Aritmètica al marge dels algorismes.

Podem fer moltes Matemàtiques abans dels algorismes

Un dels temes recurrents en l'ensenyament de les Matemàtiques és el paper estructurador que juguen els algorismes. Força gent està posant en entredit el seu paper protagonista, i molta està d'acord en que, segons com es miri, representen una gran pèrdua de temps.

També és certa  l'opinió que restar importància als algorismes col·loca als mestres davant un paisatge que els produeix molta inseguretat, i als pares també.

Però volem donar-li la volta al mitjó: enlloc de pensar com ho enfontrarien els mestres pensem en que passaria amb els nens.  Ens plantegem què pot passar (o millor dit, que passa) si s'endarrereix la presentació dels algorismes i es continuen fent les mateixes situacions, activitats o problemes, deixant que els alumnes les solucionin amb les seves estratègies emergents. Per poder fer això els alumnes han de dominar un seguit d'habilitats bàsiques i estratègies que els permetin les eines necessàries per poder resoldre les situacions.

No es pot dir que l'aportació de l'algorisme de la suma pel que fa les habilitats sigui fantàstic: solament han de saber sumar dígits, i "posar un 1 a dalt a  l'esquerra" si és que en porten una.

Imaginem per un moment que proposem una suma a un grup d'alumnes als que s'ha endarrerit la presentació de l'algorisme de la suma,  amb els que s'ha treballat l'actitud de "buscar-se la vida".

Potser millor que imaginar-s´ho veiem dues respostes d'un alumne de un grup de primer als que no se'ls va presentar l'algorisme estàndard de la suma.

Si fem una lectura de la seva resolució el primer que destaca és la comunicació o si voleu el registre, que fa de la seva feina.
Analitzant el procés una possible descripció del que ha fet seria la següent:

1. suma 30 + 30 i li dona 60 (anota) ,  
2. per sumar el 8+3 , primer, suma 8+2, li dóna 10, que sumats als 60 anterior fan 70, xifra que apunta, i li suma l'1 que quedava encara de la suma 8+3. El resultat 71, el posa al començament.

Estem molt contents de mostrar aquest exemple ja que la promoció de l'alumne que el va realitzar, estan fent actualment 4t d'ESO, i han anat creixent en Matemàtiques sota aquesta idea, el que implica que fa 10 anys que estem treballant amb aquest enfocament i les actituds que crea ens agraden. Us convidem a provar-ho.

 Volem destacar que aquest alumne està aplicant l'estratègia de descomposició, és a dir per sumar dues quantitats suma per una banda les desenes, per l'altre les unitats i finalment agrupa. Aquesta precisament és l'estratègia que utilitza l'algorisme estàndard, però d'una manera "comprimida" el que el fa poc transparent a ulls dels alumnes. Així dons quan aquest alumne més endavant, potser fins i tot en un altre curs conegui l'algorisme estàndard, l'entendrà com una simplificació en el món dels símbols, del que ja sap fer.

No es pot negar que el "text matemàtic" escrit per l'alumne és fantàstic, ordenat i a més correcte. No ha posat tots els símbols (no hi fa res, ja vindran estem construint llenguatge). A més es posa de manifest una de les estratègies bàsiques de càlcul que s'inicia en l'interval 0-20: el "salt del 10" en una suma, que comentem més endavant.

La segona suma 26+66 deixem que sigueu vosaltres els que esbrineu que ha fet, però no volem que passi alt l'estil d'aprenentatge de molts alumnes a aquestes edats: solucionar fets que no saben, o dels que no estan segurs del tot, partint de fets que coneixen: per fer 6+6 fa 5+5 (que s'ho sap) i "recupera" els 2 que ha deixat. És el que en diem "fets coneguts/fets derivats, i representa una l'alternativa a les memoritzacions sistemàtiques i per repetició, com per exemple en les taules de multiplicar. Diríem que els alumnes més competents aprenen de memòria utilitzant aquesta manera de pensar.

Treball paral·lel
Per poder "jugar amb el càlcul" d'aquesta manera cal treballar unes habilitats i estratègies determinades, poques de fet, que llistem a continuació. De totes maneres el procés no és separat: aquestes habilitats, un cop iniciades, es treballen paral·lelament resolent problemes. És un primer exemple del que estem treballant actualment que anomenem "pràctica productiva". Aviat en farem un post.

Les habilitats i estratègies

Per poder fer una Aritmètica al marge dels algorismes i en el camp de les operacions additives una proposta (de fet la que apliquem) sobre les  habilitats bàsiques necessàries per a construir la bastida podria ser:

1. Comptar endavant d'un en
2. Comptar endarrere d'un en un
3. Dir el posterior de un nombre (oralment i de manera ràpida, no com exercici escrit)
4. Dir l'anterior (un nen que no sàpiga dir de manera ràpid l'anterior no serà eficaç restant)
5. Sumes de dígits (implica el seu pas invers descomposicions) 
6. Dobles (molt utilitzats per fer sumes de "quasi dobles" com per exemple per calcular 4+3, "cridar" al 4+4 ja sabut utilitzant "fets coneguts/fets derivats")
7. Descomposicions del 10 (i sumes que donin 10)
8. Comptar endavant i endarrere de 10 en 10 a partir del zero o de  qualsevol nombre

Amb aquestes 8 habilitats i les estratègies de descomposició i la de salts en tenim prou per resoldre tots els problemes de cicle inicial. Perquè no provar-ho?  

El pas de 10 i la suma

El pas de la desena (per sumar 8+7 la majoria de gent adulta utilitza aquesta estratègia: fa 8+2+5 o alguna variant que "passi per la desena") és una estratègia que dóna un camí per deixar de comptar amb els dits.

És molt interessant, ja que mobilitza constantment la descomposició de dígits i la del 10, englobant aixi l'ús de rutines, que d'altra manera faríem per separat: descomposicions.  Per exemple: per sumar  8+7

1. Es busca el complement a 8 respecte del 10.
2. Es descompon el 7 es dos nombres: el 2 que ja s'ha utilitzat, i el complement a 7 (5)
3. Es realitza la suma 8+7 = (8+2+5 = 10+5=15)

Estratègies personals i pas del 10

Aquest procés, quan es domina és instantani en gent adulta, i fins i tot molta gent diu que s'ho sap "de memòria", cosa que en alguns casos és certa, però que en la majoria no.

Us posem un exemple: feu la suma de la fila de sota mentalment el més ràpid possible: preparats, llestos, ja!

14 + 8

 Després penseu com ho heu fet. Ha estat memòria? Si no ho ha estat segurament molts de  vosaltres haureu anat a buscar alguna desena.

Alguns exemples de respostes de gent adulta

1. 14+6+2
2. 8+4=12 ...22
3. 8 i 4 12 en porto una i una 2...22 (fotografia mental de l'algorisme, no és estratègia de càlcul en sentit estricte)

Si n'heu fet algun de diferent ens ho envieu en els comentaris, ho anirem publicant.

Alguns exemples curiosos

1. Un cop en una xerrada per mestres feta en una casal d'avis, un d'ells va venir a la xerrada. Va aixecar la ma i va dir "jo faig 18+4 que és més fàcil"
2. A magisteri una alumna "multiplicativa". He fet 3x7+1

Cloenda

• Endarrerir els algorismes obre la possibilitat de discutir a classe sobre matemàtiques, buscar camins, arribar a conclusions i anar avançant en el món del càlcul. Això és bonic, però també cal tenir en compte una cosa: no es tracta de parar-nos tot "admirant" la creativitat del alumne en trobar estratègies "ocurrents" sinó de conduir-los a avançar en la eficàcia del seu procés. En aquest sentit recordem una frase, segurament provocativa de  Eddy Gray, un "didàctic" notable (citem de memòria) "el mestre que davant una estratègia ineficaç d'un alumne el felicita, no solament no l'està ajudant sinó que està cometent un acte vandàlic"

• Es pot fer tota l'aritmètica de Primària al marge dels algorismes. Val la pena ja que obre el camí a treballar a fons: estructura del sistema de numeració, propietats, treball de procediments, treball de conceptes, pensar matemàticament etc.

• Diem endarrerir els algorismesi no eliminar-los, ja que no estem per la seva desaparició, formen part de la nostra història i representen l'instrument de càlcul més potent i eficaç fins l'arribada de les calculadores. Per aquest component cultural es mereixen  que se'ls dediqui un tema o un projecte matemàtic per conèixer, comparar i discutir com resolien els càlculs els nostres avantpassats. Cal que els nostres alumnes sàpiguen, per exemple, que l'algorisme actual de la multiplicació al nostre país, ve  dels àrabs, i comparin les dues maneres buscant semblances. Cal que coneguin que actualment no tothom utilitza  mateixos algorismes, per exemple el de la multiplicació, és diferent al que utilitzen a Cuba, que curiosament ho fan igual que els alemanys.
• Finalment els algorismes han de deixar de ser els continguts estructuradors a l'ombra del currículum de cadascú. Hem d'anar més enllà d'organitzar aquest camp del saber amb títols com "resta portant-ne", "divisió per dues xifres" etc. I aquests són termes que se senten contínuament a les converses, enlloc de aspectes més lligats amb els conceptes que és el que ens acosta a poder entendre el món. S'haurien de començar a sentis frases com: els nostres alumnes saben resoldre situacions que impliquen operacions additives, buscar la solució més eficaç, saber-la comunicar de manera entenedora i comprovar la seva validesa, per exemple.