PuntMat: Els primers nombres primers

Des del moment en que a un alumne li podem proposar la tasca de dibuixar tots els rectangles possibles que cobreixin 23, 24 o 25 quadrets d'un paper quadriculat, ja podem introduir els conceptes de nombres primers, compostos i quadrats. Al post Nombres primers, compostos i quadrats vam veure que després d'haver introduït aquests noms, podem visualitzar-los de molt variades maneres.

Però a més de saber identificar els nombres primers creiem en la importància de que els alumnes memoritzin alguns d'ells per poder avançar en tasques posteriors sense haver d'aturar-se a verificar si tenen o no més de dos divisors. Però creiem que aquesta memorització pot desenvolupar-se en un ambient de resolució de problemes.

En aquest post volem comentar alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres primers. Es tracta d'activitats que els alumnes poden resoldre simplement coneguent els 30 nombres primers més petits que 120, però a les que hem afegit alguns comentaris d'aprofundiment, prescindibles, per si algun mestre vol treure més suc d'aquests problemes que en alguns casos tenen un rerefons matemàticament rellevant.

1) Primers i parells:
Escriu cada nombre parell entre 2 i 100 com a suma de dos nombres primers. Hi ha algun nombre senar que es pugui escriure com a suma de dos nombres primers?

Solució: Aquí trobareu una calculadora que dóna totes les descomposcions possibles d'un nombre parell (fins a 10000) com a suma de dos primers. Hi ha alguns nombres senars que es poden escriure com a suma de dos nombres primers (ex: 21=19+2).

Comentari d'aprofundiment: La conjectura de Goldbach diu que tots els nombres parells són suma de dos primers, encara que això no ha estat demostrat encara sí que ha estat verificat per a valors molt més grans que 100, per tant, la primera part de la tasca no hauria d'oferir cap inconvenient a qui conegui els primers nombres primers. Aquest applet permet realitzar la tasca amb correcció simultània.

La segona part de la tasca reclama considerar que l'única manera d'obtenir un resultat senar en sumar dos nombres és quan un d'aquests dos nombre és parell i l'altre senar però atenent a que aquests dos nombres han de ser primers, el parell només pot ser el 2. Per tant, sí que hi ha nombres senars que es poden escriure com a suma de dos nombres primers però no tots els nombres senars ho permeten, únicament els de la forma p+2, sent p primer (5, 7, 9, 13, 15, ...).

Si ampliem la tasca més enllà del 100 podem focalitzar en el nombre 210 que la gent de Numberphile considera "very Goldbachy" atenent a les moltíssimes maneres en que es pot descomposar com a suma de dos nombres primers:

https://youtu.be/PEMIxDjSRTQ

2) Primers i quadrats:
Quin és el primer nombre quadrat que no es pot expressar com a suma de dos primers? Quins nombres primers de dues xifres no es poden expressar com a suma de dos quadrats? Font: Two primes makes one square

Solució: 121 és el primer quadrat que no es pot descompondre com a suma de dos nombres primers. Els nombres primers de dues xifres que no es poden escriure com a suma de dos quadrats són 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79 i 83.

Comentari d'aprofundiment: Per la conjectura de Goldbach ja esmentada se sap que si hi ha algun nombre quadrat que no es pugui expressar com a suma de dos primers ha de ser un nombre senar. Efectivament, els nombres quadrats per sota de 400 que no es poden escriure d'aquesta manera són el 121 i el 289 però n'hi ha molts més per sobre del 400: 232, 252, 312, 392, 412, etc.

En la segona part de la tasca es demana la relació inversa: ara el resultat ha de ser primer i els sumands quadrats. Comencem experimentant amb els nombres primers fins al 71, pintem de verd els primers que podem descompondre com a suma de dos quadrats (per exemple, 41=16+25) i de vermell els que no ho permeten:

Sorprèn veure com es distribueixen les cel·les verds i vermelles, oi? En realitat això és el que afirma el Teorema de la suma de dos quadrats Però el Teorema de Legendre ens permet afirmar que alguns primers que no es poden descompondre com a suma de dos quadrats es podran descompondre com a suma de tres quadrats (per exemple: 3, 11, 19, 43, 59, 67... els que no tenen residu 7 en dividir-los entre 8).

3) Primers i múltiples de 6:
Quin és el primer múltiple de 6 que no té cap nombre primer com a veí?

Solució: El 6 té com a veí al 7, el 12 al 11 i al 13, el 18 al 17 i al 19.... i així podem continuar fins al 120 que és el primer múltiple de 6 que té com a veïns dos nombres compostos.

Comentari d'aprofundiment: Val a dir tots els nombres primers (exceptuant 2) són veïns d'un múltiple de 6. Atenent que tots els nombres primers (exceptuant 2) són senars, són de la forma 6n+1, 6n+3 o 6n-1 però com que els de la forma 6n+3 són múltiples de 3 està clar que tots els nombres primers (exceptuant 2) són veïns de la forma 6n+1 o 6n-1.

4) Primers i potències de base 2:
De Polignac creia que tots els nombres senars a partir del 3 es podien escriure com a la suma d’una potència de 2 i un nombre primer. Organitzeu-vos per confirmar que aquesta creença per a tots els senars més petits que 120 i per trobar un exemple que mostri que estava equivocat.

Solució: El 127 és el primer d'infinits contraexemples (podeu trobar altres aquí): 127=1+126 i 126 és parell, 127=2+125 i 125 és múltiple de 5, 127=4+123 i 123 és múltiple de 3, 127=8+119 i 119 és múltiple de 7, 127=16+111 i 111 és múltiple de 3, 127=32+95 i 95 és múltiple de 5 i 127=64+63 i 63 és múltiiple de 3.

Quina és la primera potència de 2 per a la qual la seva distància al nombre 45 deixa de ser un nombre primer?

Solució: La primera és 1024, totes les distàncies anteriors són nombres primers: diferència entre 2 i 45 és 43, entre 4 i 45 és 41, entre 8 i 45 és 37, entre 16 i 45 és 29, entre 32 i 45 és 13, entre 64 i 45 és 19, entre 128 i 45 és 83, entre 256 i 45 és 211 i entre 512 i 45 és 467. Però la distància entre 1024 i 45 és 979 que és divisible entre 11 i 89.

5) Primers en espiral:
Continua l'espiral numèrica que apareix a la imatge i pinta les cel·les on apareixen nombres primers. Què hi observes?

Solució: És molt interessant observar que a mesura que anem escrivint més i més nombres les cel·les alineades amb la diagonal que passa pels nombres 17, 11 i 13 se va completant amb altres nombres que són primers. En realitat el 121 és el primer nombre que cau en aquesta diagonal que no és primer.

Comentari d'aprofundiment: Començant amb altres nombres primers passa el mateix. A la següent imatge es veu el cas de l'espiral que comença amb el nombre 17 i que no és fins al nombre 289 que no es troba un nombre compost a la diagonal

És totalment desaconsellable proposar-lo als nostres alumnes començant des del 41 ja que no és fins al 1681 que no apareix el primer nombre compost a la diagonal.