Nombres irracionals i materials manipulatius

Òbviament els materials manipulatius tenen un lloc a les aules de l'ESO, també a les de 3r i 4t. les tasques que presentem en aquest post tenen com a finalitat il·lustrar aquesta possibilitat.

Tangrams

Si considerem que el costat del quadrat mesura 1, podem classificar els costats de les set peces segons tinguin longituds enteres o racionals

I a partir d'aquí podem fer-nos preguntes del tipus: 

• quin són els polígons formats per peces del Tangram que tenen tots els seus constats enters?
• hi ha uns quants quadrilàters 

Rectangles de perímetre 4, 6, 8, 10 i 12

• però també altres polígons amb una quantitat parell de costats (a la imatge següent veiem una mostra d'hexàgons, octàgons i decàgons) 

• i tots els seus costats irracionals?

Hi són tots?

Font: capítol 4 del llibre Time Travel and Other Mathematical Bewilderments del Martin Gardner.

Val a observar que si considerem que la mida dels costats del quadrat gran és 1, val la classificació feta simplement variant el fet que ara el vermell indica "irracional" i el blau "racional".

Pattern Blocks 
Tal com ja vam comentar en el post Pattern Blocks del blog d'Applets del Puntmat, les sis peces diferents que hi ha en aquest material es poden classificar en dos grups:

• D'una banda el triangle, el trapezi vermell (que equival a tres triangles), el rombe blau (que equival a dos triangles) i l'hexàgon (que equival a sis triangles) i 
• D'altra banda, el quadrat i el rombe de color molt clar, que no podem posar en correspondència amb el triangle com les peces de l'altre grup però sí que podem relacionar entre elles (tal com es veu en la imatge, un quadrat equival a 2 rombes clars)

https://apps.mathlearningcenter.org/pattern-shapes/

Aquesta classificació no és arbitrària. Si considerem que els costats de les sis peces sempre mesuren 1 unitat, les àrees del quadrat i el rombe de color clar són nombres racionals (respectivament 1 i 1:2) però les àrees del triangle, trapezi vermell, rombe blau i hexàgon són nombres irracionals (respectivament: √3:4, 3√3:4, √3:2 i 3√3:2).

Aquestes relacions ens permeten deduir que l’àrea del dodecàgon de costat 1 és 6+3√3 (12 triangles verds i 12 rombes de color clar) i la imatge següent ens permet observar que aquest valor coincideix amb l'àrea de 3 quadrats que tenen per costat el radi del dodecàgon. Aquest radi coincideix amb la mida de la diagonal major de la peça clara: √(2+√3)

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu a la presentació de M. Àngels Portilla i Dani Ruiz al C2EM 2016: Pattern Blocks: tot un ventall de possibilitats a l'aula

Puig Blocs

El Pere Puig Adam al capítol “Iniciación al cálculo con irracionales cuadráticos” del seu llibre “Didáctica Matemática Eurística” (1956) parla de les peces d'un joc anomenat ROMBO que els amics del Grup Cúbic ens han donat a conèixer com a #puigblocs (peces amb forma de triangle rectangle isòsceles i rombe, angles interiors 45º, 45º i 90º i 45º, 135º, 45º i 135º, perímetres 2+√2 i 4, àrees 1/2 i √2/2 respectivament)

Font: www.todocoleccion.net

La gent del Creamat les va construir amb la seva impressora 3D i així van formar un mosaic amb el qual el Puig Adam va mostrar que (4+2√2)² = 24+16√2 (48 peces triangulars i 32 rombes, la totalitat de peces que conté cada capsa)

Aquesta idea permet visualitzar diferents productes de nombres irracionals. O com diu l'Anton Aubanell en Materials per a construir mosaics... i matemàtiques! (NouBiaix, 36): "la geometria i els nombres tenen aquí una esplèndida trobada!"

Per exemple: (1+√2)(2+√2) = 4+3√2

O (4+√2)² = 18+8√2 com es veu en aquesta imatge promocional d'un altre joc: 

Font: http://aliexpress.com

Amb aquestes també peces es poden construir octàgons regulars i deduir que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2+2√2.

Teniu molta més informació sobre aquest material manipulatiu i la seva relació amb els Pattern Blocks a la presentació del Grup Cúbic a la seva primera jornada anual: Mostra de l’activitat del mosaic de Puig Adam i generalització a Pattern Blocks

Geoplans 

Les tasques relacionades amb irracionals i els geoplans de trama quadrada són moltes

• podem donar sentit visual a igualtats del tipus √2 + √2 = √8

Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria
(Calvo, Deulofeu, Jareño & Morera, 2016)

• podem preguntar-nos quines longituds es poden representar sobre un geoplà
• la resposta depèn de la mida del geoplà (per exemple en un geoplà de 3x3 com el que apareix en la tasca anterior, les longituds representables són 1, 2, √2, √5 i √8)
• en un geoplà "infinit" les longituds representables són els múltiples d'1, √2, √5, √8, √10, √13, √17, √18 ... √x quan x és la suma de dos nombres quadrats

• sabem pel Teorema de Pick que l'àrea de tot polígon que es pugui representar en aquests geoplans és un nombre racional (més precisament, un enter o un enter més 1/2) i aquest fet ens permet deduir que en aquests geoplans no es poden construir 
• triangles equilàters 
• imaginem per un moment que fos possible fer un d'aquests triangles de costat r. L'àrea d'un triangle equilàter de costat r és √3/4·r². Sabem que r només pot ser múltiple de √x sent x la suma de dos nombres quadrats. Per tant, r² seria un nombre enter i √3/4·r² seria un nombre irracional. Ja hem dit que totes les àrees de triangles representats en aquests geoplans són racionals, per tant, era impossible la suposició feta
• octàgons regulars
• ja hem vist que l'àrea de l'octàgon de costat 1 és 2(1+√2), o sigui, que l'àrea de l'octàgon de costat r és 2r²(1+√2), sempre irracional i per tant impossible en un geoplà de trama quadrada
• dodecàgons regulars
• també impossible atenent al fet que, com hem vist més a dalt, l’àrea del dodecàgon de costat r és 3r²(2+√3).

Triangles no equilàters (un d'ells ni tan sols és isòsceles)

• altres propostes que podem plantejar sobre geoplans:

https://twitter.com/raulf/status/619990253806469120

https://twitter.com/CcBcnMvd/status/723916677935730689

Geoplans triangulars i teorema de Pick

Al post Geoplans i pensament exhaustiu ja vam parlar de geoplans de trama quadrada i de trama circular. Fins i tot en el post Joc del geoplà ja apareixia un geoplà de trama isomètrica. Ara reprendrem l'ús d'aquest material per fer alguns comentaris que poden donar lloc a interessants propostes de classe.

Anomenarem geoplà triangular de mida n a un tauler triangular amb n(n+1):2 claus distribuïts de manera que formen n² triangles equilàters iguals

1) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees fent servir com a unitat l’àrea d’un triangle bàsic de la trama

2) Troba tots els quadrilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees

3) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 4 i calcula les seves àrees

A partir de les dades anteriors podem buscar adaptar el teorema de Pick, molt conegut per calcular àrees en geoplans estàndard, per a trames isomètriques:

B és la quantitat de punts del geoplà que toquen en perímetre del polígon
I és la quantitat de punts del geoplà que estan a l'interior del polígon

Pot ser ens faria servei analitzar alguns polígons que deixéssin 2 punts del geoplà a l'interior, aquests polígons només es troben en geoplans de mida superior a 4. Aquí hi ha alguns exemples en un geoplà triangular de mida 5:

 

4) Troba tots els triangles equilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 6 i calcula les seves àrees

Si no considerem com a iguals dos triangles cuando estan col·locats de manera diferent al geoplà la quantitat de solucions seria 70 (veure A000332 i la imatge associada)

Afegides aquestes dades a la taula donen més pes a la conjectura de que l'àrea és 2 unitats més petita que la suma de B + 2 I, o sigui, A = B + 2I - 2 (tenint com a unitat d'àrea el triangle més petit que forma la trama)

• Hi ha una demostració d’aquest resultat aquí
• Observar que en geoplaans de trama quadrada  A = (B + 2I- 2) : 2 (tenint com a unitat d'àrea el quadrat més petit que forma la trama)

Qui és l'intrús?

Una de les taques amb més èxit durant les trobades de formació de mestres són les QUELIs. Els mestres de seguida veuen el seu potencial per fer parlar als alumnes i intueixen com s'engrescaran els alumnes buscant arguments per defensar les seves respostes. O sigui, les QUELIs són tasques ideals per valorar les dimensions "comunicació i represantació" i "raonament i prova".

Què són les QUELIs?
Per explicar què significa QUELIs o WODB i quines característiques tenen aquestes tasques, per comentar com podem portar-les a l'aula i quines variants hi ha creiem que el millor es remitir-vos al resum de la presentació que van fer @davidobrador i @ccbcnmvd al C2EM 2016:

Exemples de QUELI's
Hi ha exemples per a totes les edats i relacionades amb tots els blocs temàtics. A més de la pàgina "oficial" que recull exemples d'aquestes tasques: http://wodb.ca, a Twitter, sota l'etiqueta #wodb els usuaris comparteixen les que dissenyen ells i les que proposen en les seves aules:

Comentarem la nostra experiència amb tres QUELIs de geometria que vam portar a l'aula

Anomenarem A a l'objecte que està a dalt a l'esquerra, B el que està a dalt a la dreta, C el que està a baix a l'esquerra i D a l'últim

Amb aquesta proposta surten arguments relacionats amb

• els eixos de simetria: B és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals són eixos de simetria o C és l'intrús perquè és l'únic que té un únic eix de simetria o D és l'intrús perquè és l'únic que no té cap eix de simetria  
• les diagonals: A és l'intrús perquè és l'únic que té les diagonals iguals tallant-se al punt mig o  és l'intrús perquè és l'únic que té diagonals perpendiculars o C és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals no es tallen al punt mig
• els costats: C és l'intrús perquè és l'únic que té tres costats de mides diferents o A és l'intrús perquè és l'únic que té costats perpendiculars o B és l'intrús perquè és l'únic que té tots els costats igual
• els angles: A és l'intrús perquè és l'únic que té tots els angles iguals o C és l'intrús perquè és l'únic que té un angle obtús oposat a un angle agut
• ... 

Aquí també els arguments han estat variats

• A és l'intrús perquè és l'únic acutangle, o l'únic que té com a eix de simetria la diagonal del geoplà
• B és l'intrús perquè és l'únic escalè, o l'únic que té un costat de longitud major que 4
• C és l'intrús perquè és l'únic rectangle o l'únic que la seva frontera només té contacte amb tres punts del geoplà
• D és l'intrús perquè és l'únic que no té punts del geoplà a l'nterior, o l'únic que té un costat de longitud 4

En aquest cas, a més de convidar als alumnes a exposar arguments sobre perquè cadascuna de les figures era "l'intrusa" vam plantejar que pensessin què tenien en comú les peces vermelles, les verdes i sobre tot les blaves. El fet de reconeixer que el mateix color indicava mateixa àrea els va donar nous arguments: C és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 9 triangles verds o D és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 8 triangles verds.

A la fase final del Fem Matemàtiques 2019 l'organització va proposar als participants com a activitat inicial per formar grups puzzles relacionats amb #QUELIs (a cada participant es lliurava amb la inscripció una imatge que corresponia a la cinquena part d'una imatge major que corresponia a una tasca del tipus "qui és l'intrús?" havien de juntar-se amb la resta de participants que tenien imatges de la mateixa QUELI i entre tots argumentar les quatre opcions)

Puzzles & figures simètriques

Fa un temps el Don Steward va proposar en el seu blog Median una sèrie de puzzles (Three shapes) que vam trobar molt interessants i que vam portar a l'aula.

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 

Quan vam proposar aquesta tasca a alumnes de 2n d'ESO van trobar de molta ajuda construir-se les peces pra manipular-les, però de tota manera havíen de registrar les solucions trobades sobre paper.

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 

Durant les sessions de febrer de 2018 del seminari "Gràcia, barri matemàtic" treballant aquest problema vam observar que en tots els casos l'eix de simetria travessava una quantitat senar de quadrets i sempre travessava la peça taronja. Aquestes propietats ens van ajudar a millorar la solució que teniem, fins aconseguir 14 figures simètriques:

També vam discutir ventatges i inconvenients de que les tres peces tinguin colors diferents en contrast a com seria l'activitat si les tres peces fossin del mateix color.

En cas que no s'exigeixi que les peces han de compartir un costat s'afegeixen altres solucions, com per exemple:

Els alumnes van trobar unes quantes d'aquestes solucions:

• Enganxa entre si, de totes les maneres possibles, les tres peces per obtenir una figura amb un eix de simetria 

En el blog ORCA es pot veure com els fills de la Marleen van trobar aquestes solucions fent servir peces de Lego

En el Reflecting Squarely del projecte Nrich també trobem un problema d'aquest tipus amb les peces:

Allí es deixa molt clar que les peces s'han d'enganxar de manera que els vèrtxes de les tres figures han de ser punts de la graella i el contacte entre les peces no pot ser només el vèrtex. En aquestes condicions les solucions són nou. Trobem molt interessant les tasques d'ampliació que s'hi proposen:

• Dissenya altres tres figures (la suma de les tres àrees no hauria de superar 10 quadradets) i calcula la quantitat de maneres en es poden disposar per fer formes simètriques
• Pots trobar tres figures que donin lloc a més solucions que el cas original?
• Pots trobar tres figures per a les quals no hi hagi solució?

En la XXI jornada de l'ABEAM van recollir dos nous puzles de simetria proposats pel @MMACA_cat. L'objectiu en cada cas és el mateix: juxtaposant les peces, sense sobreposar-les, aconseguir un polígon (sense forats) amb un eix de simetria:

Polígons convexos & Tangram

La Sílvia Margelí va deixar clar que la noció de convexitat en polígons es pot treballar de manera molt natural des de primària, quan va dissenyar aquest mòdul en que defineix el concepte a partir de la mida dels angles del polígon, de la posició de les seves diagonals i de l'anàlisi del recorregut de la vora del polígon.

A més d'entendre què vol dir que un polígon sigui convex podem posar en pràctica aquesta noció. Per exemple, jugant amb les peces del tangram més conegut.

Encara que aquest material és molt fàcil de construir (amb regle i compàs, sobre paper quadriculat, amb Geogebra), si us interessa construir un tangram fent servir només un full de paper i unes tisores, feu clic aquí.


La tasca és molt senzilla d'enunciar: obtenir tots els polígons convexos possibles combinant les 7 peces del tangram.

Així ho vam proposar als mestres de @escolatecnos

Amb un resultat fantàstic:

Malgrat que aquest tangram té només set peces permet construir 13 polígons convexes!! La demostració de que només existeixen aquests 13 polígons la van publicar Fu Traing Wang i Chuan-Chih Hsiung en 1942 i es pot trobar a las pàgines 10-13 del llibre “Selected Papers of Chuan-Chih Hsiung”.

Si voleu proposar el repte de la construcció de polígons convexes d'una manera més guiada aquí podeu trobar un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les set peces del tangram que permeten construir aquell polígon)





Més informació:

• El primer article del 2020 del "Cuaderno de Cultura Científica" va ser dedicat a aquest problema: Un teorema sobre el tangram. Allí es demostra el teorema de Wang i Hsiung i més:

Aquests són els 7 polígons convexos que es poden formar amb les
16 peces petites del tangram però no amb les 7 peces del  tangram

• No us perdeu el comentari que ha deixat el J. Domèncech a aquest post:
  

  

  Quines són les intruses?

• sobre simuladors de tangrams al blog d'applets del Puntmat: Tangrams
• si el que demanem és construir un tipus particular de polígons convexos i permetem que no s'hagin de fer servir totes les peces, les solucions són també més de 10.

• recomanem molt tasques com la proposada per @transum a Tangram Table en que es demanen exemples de diferents tipus de polígons amb diferents nombres de peces del Tangram

• sobre el tangram del Median en aquest mateix blog: primera part i segona part 

• sobre tangrams de Brugner al blog del @calaix2: primera part i segona part La referència a aquests posts del Joan Jareño són especialment pertinents perquè ell també relaciona els tangrams amb la formació de polígons convexos. Amb una sorpresa: malgrat tenir només tres peces un d'aquests tangrams permet obtenir més polígons convexos que el tangram estàndard. Per a aquest tangram també tenim un document amb fitxes que, si les plegueu por la meitat, orienten a l'alumne en la construcció del polígons en qüestió (per una cara tindran el contorn del polígon i per l'altra la disposició de les tres peces del tangram que permeten construir aquell polígon)

• també sobre tangrams de Brugner: al @creamat1 han fet servir una impressora 3D per obtenir-los i així poder manipular-los.

• I manipulant el tangram de 8 peces també imprès pel @creamat1 podem obtenir les úniques 5 figures convexes que es poden formar utilitzant totes les seves peces

• al número 89 de la revista SUMA en la secció "Del MMACA a l'aula" vam coneìxer un tangram de 5 peces que tal com els autors de l'article afirmen amb les seves 5 peces "se pueden construir ¡hasta 24 polígonos convexos diferentes!"

Peces: dos triangles rectangles escalens de costats 1, 2 i  √5,
dos triangles escalens obtusangles de costats 1, √5 i √2 i un
triangle rectangle isòsceles de costats √2, √2 i 2. 

Aquí n'hem construït 24... però hi seran tots?  

Hi veiem dos triangles (G i O, tots dos rectangles però només un d'ells isòsceles), 9 quadrilàters (un quadrat A, un altre rectangle N, un rombe C, un estel F, altres dos paral·lelograms D i H i un trapezi isòsceles E), 8 pentàgons (dos d'ells simètrics: Z i K) i 5 hexàgons (dos d'ells simètrics: B i S).

Els tres pentàgons que no tenen cap eix de simetria (P, U i X) comparteixen amb el pentàgon R el posicionament de tres peces que cal mirar amb detall:

Amb aquestes tres peces es forma un quadrilàter de costats 1 (groc), 2 (groc), 3 (un tros blau i l'altre vermell)
 i √2 (vermell) i d'angles 90º, 2x, 45º i 225º-2x (sent x la mida de l'angle més petit de la peça groga)