Poliedres amb cares triangulars

Aquesta setmana al taller amb materials manipulatius per treballar la Geometria que fem periòdicament amb els alumnes de l'assignatura AE1 del Màster per a la formació de professors de Secundària de la UPF ens hem platejat construir tots els poliedres convexos que és possible construir de tal manera que totes les seves cares siguin triangles equilàters iguals: els deltaedres

Aquestes fotografies en són el resultat:

Tetraedre (poliedre regular de 4 cares)
Piràmide triangular 

Hexaedre (poliedre no regular de 6 cares)
Bipiràmide de base triangular

Octaedre (poliedre regular de 8 cares)
Bipiràmide de base quadrada

Decaedre (poliedre no regular de 10 cares)
Bipiràmide de base pentagonal

Dodecaedre (poliedre no regular de 12 cares)

Es substitueixen les bases d’un antiprisma quadrat per dos triangles

Tetradecaedre (poliedre no regular de 14 cares)
Prisma triangular triaugmentat (o sigui que es substitueix cada
cara quadrada del prisma per una piràmide de base quadrada

Hexadecaedre (poliedre no regular de 16 cares)

Bipiràmide de base quadrada girolongada

Icosaedre (poliedre regular de 20 cares)
Bipiràmide de base pentagonal girolongada

Però també hem pogut anar més enllà centrant-nos en els angles que formen les cares del tetraedre i octaedre. 

• les cares del tetraedre formen un angle d'aproximadament 70º

Si com ensenya la següent fotografia posem cinc tetraedres de manera que coincideixin en un vèrtex es veu que l'angle que formen les cares considerat cinc cops és proper a 360º, sense arribar-hi. Això ens permet estimar l'angle amb un valor lleugerament per sota dels 72º.

També podriem calcular l'angle que formen les cares del tetraedre mitjançant trigonometria. El cosinus de l'angle que forma un triangle amb un altre val un terç i, per tant, l'angle mesura aproximadament 70º. 

• els angles que formen les cares del tetraedre i que formen les cares de l'octaedre sumen 180º

També podriem comprobar aquesta suplementarietat calculant l'angle que formen les cares de l'octaedre. Això ho podem fer, mitjançant trigonometria, calculant l'angle que forma la base amb les cares de la piràmide quadrada obtinguda en partir en dos l'octaedre. El cosinus de l'angle que forma el quadrat amb cada triangle val arrel de 3 sobre 3 i, per tant, l'angle mesura aproximadament 55º. Com a conseqüència d'això deduïm que l'angle que formen dues cares de l'octaedre mesuren aproximadament 110º. 

Un dels grups, fent aquesta comprovació, ha fet aquesta construcció

Això ens ha portat a relacionar els volums d'aquests poliedres: amb 4 tetraedres i un octaedre que comparteixen la mida de les seves arestes hem aconseguit formar un tetraedre que té una aresta el doble de gran. En duplicar l'aresta el volum del tetraedre gran (Vg) és vuit vegades més gran que el volum del tetraedre petit (Vp):

Vg=8Vp

Com a més Vg = 4Vp +Vo, sent Vo el volum del tetraedre, resulta que:

Vo=4Vp

O sigui, que el volum de cada tetraedre que podem fer amb peces triangulars del Polydron (o qualsevol altre material per construir poliedres a partir de les seves cares) és la quarta part del volum de cada octaedre que podem fer amb les mateixes peces!!!

Agraïment especial als alumnes abans esmentats per les fotografies, per les reflexions compartides i sobre tot, per l'entusiasme amb que  han realitzat les tasques proposades.

Comentaris posteriors:

• En aquests tres enllaços es pot aprofundir sobre la relació entre el tetraedre i la piràmide de base quadrada i arestes iguals (mig octaedre): enllaç 1, enllaç 2 i enllaç 3
• Si no demanem convexitat estricta (o sigui, no demanem que dos cares formin angles inferiors a 180º sinó que admetem que siguin "inferiors o iguals") tenim un conjunt més ample de deltaedres (per exemple la unió d'un octaedre i un tetraedre qeu apareix en una fotografia anterior seria un deltaedre no estrictament convexe i molts més exemples es poden trobar aquí)  
• Podem proposar l'estudi de deltaedres no convexes com el que proposa @DavidKButlerUoA en aquest fil de Twitter