 + ? = 10.

Una altra característica és que ens permet associar les diferents operacions implicades: saber que 6 + 3 = 9 implica també altres coses:

Exemple tret de 3x6.mat. Barba i Calvo (2005) Editorial Barcanova

Descomposicions i treball sistemàtic

Apart de descompondre relacionat amb l'aprenentatge del càlcul hi ha altres camps relacionats amb les descomposicions, que entren més en l'aspecte del treball sistemàtic.

Tret de 3x6.mat. Barba i Calvo (2005) Editorial Barcanova

L'activitat plantejada en la imatge anterior és de descomposició: trobar totes les descomposicions del 5 utilitzant dos dígits. Ara bé si  solament dibuixem la teulada amb el número 8, per exemple, i canviem la pregunta per quants pisos tindrà? l'activitat canvia del punt de mira. Posteriorment preguntes com: "com poder estar segurs que no ens en hem deixat cap?" o "de quina manera ens hauríem d'organitzar-nos per trobar-los tots? porten als alumnes cap a aquest treball sistemàtic.

Un altre exemple, aquest plantejat a partir del conte de la Caputxeta vermella: La caputxeta té un davantal  amb tres butxaques. La seva àvia li va regalar 7 caramels. Trobeu totes les maneres diferents que se'ls pot posar (no hi pot haver cap butxaca buida).

Els alumnes de 1r, utilitzant  material manipulatiu per poder trobar les solucions del problema

Finalment l'applet "repartiendo pastelillos"de Juan Garcia Moreno, treballa sobre la mateixa idea. Volem destacar la característica que defineix molts dels seus applets: incorporar la manipulació, en aquest cas virtualitzada, com a eina de resolució de problemes, deixant la part simbòlica com a registre de la feina feta, enlloc de eina, massa abstracta,  per a ajudar a pensar.

L'objectiu en aquest tipus de situacions té a veure amb les actituds davant de les Matemàtiques: aconseguir que els alumnes abans de començar a comptar de manera anàrquica planifiquin la resolució.

Pensament exhaustiu

Després de dues entrades en que vam estar parlant del pensament exhaustiu en relació directa amb un contingut temàtic (divisibilitat) i amb un material manipulatiu (geoplans) ens ha arribat el moment de fer una reflexió sobre què entenem per exhaustivitat i per què pensem que és important treballar-la com a un contingut matemàtic.

http://dlc.iec.cat/

Quan demanem als nostres alumnes que trobin totes les solucions d'un problema, estem demanant que enumerin tots el casos però de vegades això requereix algun aclariment. Per exemple, què esperem quan demanem analitzar els cubs que es poden haver utilitzat per fer una construcció que doni aquestes vistes?

Fa uns anys vam proposar el problema als alumnes del Màster de Secundària de la UPF i vam obtenir solucions molt variades: alguns alumnes vam recrear les solucions amb "cubets" i les van fotografiar mentre que altres van preferir representar-les en dues dimensions: dibuixant-les en perspectiva isomètrica o cavallera, representant-les planta a planta o amb vista zenital i alçada, a mà o fent servir programaris.

Pau enumera i exemplifica (amb perspectiva isomètrica i també planta a planta)
totes les possibilitats en relació al nombre de cubs

Segons el nostre parer és molt important per parlar d'exhaustivitat completar aquesta enumeració amb la resposta a dues preguntes: per què no poden haver solucions amb més de 10 cubs? i amb menys de 5?

Aquí veiem un extracte de l'enumeració completa de totes les possibilitats (representades per la seva vista zenital amb alçades) en relació a la disposició de cubs

En casos com l'anterior el que trobem molt important és l'explicació de l'alumne de com va variant la posició dels cubets per no oblidar cap cas. Per exemple, per la construcció de totes les possibilitats amb 9 cubets, en la imatge s'intueix com a partir de la solució amb 10 cubets va movent el cubet que hi treu, serà capaç d'explicar el seu procediment verbalment?

Les solucions encara es multiplicarien si fem servir l'applet Building with blocks per representar les solucions ja que aquí es permeten cubs "voladors". En la imatge veiem totes les possibilitats de generar les vistes frontal i lateral inicials amb 5 cubs.

Podríem pensar que això del pensament exhaustiu és per grans però val la pena esmentar les propostes per fer treball exhaustiu d'una de les fantàstiques pàgines web de Juan Garcia Moreno: PROBLEMATICAS

Els problemes dels repartiments de pastes, de les cares diferents, dels camins possibles són exemples que donen pistes de com es pot fer aquest tipus de tasques amb alumnes de cicle inicial i mitjà.

Un altre exemple per a alumnes de Cicle Mitjà podria ser el que ja vam incloure en l'entrada Àbac de tres punxes. Allí en la proposta 4 donaven la resposta que havia donat una nena a un problema del tipus "trobar tots els nombres que..." i el que es preguntava als alumnes era "veient l'ordre dels nombres s'intueix quina estratègia ha fet servir per a comptar-los tots: redacteu-la".

Per últim cal incidir en el fet que no tots els problemes que demanen trobar tots els casos exigeixen el mateix grau de pensament exhaustiu. Per exemple, no és el mateix demanar tots els quadrilàters que es poden formar en un geoplà de 3x3 que fer-ho de manera guiada com es proposa a l'article "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" on es guia pas a pas la cerca: primer demana els 4 casos no convexos, després els tres casos que tenen tots els costats iguals, després altres tres paral·lelograms, després tres trapezis que encara no havien aparegut, després un estel que no havia aparegut fins al moment, un quadrilàter que només té un parell de costats contigus igual i per acabar un quadrilàter que té tots els costats desiguals. Fer aquesta consideració no treu mèrit a la proposta d'una activitat guapíssima, que creiem imprescindible al treballar amb quadrilàters i que augmenta enormement la seva dificultat si no donem les pistes esmentades. Només volem indicar que no seria un exemple emblemàtic del treball exhaustiu tal com l'entenem: un treball guiat per la pregunta "com puc assegurar-me que he trobat totes les solucions possibles?".

Taules de multiplicar II

Ja fa més de dos anys vam publicar una entrada Taules de multiplicar I que avui reprenem per complementar amb una troballa casual, aquestes que compensen les hores dedicades a reorganitzar l'armari del material manipulatiu d'una escola abans de començar el curs.

En aquella entrada a partir d'un applet vam analitzar un joc no difícil de materialitzar a partir de la construcció de nou tetraedres que en les seves cares contenen els 36 resultats diferents que s'obtenen en les taules des de 1x1 a 9x9.

El disseny d'aquests tetraedres no és elemental: com s'han de distribuir els 36 valors sobre les 36 cares de manera que es puguin desplegar simultàniament els nous resultats de qualsevol taula (des de la taula de l'1 a la taula del 9)?

El desplegament dels nou resultats de la taula del 6

Presentem a continuació dues de les 188 possibles distribucions dels 36 nombres en els tetraedres:

Jon Millington va extendre aquesta idea dissenyant Tables Cubes un joc com l'anterior però per desplegar els resultats de les taules des de 1x1 a 12x12 (en relació a la discusió de si les taules acaben en el 9 o en el 12 recomanen l'article Is There Any Point to the 12 Times Table?)

En aquest cas els resultats diferents passen de 36 a 59 i els poliedres de suport d'aquests resultats passen de 9 a 12. Clarament amb les 4 cares dels tetraedres és impossible obtenir 59 resultats per tant s'ha de recorrer a cubes malgrat que sobraran 13 cares.

Aquí tenim dues possibles distribucions dels 59 nombres en els dotze cubs (deixant en onze cubs una cara lliure i en un cub en deixem dues):

El material que vam trobar fa uns pocs dies i del que parlàvem a l'inici d'aquesta entrada és justament el desenvolupament dels cubs dissenyats per Millington:

Nou blog del PuntMat

Com veureu a la capçalera del blog apareix una pestanya nova: "Applets Puntmat". Aquesta pestanya connecta amb un nou blog, que avui inaugurem, dedicat exclusivament a applets.

L'estructura és tipus pàgina de fotos, per permetre identificar l'applet ràpidament. A la dreta porta incorporat una barra d'etiquetes, informació sobre la manera de rebre les novetats per correu, etc. La plantilla permet organitzar els applets de diferents maneres, proveu quina és la que us va millor.

Agrairem qualsevol comentari que contribueixi a fer que sigui més útil per a tothom.

Esperem que us agradi.

PuntMat

Geoplans i pensament exhaustiu

Creiem en la importància de proposar als nostres alumnes recórrer l'itinerari: trobar una solució d'un problema que en té diverses, trobar algunes d'aquestes solucions i finalment, trobar totes les solucions. Aquest creença ve acompanyada d'una altra: la necessitat de treballar intencionadament aquest itinerari a les classes i de promoure discussions relacionades amb les preguntes:

• com saps que no hi ha altres solucions? 
• quina estratègia has seguit per no perdre cap solució?

Per això us proposem l'entorn d'activitats amb geoplans. Trobareu més informació sobre aquest material manipulatiu dissenyat pel Caleb Gattegno a la pàgina de l'Espai Jordi Esteve: Geoplans

Trobar tots els triangles possibles en un geoplà quadriculat de 3x3

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Es pot veure una interessant proposta de treball a l'aula amb aquest problema al blog Tocamates. A l'entrada Tri.'s del projecte NRICH s'esmenta aquesta activitat i afegeix-hi una pregunta: quin és el més petit de tots? (Atenent a que n'hi haurà dos d'àrea 0,5 es pot fer intervenir el perímetre i comparar els de les dues figures sense haver de calcular-los la qual cosa requeriria algun resultat equivalent al Teorema de Pitàgores. També interès la pregunta sobre quin és el més gran ja que n'hi haurà dos d'àrea màxima).

Trobar tots els quadrilàters possibles en un geoplà quadriculat de 3x3

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
De tota manera suggerim fer servir un altre geoplà virtual per fer aquesta
activitat atenent a que aquest no permet representar polígons còncaus

Veure una proposta de treball amb aquest problema (i d'altres sobre el mateix geoplà) a la pàgina 17 de l'article de Maria Ringon Grandesso "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" aparegut a la revista l'Escaire, nº3 al desembre de 1979 (aquest article és la traducció del que va aparèixer a la revista "L'insegnamento de la Matematica i delle scienze integrate" vol. 2, nº3, juny del 1979 pel centre de recerca didàctica "Ugo Morin" d'Itàlia)

Tal com esmenta Don Steward en el post "Quadrilaterals on a 3 by 3 dotty grid" les 16 solucions del problema anterior es converteixen en 94 si diferenciem quadrilàters segons la posició en la quadrícula. En la següent imatge, modificada a partir de l'original del D. Sterward, destaquem d'on surt el 94:

Trobar tots els triangles d'àrea 3 en un geoplà quadriculat de 5x5
Aquesta activitat (juntament amb altres activitats i un simulador virtual de geoplans quadriculats i isometrics de mida variable fets amb Geogebra) va ser proposada pel Pep Bujosa al gener de 2011 durant unes jornades organitzades per la UPF.

Hi són tots els triangles possibles?

Trobar tots els paral·lelograms possibles en un geoplà quadriculat de 5x5

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Veure alguns comentaris sobre aquesta activitat al capítol "The 25-pin Laticce Geoboard" del llibre "Geoboard Geometry" escrit pel propi Gattegno al 1971

Trobar tots els quadrats possibbles en un geoplà quadriculat de nxn

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Ja en el cas 5x5 és molt interessant el repte que representa trobar quadrats d'àrea 2, 5, 8 i 10
Veure una interessant anàlisi de la solució general a l'entrada Pinned Square del projecte NRICH, encara que ells estan comptant com casos diferents els quadrats congruents que estan col·locats en un lloc diferent del geoplà. O en l'article Por un enfoque holístico en la enseñanza de las Matemáticas del Pere Mumbrú al número 3 de la revista Suma.

Trobar tots els triangles possibles en un geoplà circular de 9 punxes (sense punxa central) 

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Veure la proposta original a l'entrada Nine-pin Triangles del projecte NRICH i el cas general a l'entrada Triangles All Around

Trobar tots els quadrilàters possibles en un geoplà circular de 8 punxes (sense punxa central) 

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

Veure la proposta original a l'entrada Quadrilaterals del projecte NRICH. Són molt interessants les extensions que podem proposar en relació a aquesta activitat:

Les vuit solucions ordenades de menor a major pel seu perímetre o per la seva àrea

• no és dificil verificar que els quadrilàters del mateix color tenen el mateix perímetre però si requereix més treball verificar que el quadrilàter marró té menys perímetre que els vermells, que aquests tenen menor perímetre que el groc, els grocs que els blaus i aquests que el verd.
• sabent que dos triangles que tenen la mateixa base i les seves altures mesuren el mateix tenen la mateixa àrea, no és difícil verificar que el quadrilàter marró té menys àrea que el primer dels quadrilàters vermells, que els dos quadrilàters vermells tenen la mateixa àrea, etc.

Trobar tots els pentàgons i tots els hexàgons possibles en un geoplà circular de 7 punxes (amb punxa central)

Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf

De tota manera suggerim fer servir un geoplà de paper per fer aquesta 

activitat atenent a que aquest no permet representar polígons còncaus

Veure la proposta original a l'entrada 7 pins del blog Median i el vídeo de MathPickle relacionat amb el mateix problema (afegint també el compatatge de polígons complexes)

Captura de pantalla del vídeo de MathPickle abans esmentat

Un problema que pot tenir solució depenent de la paritat de n i que en cas de tenir-ne la seva quantitat depèn del residu de n:4
Trobar tots els triangles rectangles en un geoplà circular de n punxes (amb o sense punxa central)

Altres entrades d'aquest blog relacionades amb el geoplà: Joc del geoplà; definicions i propietats o Mesura de superfície