Ús de parèntesis i prioritat d'operacions

L'ús de parèntesis i "que parlin ells"

Aprendre a utilitzar parèntesis és important en Matemàtiques. El moment actual, un marc competencial i la importància de la comunicació com a competència rellevant, ens conviden a reflexionar sobre aquest aspecte.

Els coneguts jocs en que s'ha de combinar nombres per a obtenir-ne un de prefixat representen una excel·lent oportunitat per introduir l'ús de parèntesis per comunicar determinat càlculs. Un exemple d'aquests jocs:

photo credit: )ota. via photo pin cc

El joc del 24
És un joc que es planteja utilitzant cartes amb nombres de l'1 al 9. Es treuen quatre cartes del mateix coll i per tant, diferents. Utilitzant els quatre nombres un sol cop cadascun i les operacions suma, resta, multiplicació i divisió (els cops que es vulgui), cal obtenir el nombre 24.

Proposem el joc a classe: és una activitat que en general els agrada, sobretot perquè no és un exercici "preparat" sinó que són les cartes les que determinen la sortida. Al cap d'una estona comencen a sortir solucions que es van recollint col·lectivament.
Suposem que els nombres que han aparegut són l'1, el 4, el 3 i el 7 i que al cap d'una estona una alumna ja hagi trobat una solució que ha expressat d'aquesta manera (els nombres encerclats indiquen els quatre nombres a utilitzar, els altres surten dels resultats parcials, el segon 3 i el 21.)

Podem aprofitar l'ocasió demanant que enlloc d'escriure les operacions de "forma indicada" comprimeixin tots els càlculs utilitzant una sola expressió. És força normal és que els alumnes escriguin: 4 - 1 + 7 x 3 = 24. En calcular el resultat de l'expressió en algunes calculadores dóna 30, encara que, aplicant la llei de prioritat d'operacions, dóna 24 (però pensem que aquest és un contingut posterior ja que va associat a una economia a l'hora d'escriure i de moment el que volem és que "comuniquin un ordre").

Per tant cal posar-se d'acord en com indicar quins càlcul parcials es fan abans i quins després. Plantejat això a classe una de les propostes dels alumnes acostuma a ser la del tipus: "primer fes 7 x 3" i per assenyalar-ho ho tanquin en un registre determinat com, per exemple, un rectangle.

Aquest rectangle, que ens ajuda a comunicar l'ordre de les operacions, és l'antecedent als parèntesi i ha sorgit per la necessitat de comunicació. Podem exercitar-lo amb activitats del tipus següent:

• Quants resultats diferents es poden obtenir a partir de 3x5+2x3, posant el parèntesi en llocs diferents? 
• O el seu invers: posa el parèntesi de manera que l'expressió 3x5+2x3 doni 51.

També és un bon moment per parlar dels dos tipus de calculadores senzilles, jeràrquiques i no jeràrquiques, la diferència entre elles i el perill que correm si no comprovem d'entrada de quin tipus són: el primer que cal fer amb una calculadora desconeguda és calcular 2+3x5 (per exemple), si dóna 17 és jeràrquica, si dóna 25 és no jeràrquica. Solament imagineu els problemes que pot presentar quan calculem la mitjana de notes d'una activitat ja feta la taula de freqüències (4x4+6x5+7x6) i les calculadores que tenim són no jeràrquiques.

El joc del 24 a la xarxa 
Un applet interessant que treballa el joc del 24, consta d'una seqüència de 5 activitats que guia a l'alumne en l'escriptura ordenada de manera vertical que és un primer pas a fer per ensinistrar als alumnes a comunicar de manera ordenada. Posteriorment i ja en paper podem passar a les expressions en una sola línia utilitzant parèntesi.

Captura de pantalla http://www.fisme.science.uu.nl/toepassingen/03002/toepassing_rekenweb.html

Si voleu proposar el joc als vostres alumnes amb cartes, pot ser us va bé tenir a mà un applet que troba algunes solucions per qualsevol quaterna que li proposeu.

Captura de pantalla http://scripts.cac.psu.edu/staff/r/j/rjg5/scripts/Math24.pl 

La raó del 24 i no de qualsevol altre nombre
La raó de la tria del joc amb quatre cartes és purament matemàtica i saber-ho és interessant: donats quatre nombres de l'1 al 9 a l'atzar no repetits, solament hi ha dues quaternes (entre les 126 possibles) que no tenen solució: la 1678 i la 3467. Un bon tema de discussió per treballar amb alumnes grans. Per a més informació i si voleu saber més sobre el joc del 24 i no us atrevíeu a preguntar-ho, en Toni Gomà us ho explica aquí.

Contextualitzant per entendre: llei de prioritat d'operacions
La llei de prioritat d'operacions és un conveni que ens permet simplificar les expressions simbòliques estalviant parèntesis. Entenem que és l'estadi final d'un procés: primer entendre que cal prioritzar certes operacions amb l'ús del parèntesis, per després arribar a la llei per estalviar complexitat en l'expressió.

En Adolf Almató: un dels tres "mestres" que em van marcar en començar a fer de "mestre de mates" (els altres dos varen ser en Francesc Esteva i en Pere Roig) em va explicar, als anys 80, una activitat que va fer per treballar la llei de prioritat d'operacions amb els seus alumnes.

Acte 1: Es demana que calculin una expressió escrita a la pissarra: 2x3+4x5 mentalment. Pot passar que hi hagi alumnes que els doni 26 i d'altres 50.

Acte 2: Es reparteixen calculadores (jeràrquiques i no jeràrquiques) a diferents grups d'alumnes. Es comprova que les calculadores tampoc "es posen d'acord". Unes donen 26 i d'altres 50. No cal dir que les discussions i justificacions entre alumnes de cinquè o sisè eren impossibles i que anaven des de la desqualificació de l'adversari a l'estat de les piles de la calculadora del company o companya.
Acte 3: Parem les discussions i resolem el següent problema mentalment: la Maite compra 2 llapis que valen 3 pessetes (estem a principis els 80) cadascun i després 4 paquets de galetes que valen 5 pessetes cadascuna. Quant s'ha gastat? Aquest cop el resultat és el mateix per a tothom: 26 la discussió es tanca. És el moment de representar-ho simbòlicament: 2x3+4x5 i reprendre la discussió primera des de l'argument "dóna 26 no hi ha dubte" (ara diríem: el context no enganya) què passa a l'hora de calcular? com ho hem de fer perquè doni 26?

Aquest és un exemple clar del paper del context en la compressió dels continguts matemàtics: qualsevol altra explicació del mestre cauria en el sac del "es fa així". Però quan a tots els alumnes de classe, aplicat a una situació en context, els ha donat que el resultat és 26 no cal aprendre-ho de memòria: s'ha entès per sempre.

Aquesta activitat, dels anys 80, continua sent vàlida actualment. El que segurament canviaria, degut al paper que el context juga actualment, seria que primer plantejaríem el problema en context resolent-lo utilitzant el càlcul mental, per després plantejar-nos a l'hora de representar-ho simbòlicament quines condicions ha de complir una expressió simbòlica perquè no sigui equívoca i comuniqui exactament el que nosaltres volem.

Posts relacionats: Materialitzacions d'applets

Un comentari a posteriori: