Nombres irracionals i materials manipulatius

Òbviament els materials manipulatius tenen un lloc a les aules de l'ESO, també a les de 3r i 4t. les tasques que presentem en aquest post tenen com a finalitat il·lustrar aquesta possibilitat.

Tangrams

Si considerem que el costat del quadrat mesura 1, podem classificar els costats de les set peces segons tinguin longituds enteres o racionals

I a partir d'aquí podem fer-nos preguntes del tipus: 

• quin són els polígons formats per peces del Tangram que tenen tots els seus constats enters?
• hi ha uns quants quadrilàters 

Rectangles de perímetre 4, 6, 8, 10 i 12

• però també altres polígons amb una quantitat parell de costats (a la imatge següent veiem una mostra d'hexàgons, octàgons i decàgons) 

• i tots els seus costats irracionals?

Hi són tots?

Font: capítol 4 del llibre Time Travel and Other Mathematical Bewilderments del Martin Gardner.

Val a observar que si considerem que la mida dels costats del quadrat gran és 1, val la classificació feta simplement variant el fet que ara el vermell indica "irracional" i el blau "racional".

Pattern Blocks 
Tal com ja vam comentar en el post Pattern Blocks del blog d'Applets del Puntmat, les sis peces diferents que hi ha en aquest material es poden classificar en dos grups:

• D'una banda el triangle, el trapezi vermell (que equival a tres triangles), el rombe blau (que equival a dos triangles) i l'hexàgon (que equival a sis triangles) i 
• D'altra banda, el quadrat i el rombe de color molt clar, que no podem posar en correspondència amb el triangle com les peces de l'altre grup però sí que podem relacionar entre elles (tal com es veu en la imatge, un quadrat equival a 2 rombes clars)

https://apps.mathlearningcenter.org/pattern-shapes/

Aquesta classificació no és arbitrària. Si considerem que els costats de les sis peces sempre mesuren 1 unitat, les àrees del quadrat i el rombe de color clar són nombres racionals (respectivament 1 i 1:2) però les àrees del triangle, trapezi vermell, rombe blau i hexàgon són nombres irracionals (respectivament: √3:4, 3√3:4, √3:2 i 3√3:2).

Aquestes relacions ens permeten deduir que l’àrea del dodecàgon de costat 1 és 6+3√3 (12 triangles verds i 12 rombes de color clar) i la imatge següent ens permet observar que aquest valor coincideix amb l'àrea de 3 quadrats que tenen per costat el radi del dodecàgon. Aquest radi coincideix amb la mida de la diagonal major de la peça clara: √(2+√3)

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu a la presentació de M. Àngels Portilla i Dani Ruiz al C2EM 2016: Pattern Blocks: tot un ventall de possibilitats a l'aula

Puig Blocs

El Pere Puig Adam al capítol “Iniciación al cálculo con irracionales cuadráticos” del seu llibre “Didáctica Matemática Eurística” (1956) parla de les peces d'un joc anomenat ROMBO que els amics del Grup Cúbic ens han donat a conèixer com a #puigblocs (peces amb forma de triangle rectangle isòsceles i rombe, angles interiors 45º, 45º i 90º i 45º, 135º, 45º i 135º, perímetres 2+√2 i 4, àrees 1/2 i √2/2 respectivament)

Font: www.todocoleccion.net

La gent del Creamat les va construir amb la seva impressora 3D i així van formar un mosaic amb el qual el Puig Adam va mostrar que (4+2√2)² = 24+16√2 (48 peces triangulars i 32 rombes, la totalitat de peces que conté cada capsa)

Aquesta idea permet visualitzar diferents productes de nombres irracionals. O com diu l'Anton Aubanell en Materials per a construir mosaics... i matemàtiques! (NouBiaix, 36): "la geometria i els nombres tenen aquí una esplèndida trobada!"

Per exemple: (1+√2)(2+√2) = 4+3√2

O (4+√2)² = 18+8√2 com es veu en aquesta imatge promocional d'un altre joc: 

Font: http://aliexpress.com

Amb aquestes també peces es poden construir octàgons regulars i deduir que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2+2√2.

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu i la seva relació amb els Pattern Blocks a la presentació del Grup Cúbic a la seva primera jornada anual: Mostra de l’activitat del mosaic de Puig Adam i generalització a Pattern Blocks

Geoplans 

Les tasques relacionades amb irracionals i els geoplans de trama quadrada són moltes

• podem donar sentit visual a igualtats del tipus √2 + √2 = √8

Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria
(Calvo, Deulofeu, Jareño & Morera, 2016)

• podem preguntar-nos quines longituds es poden representar sobre un geoplà
• la resposta depèn de la mida del geoplà (per exemple en un geoplà de 3x3 com el que apareix en la tasca anterior, les longituds representables són 1, 2, √2, √5 i √8)
• en un geoplà "infinit" les longituds representables són els múltiples d'1, √2, √5, √8, √10, √13, √17, √18 ... √x quan x és la suma de dos nombres quadrats

• sabem pel Teorema de Pick que l'àrea de tot polígon que es pugui representar en aquests geoplans és un nombre racional (més precisament, un enter o un enter més 1/2) i aquest fet ens permet deduir que en aquests geoplans no es poden construir 
• triangles equilàters 
• imaginem per un moment que fos possible fer un d'aquests triangles de costat r. L'àrea d'un triangle equilàter de costat r és √3/4·r². Sabem que r només pot ser múltiple de √x sent x la suma de dos nombres quadrats. Per tant, r² seria un nombre enter i √3/4·r² seria un nombre irracional. Ja hem dit que totes les àrees de triangles representats en aquests geoplans són racionals, per tant, era impossible la suposició feta
• octàgons regulars
• ja hem vist que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2(1+√2), o sigui, que l'àrea de l'octàgon de costat r és 2r²(1+√2), sempre irracional i per tant impossible en un geoplà de trama quadrada
• dodecàgons regulars
• també impossible atenent al fet que, com hem vist més a dalt, l’àrea del dodecàgon de costat r és 3r²(2+√3).

Triangles no equilàters (un d'ells ni tan sols és isòsceles)

• altres propostes que podem plantejar sobre geoplans:

https://twitter.com/raulf/status/619990253806469120

https://twitter.com/CcBcnMvd/status/723916677935730689

Geoplans triangulars i teorema de Pick

Al post Geoplans i pensament exhaustiu ja vam parlar de geoplans de trama quadrada i de trama circular. Fins i tot en el post Joc del geoplà ja apareixia un geoplà de trama isomètrica. Ara reprendrem l'ús d'aquest material per fer alguns comentaris que poden donar lloc a interessants propostes de classe.

Anomenarem geoplà triangular de mida n a un tauler triangular amb n(n+1):2 claus distribuïts de manera que formen n² triangles equilàters iguals

1) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees fent servir com a unitat l’àrea d’un triangle bàsic de la trama

2) Troba tots els quadrilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees

3) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 4 i calcula les seves àrees

A partir de les dades anteriors podem buscar adaptar el teorema de Pick, molt conegut per calcular àrees en geoplans estàndard, per a trames isomètriques:

B és la quantitat de punts del geoplà que toquen en perímetre del polígon
I és la quantitat de punts del geoplà que estan a l'interior del polígon

Pot ser ens faria servei analitzar alguns polígons que deixéssin 2 punts del geoplà a l'interior, aquests polígons només es troben en geoplans de mida superior a 4. Aquí hi ha alguns exemples en un geoplà triangular de mida 5:

 

4) Troba tots els triangles equilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 6 i calcula les seves àrees

Si no considerem com a iguals dos triangles cuando estan col·locats de manera diferent al geoplà la quantitat de solucions seria 70 (veure A000332 i la imatge associada)

Afegides aquestes dades a la taula donen més pes a la conjectura de que l'àrea és 2 unitats més petita que la suma de B + 2 I, o sigui, A = B + 2I - 2 (tenint com a unitat d'àrea el triangle més petit que forma la trama)

• Hi ha una demostració d’aquest resultat aquí
• Observar que en geoplaans de trama quadrada  A = (B + 2I- 2) : 2 (tenint com a unitat d'àrea el quadrat més petit que forma la trama)

Un altre material per treballar la probabilitat

Complementant la sèrie d'entrades que ja vam dedicar a materials manipulatius per treballar la probabilitat avui parlarem d'un "artefacte" que coneixíem des de que el vam veure dins de la Caixa de Varga però sobre el qual no havíem parat atenció encara.

Es tracta d'una capseta de plàstic on hi ha una sèrie de boletes de diferents colors que apareixen alineades i no es poden moure i la mateixa quantitat de boles (i dels mateixos colors) que es mouen lliurement per la capseta. Al llibre "Combinatoire, statistiques et probabilités de 6 à 14 ans" de T. Varga i M. Dumont (1973) podem veure un dibuix i un petita anàlisi de l'artefacte i de les possibles coincidències quan alineem les boles lliures al costat de les fixes.

Comenten la temptació de pensar que la probabilitat de tenir k coincidències es representa així:

quan en realitat la probabilitat de que hi hagi 5 coincidència, malgrat que petita, és major que la probabilitat de que n'hi hagi 4, que és 0. Aquesta reflexió és extensible a altres quantitats de boles (n) ja que 1/n! = P(k=n) > P(k=n-1) = 0.

En realitat, la probabilitat de tenir k coincidències quan n= 5 es representa així:

En veure aquest gràfic ens ha sorprès que la diferència major en comparació al que proposàven Varga i Dumont com a "intuitiu" no és tant al voltant dels valors 4 i 5 com dels valors 0 i 1. Això es pot apreciar millor en analitzar la representació anterior per a altres quantitats de boles (n variant de 2 a 10)

Representació de la variació de la probabilitat de tenir k coincidències en els casos n=1 a n=10

Es així que ens hem preguntat quina relació hi ha entre P(k=0) i P(k=1) per a diferents valors de n i hem vist que:

• P(k=0) < P(k=1) quan n és senar i P(k=0) > P(k=1) 
• la diferència entre les dues probabilitats és 1/n!

Aquestes conclusions deriven de les dades següents:

• A000166 llista de valors donada per l'OEIS per als desarranjaments, o sigui, permutacions en les quals cap dels elements del conjunt no apareix en la seva posició original
• A000240 llista de valors donada per l'OEIS per a les permutacions que tenen un únic element del conjunt que apareix en la seva posició original
• R(n,k) és el nombre de permutacions de n elements en què exactament k elements estan en les seves posicions originals (desarranjaments parcials).

En el joc "Cursa de probabilitat" de la Caixa de Varga apareixen quatre targetes relacionades amb aquest artefacte (n=6):

Font: Perímetre

L'artefacte ofereix la possibilitat d'afegir uns trossets de plàstic que limiten la llibertat de moviment de les boles lliures i que amplien la possibilitat de proposar preguntes de probabilitat

Polígons convexos & Tangram

La Sílvia Margelí va deixar clar que la noció de convexitat en polígons es pot treballar de manera molt natural des de primària, quan va dissenyar aquest mòdul en que defineix el concepte a partir de la mida dels angles del polígon, de la posició de les seves diagonals i de l'anàlisi del recorregut de la vora del polígon.

A més d'entendre què vol dir que un polígon sigui convex podem posar en pràctica aquesta noció. Per exemple, jugant amb les peces del tangram més conegut.

Encara que aquest material és molt fàcil de construir (amb regle i compàs, sobre paper quadriculat, amb Geogebra), si us interessa construir un tangram fent servir només un full de paper i unes tisores, feu clic aquí.


La tasca és molt senzilla d'enunciar: obtenir tots els polígons convexos possibles combinant les 7 peces del tangram.

Així ho vam proposar als mestres de @escolatecnos

Amb un resultat fantàstic:

Malgrat que aquest tangram té només set peces permet construir 13 polígons convexes!! La demostració de que només existeixen aquests 13 polígons la van publicar Fu Traing Wang i Chuan-Chih Hsiung en 1942 i es pot trobar a las pàgines 10-13 del llibre “Selected Papers of Chuan-Chih Hsiung”.

Si voleu proposar el repte de la construcció de polígons convexes d'una manera més guiada aquí podeu trobar un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les set peces del tangram que permeten construir aquell polígon)





Més informació:

• El primer article del 2020 del "Cuaderno de Cultura Científica" va ser dedicat a aquest problema: Un teorema sobre el tangram. Allí es demostra el teorema de Wang i Hsiung i més:

Aquests són els 7 polígons convexos que es poden formar amb les
16 peces petites del tangram però no amb les 7 peces del  tangram

• No us perdeu el comentari que ha deixat el J. Domèncech a aquest post:
  

  

  Quines són les intruses?

• sobre simuladors de tangrams al blog d'applets del Puntmat: Tangrams
• si el que demanem és construir un tipus particular de polígons convexos i permetem que no s'hagin de fer servir totes les peces, les solucions són també més de 10.

• recomanem molt tasques com la proposada per @transum a Tangram Table en que es demanen exemples de diferents tipus de polígons amb diferents nombres de peces del Tangram

• sobre el tangram del Median en aquest mateix blog: primera part i segona part 

• sobre tangrams de Brugner al blog del @calaix2: primera part i segona part La referència a aquests posts del Joan Jareño són especialment pertinents perquè ell també relaciona els tangrams amb la formació de polígons convexos. Amb una sorpresa: malgrat tenir només tres peces un d'aquests tangrams permet obtenir més polígons convexos que el tangram estàndard. Per a aquest tangram també tenim un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les tres peces del tangram que permeten construir aquell polígon)

• també sobre tangrams de Brugner: al @creamat1 han fet servir una impressora 3D per obtenir-los i així poder manipular-los.

• I manipulant el tangram de 8 peces també imprès pel @creamat1 podem obtenir les úniques 5 figures convexes que es poden formar utilitzant totes les seves peces

• al número 89 de la revista SUMA en la secció "Del MMACA a l'aula" vam coneìxer un tangram de 5 peces que tal com els autors de l'article afirmen amb les seves 5 peces "se pueden construir ¡hasta 24 polígonos convexos diferentes!"

Peces: dos triangles rectangles escalens de costats 1, 2 i  √5,
dos triangles escalens obtusangles de costats 1, √5 i √2 i un
triangle rectangle isòsceles de costats √2, √2 i 2. 

Aquí n'hem construït 24... però hi seran tots?  

Hi veiem dos triangles (G i O, tots dos rectangles però només un d'ells isòsceles), 9 quadrilàters (un quadrat A, un altre rectangle N, un rombe C, un estel F, altres dos paral·lelograms D i H i un trapezi isòsceles E), 8 pentàgons (dos d'ells simètrics: Z i K) i 5 hexàgons (dos d'ells simètrics: B i S).

Els tres pentàgons que no tenen cap eix de simetria (P, U i X) comparteixen amb el pentàgon R el posicionament de tres peces que cal mirar amb detall:

Amb aquestes tres peces es forma un quadrilàter de costats 1 (groc), 2 (groc), 3 (un tros blau i l'altre vermell)
 i √2 (vermell) i d'angles 90º, 2x, 45º i 225º-2x (sent x la mida de l'angle més petit de la peça groga)

Onze pomes

Vam conèixer aquest joc a les jornades sobre materials manipulatius i jocs que està organitzant la UAB per celebrar els 25 anys de la Facultat de Ciències de l'Educació.

Gaire bé en simultani vam escoltar al Jordi Deulofeu parlant d'aquest joc en el programa sobre "Aprenentatge i Joc" de DEUWATTS (Btv)

Es tracta d'un joc dissenyat per Juan Carlos Pérez Pulido que s'ha comercialitzat amb noms com "22 pommes" o "11 Äpfel". Les seves regles de joc estan descrites aquí en francès:

Aquí les trobareu en català. I aquí en castellà. Com veieu es tracta d'una manera fantàstica de practicar les descomposicions de l'11, al mateix temps que es desenvolupen estratègies de joc.

El podem materialitzar amb un click i cubets encaixables: quatre torres de 5 cubets verds, quatre torres de 5 cubets vermells, tres torres de 3 cubets verds, tres torres de 3 cubets vermells, dos torres de 2 cubets verds, dos torres de 2 cubets vermells, tres cubets verd i tres cubets vermells.