Joan i Juan

 El bloc del Joan Jareño

Ja era hora! després d'haver publicat a la xarxa dues pàgines web "de categoria" "Calaix del +iè" i "Càlculus" que combinen el rigor i la claretat en el que s'escriu, amb propostes que l'endemà mateix es poden portar a classe, en Joan havia desaparegut del mapa virtual. Sortosament, ha tornat amb força publicant "El bloc del Calaix" on el que fa és ordenar i millorar tot el que ha anat escrivint durant aquests anys i a més aportar coses noves.

Tot i que està bàsicament dedicat a Secundària els seus posts són de lectura recomanada per tothom que li agradin las Matemàtiques. Si us feu seguidors del bloc encara que treballeu Primària, cada cop que el llegiu aprendreu alguna cosa, que a la llarga o a la curta és reflectirà a les vostres classes.
Per presentar el bloc hem triat dues de les últimes entrades publicades: "trajectòries: donant voltes: I" i "II"  on en Joan complementa, amb interesssantíssima informació, tres applets dissenyats per ell mateix (fa 10 anys!!) que ja havíem comentat en un post del nostre bloc: Buster Keaton, cicloides i carreteres.


Les pàgines (i el bloc) del Juan Garcia Moreno

Fa poc hem descobert aquest bloc portat per un mestre de Primària de Lebrija (Sevilla) que és autor de materials virtuals publicats pel MEC (ntic). Per començar a tastar la feina del Juan us recomanem dos d'aquests materials: "Así calculamos en mi cole" més aviat de Primària y "Laboratorio de azar" per cicle superior i secundària bàsicament.

Al seu bloc "DidacMatic Primaria" trobareu propostes i anàlisi de continguts multimèdia per a l'àrea de Matemàtiques no només per a Primària. Molt interessant i proper a la tasca diària.

El tangram del Median

En l'entrada del bloc Median del 29 de març el Don Steward va presentar un interessant tangram de quatre peces que comentarem avui després de haver-lo també comentat en la xerrada "Entre el pla i l’espai, la visualització".

Encara que les peces d'aquest puzle són molt senzilles de construir a classe, aquí podeu trobar una versió per imprimir.

Un primer aspecte que volem esmentar és la importància de treballar amb els alumnes les característiques del triangle que apareix en la figura de la dreta degut a la tendència que hem constatat en creure que es tracta d'un triangle equilàter. La manera d'eradicar aquesta idea equivocada depèn de les eines que es vulguin o es puguin fer servir en consideració de l'edat dels alumnes (teorema de Pitàgores, comparació de les longituds dels costats, mesura dels costats amb un regle, mesura dels angles amb un semicercle, etc).

Un segon aspecte a esmentar és la quantitat de quadrilàters diferents que es poden formar amb les quatre peces del tangram del Median (un repertori que inclou un quadrilàter no convex, un altre que és convex però que no té cap parella de costats paral·lels, dos trapezis isòsceles, un rectangle no quadrat, uns quants paral·lelograms)

Aclariment: en el context d'aquest post estem interessats en conèixer la quantitat de quadrilàters simples deixant de costat els complexos. Agraïm al grup #matxat per suggerir-nos aquesta precisió.

A la imatge anterior falta aquest altre quadrilàter trobat per alguns dels alumnes de la especialitat "Matemáticas" del "Máster en didácticas específicas" de la UAB i la UNAN (Carazo, Nicaragua):

A la imatge també faltava una altra solució (fins ara són 13!!) trobada per alumnes de 3r d'ESO de @escolasadako:

Per assegurar-nos que els quatre paral·lelograms que apareixen entre les solucions són realment diferent n'hi ha prou amb calcular la mida dels seus costats.

Per comprovar que no hi ha altres quadrilàters repetits també convé comparar els tres que apareixen en la imatge de la dreta i reflexionar sobre les raons per les quals no són el mateix: veure que l'únic que té dos eixos de simetria és el primer mentre que el segon en té un i el tercer no en té cap.

Abans d'acabar volem fer alguns petits comentaris:

• podeu trobar altres activitats per treballar amb Tangrams a la pàgina de l'Espai Jordi Esteve
• podeu trobar referències d'una altra de les activitats comentades en la xerrada "Entre el pla i l’espai, la visualització" a la proposta del 15 de maig dels problemes geomètrics setmanals del Creamat.
• si feu les peces amb paper no oblideu fer-les reversibles perquè, tal com va analitzar la gent del @MMACA_cat al nº89 de la revista SUMA (a la seva secció "Del MMACA al aula", hi ha polígons que per poder rerpresentar-los cal que simetritzem les peces orginals: 

• amb les 4 peces d'aquest tangram es poden aconseguir dos rectangles auris (la raó de proporcionalitat entre ells, a més, és el mateix nombre d'or!)

Tweet d'@AmareshGS1

Els costa molt fer 3+?= 10

Una dificultat "històrica"

El primer problema el tenim en la dificultat que representa pels alumnes de primer o segon de Primària identificar situacions del tipus

acompanyada de la pregunta: quin és el nombre que sumat a 6 dóna 10?
Podem observar, per començar, que en la traducció de la situació a una pregunta comencem pel mig enlloc de per l'esquerra. Però més enllà d'aquesta qüestió de l'ordre, ens hem de plantejar la fórmula de sempre: no hem de començar la casa pel terrat. O sigui, no hem de començar l'activitat per l'expressió simbòlica sinó pel context. 

Què és el que l'alumne no sap resoldre?

Si nosaltres plantegem als alumnes l'exercici de dir quants dits estan amagats utilitzant les dues mans tal i com indica la figura i els alumnes ens contesten contesten "quatre" vol dir que saben resoldre "el problema". 

Imatge treta d'un applet de l'Institut Freudenthal que treballa sumes fins a 20 utilitzant les mans. Enllaç

Una altra cosa és que vulguem que associïn aquesta situació a una expressió simbòlica tipus a + ? = c. Per aconseguir-ho hem de ser curosos en el context amb el que presentem la situació inicial.

Situacions inicials de suma: problemes de transformació

Els problemes additius més accessibles pels alumnes són els anomenats "de transformació", és a dir, aquells en que se surt d'una situació inicial que és canviada per alguna acció per arribar a un resultat final.

 

Un context molt adequat per a treballar-los són els autobusos. El primers exemples els podem presentar col·lectivament. Un autobús retallat sobre una cartolina de mida DIN A5 amb una capsa enganxada al darrera per poder acomodar els passatgers ens permetrà simular viatges en els que, de moment, solament hi ha l'estació de sortida, una parada i l'estació d'arribada

© figuretes Playmobil

Amb aquest material podem plantejar problemes com per exemple: a l'autobús hi ha 5 viatgers, a la parada en pugen 3, quants arriben al final? Es discuteix la resposta. Al final s'ensenya el contingut de la capsa i es compten els clicks per comprovar si la resposta és correcta.

Treball en paper o en pissarra: representació en vinyetes
Un cop viscuda la situació, una seqüència de vinyetes pot ser un excel·lent enunciat d'un problema. En la figura inferior, els alumnes han d'interpretar que l'autobús porta 6 viatgers. A la parada n'hi pugen tres i cal saber quants n'hi ha en total a l'arribar al final.

Aquest procés pot portar associat un altre aspecte molt important: la transcripció simbòlica de l'acció portada a terme. És a dir com s'escriu en el "món de les Matemàtiques" el que acabem de fer. Confondre aquesta "traducció" de les vinyetes als símbols amb la idea d'operació associada ens pot portar problemes. En parlem més endavant.

El lloc de la incògnita: ampliar el camp del problemes
L'exemple tractat dóna com a dades els passatgers de la sortida i els que hi pugen (la transformació) deixant que la incògnita sigui l'arribada.


Canviar el lloc de la incògnita (la part ombrejada a les imatges inferiors) genera dos tipus nous de problemes completament diferents al primer i que també cal treballar-los,  per així "tancar" la comprensió d'aquest tipus de problemes

• Quan la incògnita està a la transformació

• Quan la incògnita està a l'estadi inicial.

Si els alumnes treballen en aquest contextos, associaran expressions del tipus (a + ? = c) i (? + b = c) al model dels autobusos corresponent. Cosa que donarà sentit a les expressions simbòliques fins ara tant llunyanes. És important destacar que els tres són problemes que els alumnes associen a una suma, tant en el moment descriure-ho simbòlicament con en el moment de calcular. Tot i que en el moment de resoldre´ls utilitzin estratègies que impliquin sumar o restar

L'expressió simbòlica i "operació"
El segon problema el tenim quan pretenem que els alumnes, un cop resolt el problema "de cap", ens posin per escrit el que anomenem "l'operació" i tenim com a objectiu que ens han de posar una resta.
Per exemple: davant d'un problema associat, a l'expressió:

7 + ? = 10

el problema el tindrem nosaltres si el que esperem o volem és que posi la resta

10 - 7 = 3

ja que no es correspon  amb l'acció viscuda.

No tots els nens i nenes, ataquen aquest tipus de situacions com una situació "de resta", fins i tot diríem que no ho fan majoritàriament Si els preguntes com ho han comptat forces alumnes et diran "he comptat 8, 9 i 10: n'han pujat 3" .
Podríem dir que en últim terme el que fa que un problema sigui de sumar o de restar (tot i  que depèn molt del context) no és el problema sinó l'estratègia del resolutor.
Això ens porta a que si un grapat d'alumnes ha solucionat el problema sumant i la seva operació no és una resta, es desconcertaran. Potser som nosaltres els equivocats a l'intentar diferenciar externament situacions de suma i de resta en lloc de identificar-les totes elles com a situacions additives, enlloc d'associar-les a les estratègies de resolució.

En aquest context 7 + ? = 10, és una manera d'expressar en llenguatge matemàtic una acció determinada i que l'alumne sigui capaç de fer aquesta traducció és un objectiu important. De fet, és el mateix que quan a 2n d'ESO proposem un problema "amb enunciat" i demanem els alumnes que "el plantegin", per exemple així: 3/4x + 23= 78. Dels nostres alumnes de Cicle Inicial, demanem el mateix: saber traduir una situació com la dels autobusos en llenguatge matemàtic posant 7+ ? = 10.

Però intentar incidir en el procés de resolució demanant-los que vegin que 7+ ? = 10 és el mateix que 10 - 7 = ? no es bo per a la salut, ni dels nens ni de la mestra (al igual que no és bo, tal com vam comentar en els posts dedicats a equacions, que el professor de 2n d'ESO digui als seus alumnes que per resoldre l'equació x+ 15 = 27 "es passa" el 15 restant).

Per acabar
Diríem que no és que les tasques del tipus 6 + ? =10 els costin molt, sinó que no li veuen el sentit, al que els demanem de manera descontextualitzada.I si a més pretenem que ho associïn a una operació que no és la que utilitzen per resoldre el problema, potser la millor solució serà centrar l'objectiu en que sàpiguen transcriure el llenguatge matemàtic a l'acció portada a terme i que resolguin el problema amb les seves estratègies de càlcul.

Hem deixat de banda els tipus de problemes que contextualitzen situacions de resta: els que els viatgers baixen enlloc de pujar. És interessant tenir present aquests sis tipus, els tres que hem vist de canvi creixent i els tres associats a la resta de canvi decreixent, per tenir una llista rica de models de problemes.

Altres contextos de problemes de suma: combinació i comparació

Carpenter

A més dels problemes de transformació o canvi, hi ha dos tipus més de problemes additius segons Carpenter, Fennema i altres en el seu llibre "las Matemáticas que hacen los niños" els de combinació i els de comparació. En el capítol 2 trobareu la part dedicada a la classificació de problemes additius.

Matemàtiques anant pel carrer (1)

El caixer automàtic

La setmana vinent vull fer una activitat lligada a la vida quotidiana i les antenes estan a punt per a localitzar Matemàtiques mentre vaig pel carrer. Entro a buscar diners a un caixer per pagar al lampista (ell m'ha dit que em costaria prop de 300 €). Penso que si en trec 300, el caixer em pot donar 6 bitllets de 50 i per tant, per poder tenir més possibilitats de pagar l'import exacte, trio demanar 280 €.

Mentre espero em plantejo la pregunta que ràpidament decideixo que portaré a classe la setmana vinent.

Quines quantitats puc obtenir en un caixer automàtic que solament et dóna bitllets de 50 i de 20?

Evidentment la primera conclusió és que han de ser múltiples de 10, però quins d'aquests múltiples puc obtenir? Pensant ja en l'activitat van sorgir les primeres preguntes a formular:

1. De quantes maneres diferents pots pagar 170€ utilitzant bitllets de 20 i de 50?
2. Quina de les quantitats següents puc treure i queines no (30, 130, 270...)
3. Suposant que el caixer et dóna sempre la menor quantitat de bitllets (per exemple, en el cas del 280: 4x50+4x20) i pressuposant que el meu lampista no porta mai canvi. Quins preus podré pagar justos?
4. • En el cas de treure 280 podria pagar just: 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100... i no podria pagar 10, 30, 210, 230, 250, 270 i òbviament preus més grans que 280 
   • Però si demanem 290 (5x50+2x20) el que puc pagar és 20, 40, 50, 70, 90, 100, 120, 140, 150, 170... però no podria pagar 30, 60, 80, 160, 180, 260, 280 

La investigació

Investiguem ara la pregunta inicial:

• Quines quantitats puc treure, i quines no, utilitzant únicament bitllets de 20 i de 50?

Cal dir que hi ha una segona activitat amagada en aquesta investigació: sempre hi ha un nombre a partir del qual ja es poden obtenir totes les quantitats. Quin és?

Si com a pista per a solucionar el problema suggerim als alumnes que vagin anotant els resultats en una graella com la de sota, els serà més fàcil trobar la solució. Per exemple quan ja sabem  que es poden obtenir 70€ (50+20) totes les quantitats de la seva columna també es pot obtenir ja que van de 100 en 100 

10       20    30    40    50    60    70    80    90   100

110   120  130  140  150   160 170  180  190   200

etc.

El resultat és bastant sorprenent d'entrada ja que solament hi ha dues quantitats que no es poden obtenir el 10 i el 30, tots els altres si. Això podria justificar la tria (no ho sabem)  per part del banc de no posar bitllets de 10 als caixers cosa que simplifica la feina.

Construir un algorisme

Quina creiem que és la lògica interna del caixer? Comença pagant amb un mínim de bitllets fins que s'acaben les existències d'un dels dos tipus? Si suposem que si, podem plantejar que escriguin les instruccions que calguin perquè un robot (un company o el mateix professor/a) sàpiga quants bitllets de cada tipus ha d'agafar per donar el mínim de bitllets quan li demanen una quantitat determinada.

Segurament els nostres alumnes començaran per observar regularitats a partir de les descomposicions

• 100 =2x50
• 110 = 1x50 + 3x20
• 120 = 2x50+ 1x20
• 130 = 1x50 + 4x20
• etc

Més aviat o més tard podran arribar a formular cert algorisme fixant-se amb la paritat o no de la xifra de les desenes.

Finalment i ja de tornada a casa a pagar al lampista, una última idea: quina hauria de ser la proporció de bitllets de 20 i 50 que ha de posar l'encarregat d'omplir de bitllets el caixer?

Ampliació

Clicar per ampliar imatge. Llibre Fisher, Vince

Aquesta activitat és "filla" de la plantejada al magnífic llibret d'activitats "Investigando las Matemáticas. Libro 2 fet per R. Fisher i A. Vince (original del 1988 i traducció del 1990). La col·lecció consta de quatre llibrets, i està descatalogada.

Si tinc segells de 5 i de 7, quins valors puc obtenir?

A la guia pel professorat indica una fórmula general per trobar-lo, encara que restringida a parelles de nombres que tinguin MCD 1. Siguin a i b els nombres, per trobar el nombre inicials a partir del qual ja es poden obtenir tots els nombres cal fer: (a-1)·(b-1). (en al cas del problema dels segells el número seria el 24)

Anant més enllà del llibre i pujant força el nivell: què passaria en cas que el mcd no fos 1? quina seria la fórmula?

Com veieu, aquest és un problema amb gran potencialitat ja que depenent de les preguntes o dels nombres d'entrada, es pot treballar a edats molt diferents.


Altres formulacions del mateix problema

• A la web del Calaix +ie el Joan Jareño ens proposa un magnífic joc de càlcul, el TOC BUM, que té la mateixa base matemàtica. 

Captura de pantalla

• El matemàtic J.H. Conway va idear un altre joc relacionat amb el problema al voltant del qual gira aquesta entrada. Es poden trobar les seves regles i un applet per jugar a Sylver Conaige

Captura de pantalla

• Els "locos lindos" de Numberphile es pregunten com es poden comprar exactament 43 McNuggets de pollastre atenent a que els venen en caixes de 6, 9 i 20 peces 

Explicant estratègies amb vídeos

L'estratègia de compensació

Quan per simplificar un càlcul transformem els dos termes d'una operació per convertir-la en una de més senzilla però que doni el mateix resultat estem aplicant el que s'anomena estratègia de compensació. Per exemple: enlloc de sumar 56 +47 podem sumar 53+50 que és més fàcil i dóna el mateix. El 3 que hem afegit al segon sumand l'hem tret del primer.

Aquesta propietat no és tant clara per a la resta. Fer l'operació 54-36 mentalment seria més fàcil si el subtrahend fos 40. Quin hauria de ser el minuend? Plantegem una situació com aquesta a classe i quan els alumnes arribin a una conclusió, una bona manera per animar-los a "que parlin ells" és que facin un relat.. o un vídeo com el següent.

Un programa d'edició de vídeos i "que parlin ells"

Enllaç: clicant la imatge (24/04/12)

Zimmer Twins és un programa gratuït pensat per ser utilitzar, de manera interna en una aula i que vam conèixer a través de‏ @AmicsdelesTIC. Permet editar vídeos incorporant imatges, fons, bafarades (en les que malhauradament no es poden escriure accents), accions, etc. de manera senzilla i donant com a resultat unes produccions espectaculars. Cal inscriure's personalment i inscriure també a alguns alumnes, aquesta restricció fa complicat compartir-los externament, però com a eina interna de classe és fantàstica.

És per aquestes restriccions que us mostrem un exemple en format de còmic (còpies de pantalla, però no oblideu que és un vídeo), per tal que veieu com alumnes de quart de Primària poden ser capaços de fer coses tant boniques com aquesta "parlant ells".

Vídeo: "Estratègia de Compensació"

No ens negareu que és una bona manera d'anar recollint conclusions de classe.

Alguns comentaris sobre l'estratègia de compensació

Es fàcil pels alumnes, arribar a conclusions ràpidament quan formulem preguntes del tipus: Omple el buit perquè les dues sumes siguin equivalents 

• 56 + 48
• __ + 50 

La resposta 54 + 50 no solament surt amb facilitat sinó que a més, podem escoltar justificacions del tipus: si n'hi poso 2 a una banda n'hi he de treure dos de l'altre.

En el cas de la resta la cosa es complica i no solament amb alumnes petits sinó també amb gent adulta, entre ells mestres o estudiants de magisteri ja que davant la pregunta 74 - 48 = ___ - 50, la resposta 72 - 50 és molt freqüent, ja que apliquen el mateix que a la suma. Aquestes fallades poden venir del fet que sempre han estat treballades sobre simbologia el que impedeix reflexionar sobre el resultat, i per tant han estat apreses com un "truquet". No podem oblidar que tot coneixement que volem que sigui entès en profunditat, hauria de sortir d'una situació contextualitzada i no d'una situació plantejada sobre expressions simbòliques tal i com les hem plantejat en les situacions anteriors. Posem un exemple tret d'un text escolar. 

Per aprendre o solucionar dubtes: context!

Extret de: 3x6 quadern 6. Ed. Barcanova

La cap del formiguer vol saber quantes formigues té entre dos formiguers però li fa mandra comptar i sempre busca nombres que permetin calcular fàcilment resultats. Vol convertir el 18 en 20.

Pregunta: per què fa passar dues formigues del de 23 al de 18? donarà el mateix resultat? Per què? 

Extret de: 3x6 quadern 6. Ed. Barcanova

Ara vol saber la diferència i vol convertir el 38 en 40. Si vol que la diferència es mantingui què ha de fer? Quina serà la resta final? La resposta és enviar-ne dues al de 38, i la justificació esperada és que si es vol mantenir la diferència ha de fer el mateix a banda i banda.

Un cop tenen el referent ja podem tornar al món simbòlic i fer certa exercitació sabent que si hi ha algun dubte, la cap de les formigues serà recordada pels alumnes.

Per a altres nivells, representar el problema de la formiga en el model de la Línia Numèrica Buida (LNB) ens aporta un bon suport per investigar. En aquest cas la resta no es conceptualitza com a treure, posant el 72 i saltant 38 cap endarrere, sinó que s'identifica amb el valor del salt existent els dos nombres col·locats prèviament sobre la línia. Estem treballant amb el concepte de resta com a a diferència o distància.

Si passem de 38 al 40 i volem que la distància es mantingui, en quin nombre s'ha de convertir el 72? Gràcies a la LNB, l'estratègia de compensació en resta pot ser assolida a partir d'una petita investigació  i gràcies al model els alumnes poden justificar les seves conclusions.

Treballant l'estratègia de compensació a l'escola La sínia de Vic: La foto ens l'ha enviada Marta Presegué, la mestra de cinquè

Àbac de cadires

Fa una pila d'anys en Claudi Alsina en una de les seves conferències, ens va explicar un joc per fer a classe que ell anomenava "Àbac de cadires" i que consisteix en que cinc persones seuen de costat en cinc cadires i han de moure's segons unes normes bastant fàcils d'explicar:

Qui fa anar tota la "maquinària" és la persona asseguda a la cadira de la dreta. Aquesta persona cal que canvïi de posició (s'aixequi o s'assegui) cada vegada que donem un cop sobre la taula. 

Els altres depenen del moviment del primer: quan la persona de la seva esquerra s'asseu (i solament quan s'asseu) ha de canviar la seva posició (si estan drets han de seure i si estan asseguts han d'aixercar-se). El joc s'acaba quan estan tots drets. Per poder veure com funciona mireu aquesta presentació.

 

View more PowerPoint from puntmat

Un cop entès com funciona us plantegem la primera pregunta: quants cops he donat per a arribar fins a aquesta posició?

L'activitat feta a classe 
En una reunió de planificació de classes en les pràctiques del Màster de Secundària de la UAB, en Jordi Losantos va incorporar la idea a la seva proposta inicial, utilitzar l'àbac de cadires en una classe de 3r d'ESO de l'Escola Sadako. Va ser més complicat del que semblava i aquí us explica com va anar:

-->

"Aquesta activitat pot tenir un problema, que d'entrada no imaginàvem, si el portem a classe, i és que com a mínim per a adolescents, no és gens fàcil. I no ens referim a l'activitat en si, sinó a saber seure (cosa lògica en adolescents) i aixecar-se quan toca. I si no, mireu com va sortit quan es va portar a classe, tot i que els vig posar en fila (enlloc de posar-los de costat) a veure si se'n sortien! El vídeo dura cinc minuts, però l’activitat ens va prendre entre quinze i vint minuts. Hi va haver un moment que semblava que no sortiria, però amb l’ajuda del quart bit humà (fixeu-vos-hi) ens en vam sortir."

Els subtítols incorporats al tram final del vídeo, on es marca amb un "0" la posició assegut i amb un "1" la posició "dret" ens ajuden a visualitzar i ens indiquen que el sistema binari està amagat darrera d'aquest joc.

Aquest applet es relaciona amb l'àbac humà esmentat aquí:

http://blog.keycurriculum.com/covering-your-bases-an-interactive-dials-model/

Fins a quin nombre puc comptar amb els dits d'una ma?

La segona activitat, un cop acabada la de les cadires i entesa la relació del sistema binari amb el joc, va ser plantejar el problema de fins a quin nombre puc comptar amb els dits d'una sola ma. La resposta: "fins al 31" és sorprenent. Cal dir que l'"habilitat digital" que cal tenir no és senzilla i la del protagonista del vídeo és notable. Ho podeu provar i veureu que no és fàcil. 

Sistema binari buscant a internet
Per tancar el post us mostrem un parell d'exemples de presència del sistema binari en llocs inimaginables. Un primer exemple ens acosta al món de la fotografiai està treta de l'excel·lent bloc fotomat.es

I per acabar, què millor que un regal?. El sistema binari us obre les portes. Podríeu dir-nos quina hora és? Podeu trobar aquí la resposta a aquesta pregunta.

Enllaç

Com a rellotge per tenir al despatx o a l'estudi és "un detall". No ens imaginem la seva utilitat com a rellotge de tauleta de nit.

Propietat distributiva

En el temari de Matemàtiques de Primària, apareix, en un moment o altre el tema de les propietats: commutativa, associativa i distributiva. Un pensa que el domini d'aquestes propietats és important a l'hora de treballar l'aritmètica, però també que necessiten d'un tractament que parteixi de coneixements anteriors o estratègies emergents dels alumnes davant un càlcul i no, com es planteja molts cops, d'una expressió simbòlica. Posem com a exemple la propietat distributiva

 3 x (4 + 5) = 3 x 4 +3 x 5

Mirem-ho de lluny

Quan arriba (a Primària) el moment "d'explicar" la propietat distributiva, als docents s'ens fa complicat trobar alguna manera de justificar-nos per quina raó cal posar sobre la taula que per fer 3x(4+5), és a dir 3x9, hem de presentar una propietat que "ens complica la vida"ja que 3x4+3x5, vist des del càlcul, és més costós que no 3x9, i de fet, a primera vista té poques aplicacions. Una altra cosa seria a Secundària.

Que parlin ells!
Què entenen els alumnes quan reben aquest contingut?. Us posem un exemple: en Adrià, un dels nebots de PuntMat, un dia. en arribar a casa, ens va dir molt content que la mestra li havia posat un "molt bé" a la feina que havien fet aquell dia, i que era la següent.

Un cop felicitat per la correcció del seus càlculs li varem preguntar: què et sembla que t'ha volgut ensenyar avui la mestra? La resposta va ser "sumes i multiplicacions", no cal cap comentari, oi?

Competències i estratègies emergents
Exemple 1.

Però si ens fixem en el món del càlcul i les seves estratègies, ens trobem hi ha molts alumnes que coneixen i utilitzen aquesta propietat d'una manera funcional. Us presentem un exemple d'un text

Tret de 3x6.mat. Editorial Barcanova

L'alumne utilitzant l'estratègia de descomposició, pensa el 6x16 com a 6x(10+6) per facilitar el càlcul i fer: 6x10+6x6. En aquest cas, l'aparició de l'us de la propietat distributiva pot venir lligada a l'estratègia de càlcul emprada per a solucionar un problema, plantejat en un model adequat (comptar rajoles) que li suggereix la idea de descompondre per calcular.

En quaderns de càlcul holandesos, trobem exercicis com aquest, on es reconeix l'us de la propietat lligada amb la seva aplicació al càlcul.

Rekenrij Groep 6. Werboek

Ens agrada molt aquest model d'activitat ja que centra l'interès en la descomposició que cal fer, i no solament demana un resultat. I ens agrada mentre sigui una manera d'expressar per part dels alumnes el que pensen. El que no ha de passar és que es converteixi en una exercitació que "algoritmitzi aquest procés". Per exemple, ens agradaria veure que els nostres alumnes en fer 3x69, el que aparegués a la bafarada fos 3x70 - 3x1 enlloc de 3x60 + 3x9, cosa que destacaríem com a positiva.

Exemple 2

Davant un problema com: "En Jaume ven capsetes de bombons a 5€ cadascuna. El primer client n'hi compra 4, el segon 3, el tercer 6, el quart 2 i la el cinquè 8. Quants euros ha cobrat? Ens podem trobar amb dos tipus de respostes: els alumnes que fan cadascun dels productes parcials i sumen al final 4x5+3x5+5x5+2x5+8x5 i els que primer calculen el total de capsetes venudes (22) i després multipliquen pel preu de cadascuna. La discussió sobre la validesa de les dues estratègies ens porta de manera natural a parlar de la propietat distributiva. Però cal dedicar uns espai exclusiu del nostre temps a la propietat distributiva, entesa com a una igualtat descontextualitzada entre dues expressions simbòliques?

Una discussió sobre la propietat distributiva pot ser interessant

La nostra resposta sobre la pregunta anterior seria que si, que un cop que aquesta propietat formi part de les estratègies dels alumnes, val la pena dedicar-li un temps. Ens ho podem passar bé analitzant la propietat distributiva i fent preguntes que els facin aprofundir sobre ella com per exemple

• S'han adonat que la diferència bàsica entre les propietats associativa i commutativa amb la distributiva està en que mentre que les primeres es defineixen en l'àmbit d'una sola operació, la distributiva en posa en joc dues?
• La propietat distributiva, funciona també per la resta? 
• Funciona "al revés"? com serà (4+5)x3? i (7-2)x8?
• Sabem que 3x(4+5)= 3x4+3x5, funciona també amb la divisió? És cert també que
•  300:(5+3) = 300:5 + 300:3?
• Potser seria restant?

Per acabar un comentari a l'última pregunta: es comprova ràpidament que no funciona, de totes maneres si l'ordre és posar primer el parèntesi de sumes, com per exemple (48+16):8 = 48:8 + 16:8 aleshores sí que es compleix. Aquest punt ens remet un altre cop a la relació de la propietat distributiva amb les estratègies de càlcul, ja que el procés emprat és el mateix que en la multiplicació: descompondre per calcular. La diferència està en que mentre en la multiplicació la descomposició és sempre del tipus 373 = 300 + 70 + 3, a la divisió cal buscar nombres que siguin múltiples del divisor.

Per cert, aquesta és una bona estratègia de resoldre divisions per una xifra que ens aporta l'ús d'eines molt importants en càlcul: descompondre un nombre en múltiples d'un altre, multiplicar per nombres acabats en zero i a més, treballar en un "ambient de resolució de problemes" fins i tot a l'hora de resoldre una divisió.

Afegim a continuació fotografies d'alumnes de 6è (@escolasadako) explicant les seves estratègies de càlcul per descomposició

 

Xerrades del Puntmat sobre Geometria

Catàleg Nathan

Els del PuntMat anem a fer una xerrada, el 17 d'abril, a Lleida sobre Geometria. La repetirem a Tarragona, Girona i dos cops Barcelona. Per més informació (llocs, horaris, dies, etc.) premeu l'enllaç que us portarà a Creamat. Us adjuntem un petit resum.

 Xerrada: Entre el pla i l'espai, la visualització. Reflexions  sobre el bloc "Espai i forma"

Es tractaran tant aspectes de Primària com de Secundària, que s'organitzaran en tres  nivells:  pla, espai i visualització. Les hem  hem sintetitzat en tres preguntes que seran el fil conductor de la xerrada.

1. Construïm o dibuixem polígons?

2. Hi ha un poliedre amb més cares que vèrtexs?

3. Quines fotografies triaries per descriure un objecte?

Esperem que als que vingueu i us sigui útil el que us explicarem.

Per què ens agrada el Median?

Aquells de vosaltres que seguiu l'espai que té el PuntMat al Scoop.it sabeu que allí anem recollint els blocs que seguim, les revistes que llegim, els vídeos que ens agraden, els applets que fem servir. A l'apartat: www.scoop.it/t/blocs-que-interessen-al-puntmat trobareu una referència al bloc "Median" del Don Steward i aquí il·lustrarem amb un exemple com creiem que es poden fer servir a classe les seves propostes, resumides en imatges.

En l'entrada de l'11 de febrer de 2012 apareix aquesta imatge

A segon d'ESO fa uns dies estàvem treballant amb operacions combinades i potències i vam pensar que podíem proposar als nostres alumnes (que no tenen idea encara que és això del quadrat d'un binomi) la cerca d'un patró que s'amaga darrera de la pregunta: què canvia entre els següents dos procediments?

• agafo dos nombres primer els elevo al quadrat i després sumo els resultats 
• agafo els mateixos dos nombres primer els sumo i després elevo al quadrat el resultat

Primer vam proposar uns quants casos particulars (amb a i b nombres naturals)

Després van anar arribant les conclusions

Aquí vam haver de detenir-nos a parlar de què passaria si ampliàvem el nostre conjunt de casos particulars

vam arribar a la conclusió de que la desigualtat era certa només si a i b eren totos dos positius o tots dos negatius i vam decidir continuar la cerca de conclusions fins que vam arribar a que:

Creiem que hagués estat una bona idea donar una mica de llum al per què d'aquest patró i no hagués estat difícil fer-ho amb algunes imatges:

A l'entrada del Median del 27 de novembre de 2011 havia una altra proposta que ens va agradar per portar a aquella mateixa classe

Quan la vam proposar als alumnes van començar a treballar amb les seves calculadores però sense un procediment concret per cercar les seves respostes i ens vam trobar que després d'una estona en les seves llibretes apareixien coses així:

Era moment de posar en comú estratègies i discutir sobre maneres d'atacar el problema. Una primera estratègia que va sortir era la de fer la descomposició factorial d'aquests nombres. Per exemple: per al 2401 l'alumna, el treball de la qual es veu a la imatge, no havia trobat cap resposta i per tant vam fer la seva descomposició:

La imatge és una captura de l'applet Árbol de Factores que tal com vam explicar al post Més sobre l'arbre de factors és el que utilitzem habitualment a classe.

Allí els alumnes van veure que 2401 es podia escriure com a 7 elevat a la 4 o, fent parelles amb dos 7, com a 49 elevat al quadrat. Això de fer grupets ens va donar noves idees.


Aquesta alumna havia vist que 59049 es podia escriure com 3 elevat a la 10 però no havia estat capaç de trobar altres respostes tal com li demanava l'exercici. Però si 59049=3x3x3x3x3x3x3x3x3x3, els deu 3 es podien agrupar de diferents maneres: de 2 en 2, de 5 en 5... i això ens va recordar als divisors del 10, que són quatre: 

• el 10 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=3¹⁰ 
• el 5 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=9⁵
• el 2 és un divisor i l'exponent d'una de les respostes 59049=243²  
• fins i tot, l'1 és un divisor que permet trobar una altra resposta 59049=59049¹ 

El que no van tenir temps de discutir és com la descomposició factorial d'un nombre pot ajudar-nos a resoldre el problema de la cerca de potències de diferent base quan el nombre té més d'un divisor primer.