Graella multiplicativa

Al quadern 8 de la col·lecció 3x6.mat vam incloure aquesta proposta

Quan demanem a l'alumne que col·locant la "L" en altres posicions ompli la taula, podrà observar que sense haver de fer cap multiplicació ha omplit la graella multiplicativa.

Recordeu que al blog d'applets del Puntmat hi ha una entrada amb applets relacionats amb aquesta graella.

Captura de pantalla d'un dels applets ressenyats a Graella Multiplicativa

A l'igual que vam proposar fer un puzle amb la graella del 100, podem fer el mateix amb la graella multiplicativa

I havent jugat a reconstruir la graella a partir de diferents peces podem presentar peces incompletes perquè els alumnes omplin sabent que formen part de la graella. En alguns casos la solució és única, en altres no:

La graela multiplicativa, lluny de ser simplement una taula de nombres a recordar, la considerem un terreny per analitzar:

• la seva simetria com a reflex de la propietat commutativa de la multiplicació

• els nombres que hi apareixen
• Val observar que encara que hi ha 100 cel·les a la taula només hi ha 42 valors diferents: alguns d'aquests valors apareixen només un cop (per exemple, 49) d'altres apareixen múltiples vegades (per exemple, 30 apareix quatre cops).
• Quins tipus de nombres veuen més freqüentment a la graella. parells o senars? Sorprendrà als alumnes veure que només la quarta part de les 100 cel·les corresponen a nombres senars.

• Si demanem als alumnes de cicle mitjà que davant d'una graella multiplicativa buida omplin totes les cel·les que contenen nombres superiors a 50 poden sorprendre's en veure que malgrat que els 100 nombres que omplen la graella estan en el rang [1,100], la quantitat de resultats en el rang [51,100] és  inferior al 20%. Encara més, podem analitzar la distribució dels resultats en quatre zones:

• La graella ens ofereix un bon recurs per practicar les taules. Podem oferir una graella buida (només els encapçalaments de files i columnes) i demanar als alumnes que pintin totes les cel·les on apareixerà un dígit determinat.  

Aquí veiem els patrons visuals que descobriran els alumnes al pintar les cel·les en que apareix el dígit 1, 2, 3, ..., 9 o 0.

Es parla d'aquesta tasca i d'altres al vídeo "Graella Multiplicativa" gravat pel CREAMAT en el marc de la campanya per fomentar els Laboratoris de Matemàtiques:

• si extenem la graella cap a la dreta i cap abiax, podem analitzar la distribució dels múltiples d'un nombre

Si voleu explorar altres patrons que dibuixen els múltiples sobre la graella multiplicativa, exploreu-los fent servir un applet dissenyat pel @jfontgon amb Geogebra. El Jordi també ens ha regalat la possibilitat de fer exploracions en un full de càlcul.

Els múltiples de 15

Hi ha molta més informació sobre aquests patrons a l'article The Hidden Symmetries of the Multiplication Table que vam conèixer gràcies a Raúl Ibáñez

Un dels exemples que apareix a l'article: es veuen els múltiples de 16 pintats
de taronja, entre la resta apareixen de grocs els múltiples de 8, entre la resta,
 els múltiples de 4 apareixen en vermell i els altres parells en verd.

• podem preguntar per la suma de cada fila d'aquesta taula o la suma de la taula sencera 

Si ens restringim a la graella de 5x5 la pregunta anterior coincideix amb
preguntar pel nombre de cubets necessaris per a la construcció de la imatge

• o, per què no apareix el nombre 13? i el 77?
• o, què passaria si fessim la taula ampliada a 20 x 20? i a nxn? hi hauria nombres que continuarien sense apareixer? hi hauria nombres que només apareguéssin 2 cops? i 3? 

I moltes propietats més:

• on es troben els nombres triangulars en aquesta taula?

Captura de pantalla de la proposta del projecte Nrich: Triangle Numbers

• on es troben parelles de nombres consecutius units per un vèrtex?

El resultat de nxn i de (n+1)x(n-1) són nombres consecutius

• què passa en sumar dos nombres d'una mateixa fila (o columna) que deixen una cel·la entre ells?

Imatge del quadern "Laboratori de Nombres" editat per @innovamat_cat per a  3r de primària

• la suma de cinc cel·les consecutives de la graella sempre dona un nombre acabat en 0 o en 5 (fins i tot quan les cel·les es trien seguint una diagonal)

Captura feta utilitzant aquest applet

• situem sobre la graella màscares de diferents mides
• treballant amb la màscara groga: comparem la suma dels nombres que queden en una diagonal (\) amb la suma dels nombres que queden en l'altra diagonal (/)
• treballant amb la màscara verda: comparem la mitjana del nombres que queden en les quatre cantonades amb el nombre que queda en el centre de la màscara

• què s'obté en fer la mitjana de tots els nombres de la graella des d'1x1 a nxn?

 La mitjana de totes les cel·les entre 1x1 i 9x9 és 5x5. 

En general, la mitjana de les cel·les fins a nxn és (n+1)²/4

I encara més en general, la mitjana de les 

cel·les entre 1x1 i nxm és (n+1)/2·(m+1)/2

Per una altra banda, la mitjana dels nombres de la graella que es troben en el 

rectangle de vèrtexs (n-k)x(m-h), (n-k)x(m+h), (n+k)x(m+h) i (n+k)x(m-h) és n·m

• què s'obté en sumar els nombres de la n-ésima fila i la n-ésima columna fins al punt on es troben ambes dues?

Captures de pantalla de l'applet Multiplication Square on també es troben relacions 

entre la suma de diagonals de la graella amb els nombres tetraèdrics i piramidals

Altres graelles multiplicatives
Al blog d'applets del PuntMat tenim un bon recull de recursos digitals per treballar amb aquesta mena de graelles i a continuació llistem algunes altres propostes

A la pàgina del projecte NRICH trobem un problema relacionat amb aquestes graelles: Gabiel's Problem on es demana col·locar els nombres de l'1 al 9 en les cel·les de manera que el producte de cada fila i columna sigui el valor indicat

Una altra activitat d'aquesta mena és Mystery Matrix, també del NRICH implica prendre decisions sobre l'ordre d'actuació. Per exemple el 49 és segur, i també sabem que a la fila del 15 i el 27 solament hi pot anar un 3.

Aquesta mateixa idea la treballa una tercera proposta del NRICH Missing multipliers. INclou un applet en el que cal prémer un quadret i apareix quin nombre hi ha amagat i cal triar els factors. Cal anar omplint fins obtenir tots els factors de l'eix vertical i horitzontal. És de dificultat més alta, implica haver d'utilitzar estratègies d'optimització per fer-ho en el nombre de passos que marca l'applet. Potencia  fer un treball de descomposició en factors molt interessant. L'applet es completa amb  un seguit de preguntes o reflexions a formular

Hi ha un blog anomenat "Find the factors" destinat exclusivament a proposar reptes d'aquesta mena. Aquests reptes es diferencien en sis nivells i creiem que a partir del nivell 3 comencen a tenir gràcia les propostes.





Un altre interessant applet de @PhETsims per treballar amb la graella multiplicativa: Arithmetic

Aquí podeu veure un petit vídeo explicatiu