Nombres en V

Aquest és un altre exemple de d'activitat "rica" del projecte nrich: Magic Vs on s'exerciten sumes de dígits, però la part més potent és  l'estudi de regularitats.

Per fer aquesta activitat és interessant que es fabriquin "cartes" amb els nombres per poder anar provant, per poder manipular. Tal i com es veu en els vídeos que adjuntem al final del post.

Produccions d'alumnes  
Vam proposar els primers tres apartats d'aquesta activitat a alumnes de cinquè de Primària focalitzant en: Quins nombres puc posar a la cel·la grisa de manera que els dos braços sumin el mateix? 

En la imatge superior es veu com l'alumne troba que a la rodona grisa pot posar els nombres 1, 3 i 5  i suggereix que ha trobat la solució a partir de la paritat (hem de col·locar un nombre a la rodona grisa i els altres quatre els hem de repartir en dos grups que sumin el mateix, o sigui, que la suma d'aquests 4 nombres ha de ser parell, això s'aconsegueix únicament si el nombre col·locat a la rodona grisa és senar)

En relació a la pregunta quan els nombres a col·locar són del 2 al 6 s'observa com l'alumne aplica una regularitat entre els nombres 1 al 5 i els nombres 2 al 6: "he fet créixer tons els nombres de la part A 1 número"

En aquesta segona imatge es veu un treball similar al de l'alumne de la imatge anterior en relació als apartats A i B però a més veiem com aplica el mateix raonament per a l'apartat C, per obtenir les solucions quan els nombres a col·locar són del 12 al 16, mira les solucions de l'apartat B i suma una desena a cada rodona.

En cursos superiors (a més de proposar l'apartat D) podem trobar altres raonaments en relació als primers apartats:

• En relació a l'apartat B: si he de col·locar els nombres 2, 3, 4, 5, 6 com sumen 20 que és parell, si per la rodona grisa trio un nombre senar, per exemple 3, em queden els nombres 2, 4, 5 i 6 per col·locar a les restant rodones i no puc repartir-los en dos grups que suin el mateix. Per tant a l'apartat B el nombre de la rodona grisa ha de ser parell
• Dresprés de l'apartat C podem fer una generalització: Si entre els cinc nombres consecutius hi ha 2 parells i 3 senars i a la cel·la grisa va qualsevol dels 3 nombres senars Si entre els cinc nombres consecutius hi ha 3 parells i 2 senars i a la cel·la grisa va qualsevol dels 3 nombres parells.

Afegim un parell de vídeos que mostren alguns mestres treballant amb aquest problema:

https://youtu.be/-JrZcMbsNdA  

http://youtu.be/3fx7A8WRfk8

Extensió a altres lletres
A més de la "V" es pot fer el problema amb altres lletres. Trobem un exemple amb les lletres N, L i W al projecte Nrich:  Magic Letters (a l'apartat de solucions podeu trobar molta informació complementària sobre aquesta activitat)

Llumins i la desigualtat triangular

En una activitat de formació del curs de "Pràctica productiva" dirigida a mestres de Primària del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" inspirant-nos en l'activitat Sticks and Triangles del projecte Nrich, varem platejar aquesta activitat

Aquí veieu les tres solucions possibles:

Vam veure que no totes les descomposicions del 9 en tres sumands ens permetien formar triangles. Per exemple, no hi ha cap triangle que tingui un costat format per 7 llumins i els altres dos costats formats per un llumí, perquè amb aquestes mides el triangle no es pot "tancar" (el mateix passa amb les descomposicions 1+2+6, 1+3+5 i 2+2+5).  Aquesta conclusió ens va portar a parlar de la "desigualtat triangular" com a conclusió lògica de l'activitat: en un triangle el costat major no pot superar a la suma dels altres dos costats.

Les descomposicions del 9 que si van donar lloc a triangles van ser: 1+4+4, 2+3+4 i 3+3+3. O sigui que vam obtenir dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter*) i un tercer triangle que vam classificar fàcilment com a escalè i amb una mica més de dificultats com a obtusangle.

*Nota: creiem que és molt important insistir en que la classificació que utilitzem (en aquest cas, per a triangles segons longitud dels costats) és jeràrquica i no particional, ja que parteix de considerar que a tots els triangles que tenen dos costats iguals els anomenem isòsceles, i dins d'aquests n'hi ha que a més compleixen que el tercer costat també té la mateixa longitud per la qual cosa té els tres siguin iguals. Aquesta és la raó que justifica que al paràgraf anterior hàgim dit que entre les solucions teníem dos triangles isòsceles i acutangles (un d'ells equilàter). 

Ens vam quedar amb ganes d'anar més enllà i per tant, vam proposar-nos resoldre el problema para 11 i 12 llumins.

Vam arribar a la conclusió que amb 11 llumins es poden representar 4 triangles diferents: tres isòsceles (dos acutangles i un obtusangle): 1+5+5, 3+4+4 i 5+3+3 i un triangle escalè (acutangle): 2+4+5

En la propera imatge es veuen els únics tres triangles que van poder representar amb 12 llumins:

Un d'ells és equilàter, un altre és també isòsceles i acutangle però amb un costat més petit que els altres 2 i el tercer triangle és escalè i rectangle.

Val la pena esmentar aquí dues propostes

• la de @jfontgon "Triangles i llumins", un applet fet amb Geogebra que permet visualitzar totes les solucions per a moltes quantitats de llumins

• la del Creamat: Construïm triangles amb llumins on, a més de complementar la discusió sobre la desigualtat triangular, s'analitza el patró entre el nombre de llumins i la quantitat de solucions possibles:

Un cas on separar casos parells i senars pot ser inspirador
i un bon exemple de taules que suggereixen patrons que
s'han de contrastar més enllà d'uns pocs casos particulars 

Ens va sorprendre la alta freqüència de triangles isòsceles entre les solucions i a partir de les solucions que oferia la pàgina del Nrich vam concloure que exceptuant amb el cas de 5 llumins (en el que només es pot representar un triangle i és escalè), fins al cas de 20 llumins com a mínim la meitat de les solucions possibles són triangles isòsceles:

Amb 3, 6, 7, 8 i 10 mistos la totalitat de les solucions possibles són triangles isòsceles

Amb 11 i 14 mistos, els triangles isòsceles són les tres quartes parts de les solucions

Amb 9 i 12 mistos, las dues terceres parts.

Amb 13 i 16 mistos, el 60%

Amb 15 i 18 mistos, una mica menys: el 57%

I amb 17, 19 i 20 mistos, exactament la meitat de les solucions són triangles isòsceles.

Encara que les dades que dona la pàgina del Nrich, no va més enllà dels 20 mistos, la davallada en la proporció de triangles isòsceles ja ens va fer sospitar que no sempre serien majoria.

Qui ens va ajudar amb la solució va ser The on-line encyclopedia of integer sequences: quantitat de solucions possibles i quantitats de solucions isòsceles que ens informa que per a 21 mistos tindríem 12 solucions i d'aquestes només 5 serien triangles isòsceles: 1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+6+9 i 7+7+7 davant de les set solucions escalenes: 2+9+10, 3+8+10, 4+7+10, 4+8+9, 5+6+10, 5+7+9 i 6+7+8.

El coneixements involucrats en les reflexions anteriors són a l'abast d'un alumne de cicle superior. Però si volem aprofundir en la classificació d'aquests triangles segons els seus angles el més còmode és recórrer al Teorema de Pitàgores per la qual cosa, aquesta darrera línia d'estudi estaria limitada a alumnes de l'ESO.

El teorema de Pitàgores, malauradament en la seva versió menys utilitzada a les aules de Secundària, ens permet classificar triangles: si el quadrat del costat més llarg:

• coincideix amb la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle rectangle
• supera a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle obtusangle
• no arriba a la suma dels quadrats dels altres dos costats estem davant d'un triangle acutangle

Amb aquest resultat en ment és fàcil veure que dels 12 triangles de perímetre 12: cinc són acutangles (1+10+10, 3+9+9, 5+8+8, 6+7+8 i 7+7+7) i la resta són obtusangles.

Construir cases: descomposicions del 10

Les descomposicions del 10 com a suma de dos nombres és un contingut fonamental a finals d'infantil i a primer de primària atès que, conjuntament amb les sumes de dígits juguen un paper importantíssim en els primers càlculs. Però anant més enllà de la mera pràctica d'aquesta destressa i treballant en un ambient de resolució de problemes, podem fer activitats espectaculars, com, per exemple, aquesta: 

Volem fer una maqueta d'un barri, on cada cubet representa una casa (o pis). Tenim 10 cubets i la pregunta és la següent:

Poden començar per  un barri d'una sola torre de 10 cubets i preguntem si a algú se li acut un altre disseny d'aquest barri? Pot passar, amb certa facilitat,  que algun alumne en faci un de dos torres de cinc cubets cadascuna, però no podem admetre aquesta solució ja que no n'hi pot haver dos torres iguals. Ara ja queda clar l'enunciat del problema, a partir d'aqui, a treballar! Algunes respostes podrien ser una de 8 i una de 2, o una de 7, una de 2 i una de 1, etc.

Diem que és una activitat de pràctica productiva, ja que a més de treballar un objectiu de pràctica n'incorpora un de treball sistemàtic, o de pensament exhaustiu. Han de sorgir preguntes que els guiïn cap a aquests tipus de pensament: ens en falta algun? com ens organitzem per saber que no n'hi ha cap de repetit?

La idea original està treta de la pàgina MathPickle, concretament d'aquest vídeo fantàstic on ho treballen col·lectivament i "contrarellotge"

http://youtu.be/ImkJEi2aQ80

Pel que fa al pensament sistemàtic, i ara ens en aniríem a cicle mitjà, un cop entès el problema i fet manipulativament, per assegurar que no ens en deixarem cap, hem de reflexionar, identificar alguna estratègia, i potser "cridar al món del símbols".

Discutint  podem arribar a identificar dues estratègies diferents.

a) Començar per el cas d'una sola torre, després buscar totes les possibilitat que es poden fer amb dues torres, amb tres, etc.

b) Ordenar numèricament començant per la torre més alta: quantes solucions diferents puc fer amb una torre de 10? (una). I amb una torre de 9? (una). I amb una torre de 8? (una). I amb una torre de 7? (dues: 7+3 o 7+2+1), etc...

Les imatges anteriors són captures de pantalla del vídeo

Però encara no hem tancat: Com sabem que hem acabat? No podem fer cap "barri" que tingui cinc grups de cases? Per què?

Què passaria si tinguessim 12 cubets?

Pensem que és importantíssim que els mestres de cicle mitjà comencin a treballar aquests aspectes que entren de ple a anar estructurant el pensament matemàtic dels nostres alumnes.

Un problema anàleg a aquest, en el sentit que requereix suma de dígits i pensament exhaustiu,  apareix explicat al final del post "Triangles aritmètics (1). Descomposició de dígits" en dos formats: "caputxeta vermella" i "repartiendo pastelitos".

Les primeres potències

Com a últim post de la sèrie "els primers nombres primers" "els primers nombres quadrats" i "els primers nombres cúbics", presentem activitats que involucren a les primeres potències de base 2, 3, 4...

1) Les primeres potències de base 2

Imatge extreta del llibre de 6è de Primària de l'Ed. Barcanova (2015) (unitat 6)

A la proposta inicial, s'afegeixen després algunes preguntes: l'obtenció de cada nombre parell com a suma de potències de 2 és única?, quina targeta s'hauria d'afegir per obtenir tots els nombres fins a 120? quin és el primer nombre que no es pot obtenir sumant aquestes targetes?, etc.

2) Les primeres potències de base 3
Així com tot nombre es pot escriure sumant potències de base 2 també es pot fer amb potències de base 3 si permetem que cada potència participi dos cops en cada suma:

Reformulació d'un problema proposat pel Guido Ramellini al Nou Biaix nº 34 

3) les  primeres potències de base 11
Observa el patró que compleixen els càlculs relacionats amb les primeres potències de base 11:
11² = 121  i  12 – 1 = 11
11³ = 1331  i  13 – 3 + 1 = 11
11⁴ = 14641  i  14 – 6 + 4 – 1 = 11
Verifica que el patró es compleix en relació a les següents dos potències de base 11.
Troba la primera potència de base 11 que no compleix el patró.

4) La potenciació no és commutativa
Concloure que les posicions de base i exponent no són intercanviables és fàcil però: no podem anar més enllà de dir simplement que no dóna el mateix n^a que aⁿ?

Pots conjecturar, sense fer cap càlcul, qui serà més gran entre 12⁴ i 4¹²? 

Imatge extreta del dossier d'aprenentatge de 6è de Primària de l'Ed. Barcanova (2015) (unitat 6)

Val a dir que la conjectura "dóna un major resultat l'element de la parella que té major exponent" s'ha de matisar excloent parelles en les que intervenen els nombres 1 o 2 (ja que 2³ < 3² o 1⁷ < 7¹).

5) Suma de potències d'exponent diferent
Quins nombres menors que 50 es poden descompondre com a suma de potències d’exponents diferents?  No es pot fer servir l’1 ni el 0 com a base ni com a exponent. (Font: MathPickle)

Solució:

La raó per la que s’evita a l’1 i el 0 com a exponent o com a base és que la descomposició seria trivial (N = qualsevol potència menor que N més la diferència elevada a la 1 = qualsevol potència menor que N més 1 elevat a diferents exponents totes les vegades que calgui)

6) La xifra final de les potències de base fixa
És molt fàcil trobar i justificar els patrons que compleixen les xifres finals de les potències de diferentes bases

• en el cas de les potències de base 2, els resultats acaben en 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, etc (patró de repetició amb un període de longitud 4) 
• en el cas de les potències de base 3, el patró que compleixen les xifres finals dels resultats, també de repetició amb un període de longitud 4, es poden il·lustrar amb aquest esquema

Imatge extreta del llibre de 6è de Primària 

de l'Ed. Barcanova (2015) (unitat 6)

• en el cas de les potències de base 4, els resultats acaben en 4, 6, 4, 6, 4, 6, etc 
• en el cas de les potències de base 5, els resultats sempre acaben en 5 

I així podriem continuar analitzant els casos d'altres bases

Els companys del Ins Baixamar en el seu blog Matemàtiques Marines ens conviden a anar una mica més enllà amb alumnes que ja coneixen les potències d'exponent negatiu:

• les potències de base 5 i exponent natural acaben en 5, però en quina xifra acaben les expresions decimals de les potèncias de base 5 i exponent enter negatiu? 

• un altre patrós trobarem en les potències de base 2, 4 o 8 (divisors de potències de 10) i exponent enter negatiu: totes les seves expresions decimals acaben en 5
• el patró que compleixen les xifres finals de potències de base 5 i exponent enter positiu coincideix amb el patró que compleixen les xifres finals de potències de base 2 i exponent enter negatiu i recíprocament
• les potències de bases que no siguin nombres divisors de potències de 10 i exponent enter negatiu totes les seves expresions decimals són periòdiques

7) La xifra final de les potències d'exponent fix
La següent imatge resumeix el comportament de la xifra de les unitats de les potències quan anem variant la base. Per exemple, en relació a les potències d'exponent 4, el diagrama (tercer de la primera fila) indica que si la base és 1 el resultat també acaba en 1 (per això hi ha una fletxa circular que surt i arriba a l'1), si la base és 2 el resultat acaba en 6 (per això hi ha una fletxa que surt del 2 i arriba al 6), si la base és 3 el resultat acaba en 1 i així succesivament.

Els diagrames corresponents als exponents 2 i 3 ja havien sortit en els posts dedicats a nombres quadrats i nombres cúbics.

Crida l'atenció el patró de les potències d'exponent 5 i la relació entre les potències d'exponent n i les d'exponent n+4.

8) La xifra inicial de les potències de base 2
Quina és la primera potència de base 2 que comença amb 7? i amb 9?
Quin percentatge de les potències de base 2 comencen amb 1? (Font: Numberphile i OEIS)

En analitzar el comportament de la primera xifra de les potències de base 2 veiem que 1 és la que més es repeteix però poc a poc van apareixent totes les altres. el 7 no apareix fins la potència d'exponent 46, el 9 fins a l'exponent 53 i entre les primeres 100 potències de base 2, l'1 apareix trenta cops.

Inicis del comptatge

Comptatge acústic

S'anomena "comptatge acústic" a aquell en el que els nens aprenen a recitar la sèrie 1,2,3,4,5,6,... per distingir-lo del comptatge resultatiu al que, anteriorment, havíem dedicat dos posts, és a dir al tipus de comptatge que es fa (de fet és el que en diem "comptar")  quan els demanem que ens diguin quants cubets hi ha a sobre de la taula, o que agafin el número de clicks necessari per omplir un vehicle  que està en un altre lloc de la classe sense que en falti ni en sobri cap.Més informació aquí i aquí.

Aquest procés de comptar objectes implica posar en funcionament dues habilitats a la vegada : mentre es recita la sèrie numèrica cal anar assenyalant coordinadament amb dir el número de la sèrie (comptatge acústic) procés en el que moltes vegades cal enretirar l'objecte comptat per així no comptar-lo dos cops.

Reflexions sobre la introducció del comptatge acústic

Comptar cap endavant d'un en un i dir el següent
Comptar endavant és la primera habilitat necessària per a poder determinar quants objectes hi ha en una col·lecció determinada. El procès de recitar  la seqüència de nombres es comença a educació infantil, i continua a primer, fent jocs o activitats que ajudin a  interioritzar la sèrie 1, 2, 3, 4, 5,etc

Un exemple el tenim en la primera activitat del 3x6.mat de primer curs, on es planteja recitar la sèrie acompanyant-la de moviment corporal.

Captura de 3x6.Mat (Editorial Barcanova, 2005)

 Una activitat que mantenim vigent en noves propostes

Captura de Laboratori de Nombres (InnovaMat Education, 2017)

Un cop els alumnes tenen un cert domini, cal proposar-los que diguin quin és el següent d'un nombre, diferent del 1,  o que recitin una seqüència curta començant per altres nombres

Dir l'anterior i comptar enrere
La seqüència inversa, comptar endarrere, comporta força més dificultat. Una habilitat, en principi fàcil, com "dir l'anterior", és molt més complicada del que sembla.
Potser, si només demanem aquesta qüestió per escrit no ens en adonarem ja que la respondran bé, però si la pregunta és oral veurem que hi ha alumnes que tarden força a contestar, ja que, per exemple, si han de dir quin és l'anterior del 13 (o el que va abans del 13) i els demanem que diguin en veu alta el que pensen, és probable que la resposta sigui: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... el 12! Tenim algun vídeo de nens que fan això però no el podem posar  per respectar els drets d'imatge. Si coneixeu algun vídeo penjat a la xarxa, i els el voleu enviar, el penjarem en aquest post.

Això ens porta a plantejar que a diferència del comptar endavant, la seqüència en aquest cas hauria de començar per primer dir l'anterior d'un nombre, i posteriorment comptar endarrere, just al revés que fèiem per comptar endavant: primer recitar la sèrie  i després preguntar el següent d'un nombre.

Per acabar: és possible que algunes de les dificultats (manca de velocitat) en l'algorisme de la resta com, per exemple, fer el càlcul 9-2 vingui donada per la falta d'aquesta habilitat,encara que en aquest cas, el millor és que canvii l'estratègia i compti cap endavant enlloc de cap enrere de 2 a 9 o, millor encara, el treball amb els triangles additius (+ informació)

En aquest vídeo de @innovamat_ trobareu algunes altres reflexions al respecte de l'inici del comptatge:

https://youtu.be/D13K0v5d_2s 

Un applet
Vam conèixer aquest applet a la molt interessant, encara que ja inactiva, pàgina "Count Me in Too" L'alumne triava una carta que es girava mostrant un nombre (en el cas de la imatge el 5) l'ordinador "pronunciava" el nom del nombre. Posteriorment, l'alumne havia de dir quin era el número posterior i comprovar-ho (l'ordinador deia el nom del següent en anglès, italià o mandarí). Immediatament després, se li preguntava per l'anterior.

Els primers nombres cúbics

Després dels posts sobre els primers nombres quadrats (1 i 2), presentem una sèrie d'activitats sobre els primers nombres cúbics. Malgrat que no considerem que memoritzar aquesta sèrie sigui tan important com l'altra, ens dóna una excel·lent oportunitat de proposar petites investigacions de cerca de patrons i regularitats.

1) Suma de senars consecutius
Omple els buits i fes una conjectura:
3 + 5 = ___³
7 + 9 + 11 = ___³
13 + 15 + 17 + 19 = ___³
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = ___³

Solució: Els buits anteriors s'omplen amb els nombres 2, 3, 4 i 5 respectivament.

Les següents imatges suggereixen una justificació:

El cub d'aresta 4 es pot descompondre com a suma de quatre nombres senars (dos d'ells menors que 16 i dos d'ells majors que 16: 13+15+17+19) 

El cub d'aresta 5 es pot descomposar com a suma de cinc nombres senars (25, els dos anteriors i els dos següents: 21+23+25+27+29) 

2) Divisions entre 6
Tria un nombre natural i calcula el seu cub. Divideix els dos nombres entre 6. Què hi observes?

Solució: les dues divisions tenen el mateix residu.

La justificació d'aquest fet es basa en el fet que n³-n sempre és múltiple de 6 (una qüestió que es podria comprovar factoritzant n³-n =(n-1)n(n+1) i com que es tracta de tres nombres consecutius segur que un d'ells és múltiple de tres i al menys un d'ells és parell)

3) Suma de cubs dels dígits (I)

Hi ha quatre nombres de tres xifres que coicideixen amb la suma dels cubs de les seves xifres: un d'ells és el 153 (comprova-ho!) els altres tres nombres estan entre 370 i 410 (troba'ls)

Solució: els altres tres nombres són 370, 371 i 407

Font: Always Kidding!

4) Suma de cubs dels dígits (II)

Tria un nombre de tres xifres múltiple de 3. Suma els cubs dels seus dígits. Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior. Suma els cubs dels dígits del resultat obtingut en la suma anterior. Fes-ho uns quants cops més. Què observes?

Exemple: 258 → 645 → 405 → 189 → 1242 → 81 → 513 → 153 → 153 → ...

Solució: Sempre acabem en el 153 (que com ja hem comentat a l'apartat anterior és un nombre que coincideix amb la suma dels cubs de les seves xifres)

La primera observació que cal fer és que partint d'un múltiple de 3 totes els resultats obtinguts ho continuaran sent (un fet que es relaciona amb que la suma dels dígits és múltiple de 3 i com que en elevar al cub no canvia el residu de les divisions entre 3 (ni entre 6 com ja hem vist) la suma dels dígits del resultat també serà múltiple de 3).

I també es pot observar que l'ordre de les xifres d'un nombre no afecta tota la sèrie de nombres que ve al darrere. Això fa que l'afirmació de que sempre s'arriba al 153 es sosté en un anàlisi exhaustiu de uns 75 nombres d'inici.

Es fer propostes alternatives:

• començant triant un nombre de tres xifres que no sigui múltiple de 3 però que el seu anterior ho sigui. Aquí sortirà altre nombre de tres xifres que coicideix amb la suma dels cubs de les seves xifres: 370
• començant triant un nombre de tres xifres que el seu següent sigui múltiple de 3. Aquí sortiran altres dos nombres de tres xifres que coicideixen amb la suma dels cubs de les seves xifres: 371 i 407

5) Suma de cubs dels dígits (III)

Ja sabem que hi ha nombre amb la particularitat de coincidir amb la suma dels cubs de les seves xifres... però podem portar aquesta curiositat més enllà relaxant una mica l'expressió "la suma dels cubs de les seves xifres"

a) Calcula 

16³ + 50³ + 33³ =   

22³ + 18³ + 59³ =   

34³ + 10³ + 67³ =   

44³ + 46³ + 64³ =   

48³ + 72³ + 15³ =   

98³ + 28³ + 27³ =   

98³ + 32³ + 21³ = 

166³ + 500³ + 333³ =  

296³ + 584³ + 415³ = 

710³ + 656³ + 413³ = 

828³ + 538³ + 472³ = 

Solució: Les operacions plantejades tenen per resultat la concatenació de les tres bases 165033, 221859, 341067, 444664, 487215, 982827 i 983221; el mateix passa amb els nombres de tres xifres: 166500333, 296584415, 710656413 i 828538472

Font: Always Kidding!

b) Calcula i fes una conjectura:

1³+5³+3³ = 

16³+50³+33³ = 

166³+500³+333³ = 

1666³+5000³+3333³ = 

Solució: Les operacions plantejades tenen per resultat 153, 165033, 166500333 i 166650003333. A partir d'aquests resultats sembla natural conjecturar que 16...6 ³ + 50...0 ³ + 33...3 ³ = 16…650…033…3.

Font: @TapasDeCiencia

Justificació: independentment de l'objectiu de treball amb els nombres cúbics i treballant amb alumnes que ja tinguin una relació fluïda amb la manipulació algebraica, podem justificar la conjectura.

Si n = 16…6 llavors 3n+2＝50…0 i 2n+1 = 33…3, per tant, n ³＋(3n+2) ³＋(2n+1)³ = n(6n+4) ²＋(3n+2)(6n+4)＋2n+1 = n · 100…0 ²＋(3n+2) · 100…0＋2n+1 = 16…6 · 100…0 ² + 50…0 · 100…0 + 33…3 = 16…650…033…3

6) La xifra final dels nombres cúbics

Escriu els primers nombres cúbics en ordre creixent i analitza la xifra de les unitats de cadascun d'ells. Què observes?

Solució: El diagrama que apareix a continuació representa que qualsevol nombre acabat en 0, 1, 4, 5, 6 i 9 en elevar-lo al cub no modifica la seva última xifra, però els nombres acabats en 2 elevats al cub acaben en 8, els acabats en 8 acaben en 2, els acabats en 3 acaben en 7 i els acabats en 7 acaben en 3.

En conclusió, els nombres cúbics poden acabar en qualsevol dígit (una cosa que no passava amb els nombres quadrats).

Celebrem els 200 posts parlant dels origens del PuntMat

Estem de celebració: el post anterior va ser el número 200, però també celebrem un aniversari: aquest curs fa 10 anys que vàrem publicar una col·lecció de quaderns d'Aritmètica seguint les idees dels holandesos de l'Institut Freudenthal en el seu llibre "Children Learn Mathematics".

El seu nom va ser 3x6.mat (sis cursos, tres quaderns per curs i el ".mat" que va donar origen al nostre nom "PuntMat"). Volia ser una proposta de llibre alternatiu d'Aritmètica des de primer a sisè. Actualment tot i que estan pràcticament descatalogats, (no és fàcil trobar-los) ens fa il·lusió pensar que ja fa 10 anys que estem parlant d'algorismes basats en nombres i no en xifres, flexibilitat al càlcul, models estructuradors (collarets, graella del 100, diners...), càlcul en columnes etc. i que poden ser un instrument útil, encara per gent que s'inicii en aquesta mentalitat.

Us convidem a una visita guiada en 18 "postals" (3 per curs) perquè tingueu una idea del seu contingut. 

PRIMER DE PRIMÀRIA

Tipologia de problemes additius

Quadern 1 pàgina 23

Segons Carpenter, una de les classes de problemes additius són els de canvi (o transformació). L'activitat anterior és un exemple paradigmàtic d'aquest tipus de problemes, recrea un viatge d'autobús "Hi ha 9 persones en l'autobús, en baixen tres. Quantes queden a l'autobús? La proposta demana fer el problema manipulativament i l'objectiu és fer la transcripció simbòlica: identificar  9 - 3 = 6 amb "si n'hi van 9 i en baixen tres al final en queden 6". Més informació aquí. Fins i tot hi ha vídeos que plategen problemes amb autobusos: aqui

Comptatge acústic

Quadern 2 pàgina 11

Els tallerets són unes mini-activitats que encapsulen aproximadament la meitat de les pàgines dels quaderns de primer, curs en el que cal fer moltes activitats curtes d'adquisició d'habilitats

 Dir l'anterior d'un nombre no és gens fàcil. Entre les primeres habilitats de comptatge hi ha el comptar endavant i endarrere d'un en un, i també la de dir l'anterior i el següent, habilitat que no és tan immediata com pot semblar a primera vista. 

D'entrada algú que no hagi treballat amb nens i nenes d'aquestes edats veient que saben comptar endavant i endarrere, i que diuen el següent d'un nombre amb tota facilitat, pot pensar que si demana  l'anterior passarà igual. 

Si els fem fer l'activitat contestant sobre un paper no ens adonarem, però si els ho preguntem és molt possible que alguns nens tardin molt en donar la resposta. Si els demanem que diguin com ho compten per dir l'anterior de 13, veurem que el que fan és començar per l´ú anar fins el 13 i aleshores tirar endarrere i dir "12". Saber dir l'anterior és important sobretot quan els toqui solucionar problemes de resta.

La graella del 100

Quadern 3 pàgina4

La graella del 100, un dels recursos molt utilitzats en aquests quaderns ja que es aacompanya a identificar unitats i desenes de manera estructurada, a CI,  a estudiar els múltiples a CS, passant per les multiplicacions a CM.

En aquesta activitat, es treballen dos aspectes: escriure l'anterior i el següent d'un nombre i trobar quin nombre va a cada color.

Les estratègies per solucionar la segona part de la tasca poden ser diverses: per exemple, per fer el requadre vermell, poden partir del 49 i fer 49 i 59, 69 i després dir l'anterior: 68 o poden sortir del 75 i fe 65,66 etc del 30 etc. L'objectiu de càlcul és treballar el comptatge acústic d'un en un i de deu en 10 endavant i endarrere. Més informació aquí i aquí.

SEGÒN DE PRIMÀRIA

Pràctica individual d'habilitats 

Quadern 4 pàgina2

L'objectiu d'aquest tipus d'activitat és Informar als alumnes i als seus pares sobre el què es treballarà de pràctica. Això permet que els alumnes s'assabentin  que els va bé i en que van més fluixos.

Aquest tipus d'activitats surten dos cops a cada quadern, de primer a tercer curs,  a la pàgina 2 i 14. Això implica que funciona com a avaluació inicial o presentació de continguts, en començar i quan s'està a la meitat del quadern.

La línia numèrica buida

Quadern 5 pàgina 4

L'ús de models estructurats com la recta numèrica ens permet, treballar habilitats bàsiques: comptar de 10 en 10 i de 5 en 5, estratègies de càlcul per exemple per arribar a 59 poden fer cinc salts de 10, un de 5 i quatre d'1, però també sis salts de 10 i tirar enrere un. Aquesta és l'anomenada estratègia de salts que permet "fer sumes" amb altres instruments que no siguin els algorismes. Més informació aquí.

Estimació

Quadern 6 pàgina 5

Tenim aquí un exemple d'activitat en la que el càlcul mental ve acompanyat de certa capacitat de decisió. Per exemple, per decidir si 59+41 és més gran, igual o més petit que 100 cal afinar, però amb 34+30 no cal fer la suma. Amb quines parelles de nombres passaria això? per què? i en les restes?. Més informació aquí.

TERCER DE PRIMÀRIA

Les taules de multiplicar

Quadern 7 pàgina 10

Si durant el procès d'aprenentatge de les taules de multiplicar, ens fixem en les tècniques de memorització que utilitzen de manera natural els alumnes que avancen més, veurem que molts cops apliquen una estratègia que anomenem "fets coneguts - fets derivats". Si partim que els alumnes ja saben la taula del 10 i han de calcular 7x9, per exemple, poden pensar si 10 grups de 7 són 70, nou grups seran 70-7. Raonaments com aquests els obra la porta a seva memorització. Més informació sobre taules aquí, aquí, aquí i aquí.

Estratègies alternatives

Quadern 8 pàgina 6

A partir de dos personatges es discuteix  la confrontació entre les seves  (als que podríem anomenar l’algorísmic i el "gandul"), o sigui el que busca la manera més eficaç de fer-ho per promoure l'ús d'estratègies alternatives eficients. Per poder fer el gandul, cal dominar les Mates.

Propostes als pares i mares

Quadern 9 pàgina 2

Convidar als pares i mares a fer activitats que no representin "ensenyar-los res" sinó plantejar reptes, que molts cops tenen la particularitat que impliquen a tota la família, des del punt de vista que d'entrada ningú té la solució.

En aquest cas es tracta de triar, entre les cartes de l'1 al 9 quatre nombres i utilitzant-los tots quatre, sumant restant multiplicant o dividint aconseguir el nombre 24.. Per exemple amb 1,2, 3 i 4 una solució podria ser 3x4x2x1, i amb 2,3,5 i 7,  7x3+5-2. Ideal per a un viatge avorrit en cotxe: apuntar la matricula del cotxe del davant i mirar d'aconseguir el 24 amb els seus 4 nombres, a veure qui dels viatgers ho troba.

QUART DE PRIMÀRIA

Construcció dels algorismes

Quadern 10 pàgina 24

Ens els últims quatre anys s'ha parlat molt del fet de portar a les classes els algorismes basats en nombres, com a un contingut més a treballar, endarrerint la presentació dels algorismes estàndard. En relació a això, en el plantejament del 3x6.mat optem per el "càlcul en columnes". La proposta és  que tots els alumnes dominin aquest tipus d'algorisme i endarrerir la presentació dels estàndard. Aquest full és la introducció a la divisió en columnes.

La il·lustració que acompanya  a l'explicació no és gratuïta: la construcció grupal ajuda a la transparència, es a dir a entendre a fons cada pas que realitzen. Podeu trobar més informació sobre el tema de la construcció aquí

Pràctica productiva

Quadern 11 pàgina 25

A l'hora de exercitar algorismes, normalment s'acostumen a proporcionar fulls d'operacions, activitats que tenen una dinàmica passiva. En plantejar un treball en grup en el que cal resoldre un "problema" com l'anterior, fer divisions forma part del procès: Però no és l'objectiu. L'objectiu és resoldre el repte.

Si demanem al final si han fet servir alguna estratègia, poden sortir respostes com, en el cas del 723, per exemple, "provo primer amb el 7 al divisor  ja que amb el 2 solament pot ser l'1 o el 2.  

Més  informació sobre aquesta activitat en concret aquí

 Minilliçons

Quadern 12 pàgina 30

Minilliçons són  aquelles activitats que promouen l'ús de fets derivats: deduir el resultat d'una operació a partir d'una ja resolta.  Implica entrar a manejar  propietats de les operacions, sentit numèric, etc. i així aprofundir en el coneixement dels nombres, les seves propietats i les estratègies implicades.

S'avisa amb un llamp quan l'exercici és complicat. Activitats així potencíen "que parlin ells" quan han d'explicitar  el raonament que els ha portat a solucionar la tasca.

Més informació aquí i aquí.

CINQUÈ DE PRIMÀRIA

Acotar i estimar

Quadern 13 pàgina 30

En aquesta activitat, un altre cop, el "que parlin ells" es potencia. Per exemple: en el cas del 439x3: 

• "Arrodonint per baix 400x3= 1200 per tant serà més gran que 1200"   
• "arrodonint a per dalt 132 x 5 farem 200x5 = 1000. 
• Per tant 132x5 serà la més petita. Ho comprovem amb la calculadora
  

Calculadora trencada

Quadern 14 pàgina 12

Sota aquest nom hi entra un tipus d'activitats en la que l'argument principal és que disposem d'una calculadora que té algunes tecles que no funcionen. Això genera el problema que per calcular una operació, necessito trobar un camí alternatiu. Com resoldre el problema?
 Per exemple en el cas de 36 x 374 una sortida seria multiplicar per 18 i per 2, o per 72 i dividir per dos, o multiplicar per 35 y sumar 374.
Trobareu informació aquí. Val a dir que en aquest cas els applets ens fan un gran servei i hi ha un bon recull d'aquest tipus de calculadores al nostre blog d'applets.

Ús del context 

divisió amb decimals

Quadern 15 pàgina 31

 La presentació de continguts o procediments nous en cursos elevat, es continua plantejant sota la filosofia del "càlcul en context",  és a dir plantejar una activitat que els alumnes puguin resoldre, aplicant  els seus coneixement, dona una base sòlida per posteriorment passar al món del símbols.

En aquest cas el contingut a treballar és "treure decimals en una divisió" on enlloc de explicar quan i com posar la coma, es comença per resoldre una situació en context: repartir 10€ entre 4 moneders manipulativament veure que dóna 2€ i 50 cèntims: 10:4=2,50, i a partir d'aquí s'anirá  avançat  progressivament  cap el camp simbòlic, a psrtir de converses a classe.

 SISÈ DE PRIMÀRIA

Càlcul ràpid

Quadern 16 pàgina 30

Les sèries de càlcul ràpid, com per exemple les del Quinzet, presenten l'avantatge que es realitzen una quantitat important d'operacions en un període de temps curt: Es centren en càlculs bàsics i taules de multiplicar o "de dividir". 

En el 3x6.mat,  es presenten en dos fulls per quadern, a l'apartat d'avaluació, amb un canvi important:  augmenta la mida dels nombres, proposant operacions com, per exemple, 341+104 o divisions tipus 12:5, en les que cal donar quocient i residu. 

A sisè els dos fulls es diferencien. El primer, que segueix la idea de cinquè es titula "Rapidesa d'operacions: les de sempre"  i l'altre, "Rapidesa d'operacions: coses noves" on  s'amplia el camp i es fan: sèries de fraccions d'una quantitat, divisibilitat, tants per cent, sumes i restes de fraccions senzilles, trobar fraccions equivalents, divisibilitat, ordenar fraccions, ordenar decimals etc

Algorismes històrics

Quadern 17 pàgina 24

Hi ha una idea generalitzada sobre el caràcter únic de l'algorisme amb el que es resolen els càlculs aritmètics. Però es tracta d'una idea equivocada, els algorismes varien segons el lloc i l'època. Pel que fa al lloc, un exemple molt proper el tenim en la resta portant-ne, en el que molta gent afegeix les que es porten en el subtrahend, mentre que a la majoria de països la treuen del minuend. L'algorisme de la multiplicació  a Cuba o Alemanya és diferent al que utilitzem en el nostre país, un exemple el trobareu aquí.

Pel que fa a l'època, en els quaderns hem recollit algun exemple d'algorismes antics per posar de manifest aquest fet

Per més informació podeu consultar "Barba, D. Calvo,C: Algoritmos antiguos de càlculo. Cuadermos de pedagogia 421, març 2012

Explicitar processos

 

La figura del robot és utilitzada per a promoure activitats de comunicació: el robot és molt útil, però no pren decisions.  necessita que li escriguin  les instruccions precises perquè faci de manera correcta el que se li demana. Per tant cal "afinar molt" les instruccions. Creiem que és un bon aliat per que parlin ell@s, i va apareixent de volta en quan en algunes pàgines.

Comiat

Esperem que aquestes 18 postals us hagin acostat a aquest país nostre anomenat 3x6.mat. Qualsevol comentari o aportació ens ajudarà a tancar aquest desé l'aniversari

Els primers nombres quadrats (II)

Seguint la proposta del post Els primers nombres quadrats (I) aquí continuarem comentant alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres quadrats en un ambient de resolució de problemes.

1) Quadrat més proper
Quin és el nombre quadrat més proper als següents nombres? 

• 1x2x3x4 
• 2x3x4x5
• 3x4x5x6 
• 4x5x6x7 
• ...

Font: Product of four consecutive integers
Solució: Si els alumnes coneixen els primers nombres quadrats podran observar que els resultats d'aquestes multiplicacions són sempre el nombre anterior a un nombre quadrat i alguns podran anar més enllà: el resultat de a·b·c·d és el nombre anterior al quadrat de a·d+1 o c·d-1

2) Quadrats consecutius
Escriu, en ordre, quatre nombres quadrats consecutius. Suma els dos dels extrems. Suma els dos del mig. Què hi observes?

Solució: La suma dels extrems és sempre 4 unitats major que la suma del mitjos. Aquesta regularitat a l'igual que l'anterior són fàcilment justificables algebraicament però no és aquest l'objectiu principal de l'activitat, que recordem que és familiaritzar-se amb els nombres naturals i establir conjectures en relació als patrons que hi puguin detectar.

3) La xifra final dels nombres quadrats
Escriu els primers nombres quadrats en ordre creixent i analitza la xifra de les unitats de cadascun d'ells. Què observes?

Solució: A partir d'aquests primers casos els alumnes poden conjecturar que cap nombre quadrat acaba en 2, 3, 7 o 8 o poden detectar que la xifra de les unitats segueix un cicle: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 i torna a començar. Aquest cicle no es trenca degut a la propietat que exposa el següent diagrama en relació a què passa en elevar un nombre al quadrat: si acaba en 0, 1, 5 o 6 el resultat acaba en la mateixa xifra, si acaba en 2 o 8 el resultat acaba en 4, si acaba en 3 o 7 el resultat acaba en 9, si acaba en 4 el resultat acaba en 6 i si acaba en 9 el resultat acaba en 1. 

Ampliació: Quines poden ser les dues últimes xifres d'un nombre quadrat?

Solució: Mentre que l'última xifra dels nombres quadrats poden ser 6 valors entre els 10 possibles, les últimes dues xifres poden ser 22 entre les 100 possibles (apareixen ressaltades en la següent tabla):

4) La xifra inicial dels nombres quadrats
Quin és el primer nombre quadrat que comença en 5?

Solució: El primer nombre és 529 (el quadrat de 23) però no és el dígit que més triga en aparèixer a la xifra inicial dels nombres quadrats (el 7 no apareix fins al quadrat de 27, 729). Val a destacar que les primeres xifres dels nombres quadrats no segueixen un patró com els que hem observat en les últimes xifres.  

5) Collar de perles quadrades
Reordena els nombres de l'1 al 35 perquè la suma de dos nombres adjacents sigui un nombre quadrat

Solució: 

enllaç

A la imatge anterior es veu un collar obert i al rang 1-35 però aquí es pot trobar una distribució que permet fer un collar tancat en aquest rang (1 35 29 20 16 33 31 18 7 9 27 22 14 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 28 8 17 32 4 5 11 25 24 12 13 3) i també en rangs més grans (fins i tot 1-50)