Els criteris de divisibilitat

Els criteris de divisibilitat són simplement tècniques per saber si un nombre és divisible entre un altre sense necessitat de fer la divisió.

• els criteris de divisibilitat entre 2, 5 i 10 són descoberts de manera natural per nostres alumnes després d'haver estudiat les taules d'aquests nombres
• els criteris de divisibilitat entre 3, 4, 8  i 9 es poden presentar a classe de manera transparent (o sigui, entenen per què funcionen). 

Aquí, per exemple, trobareu un text on s'explica per què funciona el conegut criteri de divisibilitat entre 9 que afirma que un nombre és divisble entre 9 si la suma de la seves xifres ho és.
El document al que fem esment és part del curs “Desarrollo de las competencias aritméticas” que vam desenvolupar dins del marc del Master on-line eMeC de la Universidad de Puerto Rico a l'any 2008. El curs estava format per dotze mòduls i a l'onzè, titulat Estudio de la relación entre dos números a partir del resto de su división vam dedicar-nos a estudiar els criteris de divisibilitat.
 

Si volem saber si 4536 és divisible entre 4 podem inspirar-nos en el repartiment de 4536 pesos (o alguna moneda en que hagi bitllets de mil) entre 4 persones. 

4536 és divisible entre 4 perquè 36 ho és.

Tenim alguns bitllets de $1000 i cadascun d'ells es pot repartir entre 4 persones sense que sobri cap peso. D'igual manera, cada bitllet de $100 es pot repartir entre 4 persones sense que sobri cap peso.  Per saber si la quantitat inicial es  podia repartir exactament entre 4 persones basta veure si els diners que queden entre els bitllets de 10 i les monedes és divisible entre 4. Resumint, per saber si un nombre és divisible entre 4 n'hi ha prou amb esbrinar si és divisible entre 4 el nombre format per les dues últimes xifres del nombre inicial.

Observeu que aquest raonament es pot extendre per justificar que un criteri de divisibilitat entre 8 pot ser el que afirma que un nombre és divisble entre 8 si el nombre format per les seves tres últimes xifres ho és.

Aquí, trobareu un text on s'aplica un argument anàleg a l'utilitzat per justificar el criteri de divisibilitat entre 9 però ara aplicat al criteri que afirma que un nombre és divisble entre 3 si la suma de la seves xifres ho és.

La idea d'utilitzar diners per justificar aquests criteris prové del fantàstic llibre Children Learn Mathematics de Marja van den Heuvel-Panhuizen. També trobem interessant la idea d'utilitzar blocs multibase tal com es proposa al blog Orca.

• un criteri de divisibilitat entre 6 surt com a combinació del criteris de divisibilitat de 2 i de 3

• els criteris de divisibilitat no són únics, pot haver-ne més d'un. Per exemple, a l'article "Algoritmos antiguos de cálculo" (Barba & Calvo, 2012, Cuadernos de pedagogía, Nº 421, págs. 62-65) vam parlar de dos algorismes associats a criteris de divisibilitat entre 7 (val a comentar que aquest cas no és habitual trobar-lo en llibres de text i fins i tot, hi ha vegades que diuen que “no existeix” un criteri de divisibilitat per a aquest nombre).   

Un algorisme que al llibre History of the Theory of Numbers (Dickson, 1920) es diu que ja apareix al Talmud (siglo V):     

Un algorisme que segons la mateixa font va ser presentat per Tucker al 1889:     

"La justificación del primer algoritmo se basa en el hecho que el número original se puede escribir como 100n+m y el criterio afirma que éste es divisible entre 7 si y sólo si 2n+m lo es (ya que estos dos números difieren en un múltiplo de 7: 98n). La justificación del segundo se basa en el hecho que el número original se puede escribir como 10n+m y el criterio afirma que éste es divisible entre 7 si y sólo si n-2m lo es (ya que la diferencia entre 10n+m y el triple de n-2m es un múltiplo de 7: 7n+7m).  Comparando ambos algoritmos, se observa que el segundo implica mayor número de pasos pero que las duplicaciones involucradas son más sencillas por ser siempre de números menores que 10. Por otro lado, el primero no sólo dice si el número es divisible entre 7 sino que en caso de no serlo, el residuo del valor de entrada al ser dividido entre 7 coincide con el residuo del valor de salida del algoritmo al ser dividido entre 7".

Trobareu algun comentari més sobre aquests dos criteris aquí (l'enllaç torna a referirse al material de Puerto Rico abans esmentat).

• per suposat que existeixen criteris de divisibilitat per a altres nombres (per exemple, el criteri de divisibilitat entre 25 diu que un nombre és divisible entre 25 si acaba en 25, 50, 75 o 00) però l'objectiu no és tenir un llistat complet de tots els criteris de divisibilitat existents per treballar a classe (objectiu inassolible, per cert) sinó estudiar aquest criteris com a exemples d'algorismes, com a exemples del poder abreujador del raonament matemàtic, com a exemple de la importància de fer una matemàtica transparent en les nostres aules de classe.