Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera

Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 

Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?

Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?

Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.

Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:

I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:

A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:


Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida:

Vam proposar als mateixos alumnes uns anys després una tasca inspirada pel blog Matemàtiques Marines. Es tracta de classificar fraccions segons el tipus d'expressió decimal que generin, o el que és el mateix, classificar divisions entre dos nombres enters segon el tipus de decimal que sigui el quocient:

Aquí podem veure treballs d'alumnes amb aquesta taula

• què passa en estendre aquesta taula cap a la dreta? 
• la idea és que vegin que els patrons de colors es repeteixen i el patró mínim és el que va des de la cel·la que està més a l’esquerra fins a la primera cel·la groga 
• què passa en estendre aquesta taula cap a baix? en quines files hi ha només cel·les grogues i taronges? en quines files hi ha només cel·les grogues i verdes? en quines files hi ha cel·les de tots els colors? 
• la idea és que vegin la relació entre les respostes a aquestes preguntes i els nombres primers que apareixen en la descomposició factorial del denominador

Expressió decimal de a/b amb a i b entre 1 i 100
(verd: enter, marró: decimal finit, groc: periòdic mixt, lila: periòdic pur)
(Font: document drive enlaçat al blog Matemàtiques Marines)

Els esquemes de Graham Fletcher

Fa uns dies, vam conèixer a través del sempre ben informat @druizaguilera aquesta sèrie de vídeos de @gfletchy que creiem que val la pena que recollim en un post ja que ens permeten reflexionar sobre la visió global que tenim sobre algunes temàtiques bàsiques de les matemàtiques en primària.

• inicis del comptatge 

Sobre aquest vídeo volem destacar l'ús que fa de les fitxes amb cares de dos colors per treballar les descomposicions dels dígits (minut 6:55)

• suma i resta

En aquest cas ens agraria destacar com utilitza la noció de "separar" per modelitzar la resta d'una manera que el portarà a fer transparent l'algoritme de la resta. (minut 4:50) 

• multiplicació 

Aquí destacarem l'ús que fa de la representació "pictòrica" com a pont entre el treball amb material manipulatiu i la representació simbòlica del treball fet amb el material (minut 3:40)

• divisió 

Deixant de banda que al final del vídeo dedica molt de temps a analitzar situacions que es fan més i més complexes a partir d'augmentar la quantitat de xifres del dividend i del divisor, que podria ser discutible, en aquest cas destaquem l'ús intensiu que fa del model rectangular de la multiplicació per recolzar els repartiments que involucren les divisions (minut 2:10)

• fraccions

A l'anàlisi que fa de l'estudi del significat, equivalència i comparació de fraccions destacarem la representació de fraccions sobre la línia numèrica des d'etapes molt més primerenques que les que acostumem a fer-ho per aquí.

Hi ha més informació sobre el treball de @gfletchy en el seu blog. Entre el seus posts destaquem especialment aquell en el que explica com es fan aquests vídeos.

Mondrian i la dissecció d'un quadrat en rectangles

Composició en vermell, groc, blau i negre
Oli sobre tela, 59.5x59.5, Piet Mondrian, 1921

Inspirant-se en l'obra de Mondrian MathPickle ens proposa aquest problema que ha estat un èxit cada vegada que l'hem portat a l'aula:

• Fes una graella de 10x10 
• Divideix la graella en rectangles diferents. ACLARIMENT: no es poden fer servir dos rectangles iguals, però sí que es poden fer servir dos rectangles diferents que tenen la mateixa àrea (per exemple, si hem utilitzat un rectangle de 2x3 no podem utilitzar un altre de 3x2 però sí un de 1x6).
• Acoloreix els rectangles seguint l’estètica del pintor Piet Mondrian. 
• Calcula la diferència entre el nombre de quadrets del rectangle més gran i el del més petit.

REPTE INICIAL: Quina és la diferència més petita que podeu aconseguir?

Els alumnes de 6è de @escolasadako van gaudir molt amb el problema, encara que cap d'ells va aconseguir la menor diferència possible (8).

La solució òptima de diferència 8 es pot obtenir així:

Però els alumnes de l'escola Tecnos de Terrassa, que es van entusiasmar moltíssim amb aquest problema, en conèixer aquesta solució es van proposar el repte de buscar-ne una altra que cap dels rectangles fos un quadrat. I no només ho van aconseguir sinó que ho van fer amb una solució més "elegant", utilitzant només sis rectangles!

Alguns mestres del seminari "Gràcia Barri Matemàtic" ho van proposar als seus alumnes de Cicle Mitjà i van explicar la seva experiència amb aquest problema al C2EM.

Els mestres del departament Col·laboratiu de Matemàtiques de la @FTrams també van proposar el problema als seus alumnes de Cicle Superior en el context del projecte Problemàtiques

Simon Gregg també va proposar aquest problema als seus alumnes:

ANEM MÉS ENLLÀ

• I si la graella inicial no és de 10x10 sinó de 4x4, 5x5, 6x6…?

El @druizaguilera ha representat així les solucions òptimes en aquests tres casos:

Així ho vam proposar als alumnes de 1r d'ESO de @escolasadako

MÉS REPTES

• És cert que a mesura que creix la mida de la graella inicial creix la solució òptima?
• És cert que si la graella inicial és de nxn, la solució òptima és menor o igual que n?

Podeu trobar un recull de solucions més informació sobre el problema aquí, aquí i aquí. En aquest últim enllaç trobareu aquest vídeo de Numberphile:




Al nostre blog tenim altres dos posts en els quals relacionem matemàtiques i art:

• en un d'ells analitzem els quadrats màgics que apareixen en les obres de Durer i Subirachs.
• en l'altre aprofitem les escultures d'Oldemberg per treballar la proporcionalitat geomètrica.

Puzzles & figures simètriques

Fa un temps el Don Steward va proposar en el seu blog Median una sèrie de puzzles (Three shapes) que vam trobar molt interessants i que vam portar a l'aula.

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 

Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de 2n d'ESO van trobar de molta ajuda construir-se les peces pra manipular-les, però de tota manera havíen de registrar les solucions trobades sobre paper.

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 

Durant les sessions de febrer de 2018 del seminari "Gràcia, barri matemàtic" treballant aquest problema vam observar que en tots els casos l'eix de simetria travessava una quantitat senar de quadrets i sempre travessava la peça taronja. Aquestes propietats ens van ajudar a millorar la solució que teniem, fins aconseguir 14 figures simètriques:

També vam discutir ventatges i inconvenients de que les tres peces tinguin colors diferents en contrast a com seria l'activitat si les tres peces fossin del mateix color.

En cas que no s'exigeixi que les peces han de compartir un costat s'afegeixen altres solucions, com per exemple:

Els alumnes van trobar unes quantes d'aquestes solucions:

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 

En el blog ORCA es pot veure com els fills de la Marleen van trobar aquestes solucions fent servir peces de Lego

En el Reflecting Squarely del projecte Nrich també trobem un problema d'aquest tipus amb les peces:

Allí es deixa molt clar que les peces s'han d'enganxar de manera que els vèrtxes de les tres figures han de ser punts de la graella i el contacte entre les peces no pot ser només el vèrtex. En aquestes condicions les solucions són nou. Trobem molt interessant les tasques d'ampliació que s'hi proposen:

• Dissenya altres tres figures (la suma de les tres àrees no hauria de superar 10 quadradets) i calcula la quantitat de maneres en es poden disposar per fer formes simètriques
• Pots trobar tres figures que donin lloc a més solucions que el cas original?
• Pots trobar tres figures per a les quals no hi hagi solució?

En la XXI jornada de l'ABEAM van recollir dos nous puzles de simetria proposats pel @MMACA_cat. L'objectiu en cada cas és el mateix: juxtaposant les peces, sense sobreposar-les, aconseguir un polígon (sense forats) amb un eix de simetria: