Pensament exhaustiu

Després de dues entrades en que vam estar parlant del pensament exhaustiu en relació directa amb un contingut temàtic (divisibilitat) i amb un material manipulatiu (geoplans) ens ha arribat el moment de fer una reflexió sobre què entenem per exhaustivitat i per què pensem que és important treballar-la com a un contingut matemàtic.

http://dlc.iec.cat/

Quan demanem als nostres alumnes que trobin totes les solucions d'un problema, estem demanant que enumerin tots el casos però de vegades això requereix algun aclariment. Per exemple, què esperem quan demanem analitzar els cubs que es poden haver utilitzat per fer una construcció que doni aquestes vistes?

Fa uns anys vam proposar el problema als alumnes del Màster de Secundària de la UPF i vam obtenir solucions molt variades: alguns alumnes vam recrear les solucions amb "cubets" i les van fotografiar mentre que altres van preferir representar-les en dues dimensions: dibuixant-les en perspectiva isomètrica o cavallera, representant-les planta a planta o amb vista zenital i alçada, a mà o fent servir programaris.

Pau enumera i exemplifica (amb perspectiva isomètrica i també planta a planta)
totes les possibilitats en relació al nombre de cubs

Segons el nostre parer és molt important per parlar d'exhaustivitat completar aquesta enumeració amb la resposta a dues preguntes: per què no poden haver solucions amb més de 10 cubs? i amb menys de 5?

Aquí veiem un extracte de l'enumeració completa de totes les possibilitats (representades per la seva vista zenital amb alçades) en relació a la disposició de cubs

En casos com l'anterior el que trobem molt important és l'explicació de l'alumne de com va variant la posició dels cubets per no oblidar cap cas. Per exemple, per la construcció de totes les possibilitats amb 9 cubets, en la imatge s'intueix com a partir de la solució amb 10 cubets va movent el cubet que hi treu, serà capaç d'explicar el seu procediment verbalment?

Les solucions encara es multiplicarien si fem servir l'applet Building with blocks per representar les solucions ja que aquí es permeten cubs "voladors". En la imatge veiem totes les possibilitats de generar les vistes frontal i lateral inicials amb 5 cubs.

Podríem pensar que això del pensament exhaustiu és per grans però val la pena esmentar les propostes per fer treball exhaustiu d'una de les fantàstiques pàgines web de Juan Garcia Moreno: PROBLEMATICAS

Els problemes dels repartiments de pastes, de les cares diferents, dels camins possibles són exemples que donen pistes de com es pot fer aquest tipus de tasques amb alumnes de cicle inicial i mitjà.

Un altre exemple per a alumnes de Cicle Mitjà podria ser el que ja vam incloure en l'entrada Àbac de tres punxes. Allí en la proposta 4 donaven la resposta que havia donat una nena a un problema del tipus "trobar tots els nombres que..." i el que es preguntava als alumnes era "veient l'ordre dels nombres s'intueix quina estratègia ha fet servir per a comptar-los tots: redacteu-la".

Per últim cal incidir en el fet que no tots els problemes que demanen trobar tots els casos exigeixen el mateix grau de pensament exhaustiu. Per exemple, no és el mateix demanar tots els quadrilàters que es poden formar en un geoplà de 3x3 que fer-ho de manera guiada com es proposa a l'article "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" on es guia pas a pas la cerca: primer demana els 4 casos no convexos, després els tres casos que tenen tots els costats iguals, després altres tres paral·lelograms, després tres trapezis que encara no havien aparegut, després un estel que no havia aparegut fins al moment, un quadrilàter que només té un parell de costats contigus igual i per acabar un quadrilàter que té tots els costats desiguals. Fer aquesta consideració no treu mèrit a la proposta d'una activitat guapíssima, que creiem imprescindible al treballar amb quadrilàters i que augmenta enormement la seva dificultat si no donem les pistes esmentades. Només volem indicar que no seria un exemple emblemàtic del treball exhaustiu tal com l'entenem: un treball guiat per la pregunta "com puc assegurar-me que he trobat totes les solucions possibles?".