Pràctica productiva: restes (2)

Aquest curs és el segon en el que portem a terme un projecte de col·laboració entre el PuntMat, i les escoles de Gràcia, anomenat Gràcia Barri Matemàtic. Aquest curs el dediquem a fer  un "seminari de pràctica productiva". Us mostrem algun exemple.

Un cop presentada la idea que hi ha darrera de l'expressió "Pràctica Productiva" (treta de les idees del Freudenthal Institute) --

Les destreses matemàtiques bàsiques (càlcul mental, càlcul d’àrees de figures   elementals, algoritmes, etc.) necessiten pràctica.   Aquesta pràctica es pot fer de manera reproductiva, quan només s’enfoca a l’automatització de les destreses, o productiva, quan aquest objectiu s'assoleix   ambientant-lo en la resolució d'un problema.   Creiem que aquest tipus de pràctica hauria de tenir un lloc destacat en les   activitats d’aula, perquè al mateix temps que els alumnes consoliden habilitats   matemàtiques, desenvolupen maneres de fer que inclouen “els processos”.

... ens vam posar a treballar en la primera activitat

L'activitat

Un dels "espais naturals" de la pràctica productiva,  és reconvertir un full de rutines, en una activitat que plantegi un problema que, per solucionar-lo, s'hagin de realitzar les operacions plantejades en el full, en aquest cas, un full de restes.

L'activitat es va realitzar en una classe de cinquè de Primària. L' objectiu de pràctica eren les restes, i el repte plantejat va ser el següent:

 L'ambient de la classe va ser molt diferent, fins i tot el comentari de la mestra va ser "s'han posat a fer restes com uns bojos"

Exemples de respostes

En una activitat com aquesta les estratègies i processos utilitzats, són diferents. En el cas del treball següent, fer per una de les nenes de classe, si no és la perfecció li falta poc. El seu mètode de treball és molt bo, i l'esquema de presentació demostra un cap estructurat, a l'hora d'organitzar la feina i comunicar-la. Però es "culpa" de la mateixa nena... ja és així!

• Comença per escriure tots els nombres que es poden obtenir, combinant aquestes quatre xifres. Una mostra de pensament exhaustiu, en la que es veu certa estratègia organitzativa: tria un nombre i després escriu l'invers.
• En la segona part, comença organitzant les restes ordenadament: horitzontalment canvia les xifres del nombre de dalt i verticalment el de sota, fins que troba repeticions. 
• Va marcant als nombres utilitzats a la primera llista, per comprovar que no se'n deixa o no repeteix

Però la discussió fantàstica es pot produir quan surten respostes  com aquesta: en la que també hi ha cert ordre, però sembla que canvii de criteri. Raonaments com aquest fan complicat trobar-les totes o no repetir-ne cap.

Deixant de banda que l'alumne es va equivocar en una de les restes, cosa irrellevant un treball com aquest, respostes com aquestes són fantàstiques, ja que  ens permeten reflexionar col·lectivament sobre el fet de ser curosos en  el procés de treball sistemàtic. 

En aquest cas, l'alumne va trobar 11 restes (en total eren 12). Saber quina era la que s'havia deixat, no li va ser gens fàcil (pel que corregeix tampoc) ja que en no seguir un camí sistemàtic, trobar-la, implica de fet  resoldre de nou el problema. Aquesta discussió és molt profitosa per a crear hàbits i processos de treball matemàtics.

Preguntes com: Com ho puc fer per estar segur que no me'n deixo cap?, o com assegurar que no n'hi ha dues de repetides? son preguntes clau, que presideixen aquesta activitat.

Activitats multinivell

Una de les característiques de les activitats de pràctica productiva, és que tenen un ventall ampli de cursos en el que poder ser proposats. Un mateix problema proposat en diferents nivells dóna resultats diferents i mètodes més o menys sofisticats.

 Exemple de resposta del problema posat a 1r d'ESO

Com es veu a la imatge, en aquest cas apareixen nombres negatius com a solucions de les restes, e llistat ja treballa amb operacions indicades i no en forma d'algorisme etc.

La dinàmica  

Els alumnes, encara que el treball es individual, seuen en taules de quatre, parlen amb els companys, verifiquen resultats o demanen ajudes, però al final han de presentar un full individual.

En aquest tipus de treball canvia el contracte didàctic: no es tracta de resoldre unes restes, presentar-les i ser validades com correctes o no. En aquest cas, assegurar que estiguin ben fetes forma part de les condicions de treball. Un mal resultat  pot "amagar" la possibilitat de trobar relacions per arribar a conclusions vàlides.

Hi ha alumnes que poden necessitar fer-se "cartes" amb els nombres, per a organitzar-se. No deixa de ser un mètode més, molt útil per molta gent quan comença. Però hauria de sortir d'ells com estratègia.És a dir no es tracta que el mestre li doni el material fabricat per facilitar-li la feina. Ha de ser una estratègia triada per l'alumne, que fins i tot pot explicar: m'he fet cartes per no repetir cap nombre a l'hora d'escriure les restes", per exemple.

En ser activitats obertes, surten preguntes inesperades, que obren camps desconeguts. Per exemple, un alumne (de cinquè) va preguntar si "valien" els nombres negatius. Creiem que  si un alumne de cinquè ho planteja, cal deixar que continuï: n'hi sortiran el doble, però obra un camí nou. i a més segurament, descobrirà ràpidament, que els resultats són els mateixos però amb el signe canviat.

Extensions  

L'activitat es pot "estirar". Us convidem a resoldre les dues situacions següents i a enviar-nos respostes, vostres o d'alumnes als  comentaris.

Exemple 1
A partir de triar quatre nombres (que son consecutius)  investigar que passa amb els resultats i quants resultats diferents surten

Un cop trobat el resultat, i observant que són nombres consecutius, podem plantejar que passaria si ho féssim amb altres nombres consecutius diferents. Sortirien el mateix nombre de resultats diferents que en el primer cas? Es repetiria algun resultat? quines conclusions? podem treure?

Exemple 2
Poder canviar de camp numèric i plantejar investigacions amb fraccions:

 

Algunes preguntes possibles a fer podrien ser que el resultat fos que el resultat fos:

• la fracció més petita possible
• la que s'apropi més a 1/2
• una de denominador 10, els pot semblar sembla impossible d'entrada, però recordem que segons quins resultats es poden simplificar

Disseny de mosaics

Fa temps, la Maite Roca, ens va fer arribar, unes fotografies del recull del treball fet a la seva escola. Fent inventari i mirant-lo de nou hem pensat que val la pena que el conegueu. El comentaris que acompanyen a les fotos són del PuntMat. El treball es desenvolupa de de l'òptica de fer un projecte: a partir de l'estudi dels mosaics de Barcelona i el llibre que els recull, es planteja de fabricar-ne a classe.

Construint mosaics
(treball fet  per l'equip de mestres de sisé de l'Escola Thau de Barcelona)

A partir de la riquesa dels mosaics de l'Eixample de Barcelona, i del llibre del que disposaven, es va plantejar un treball per grups, de creació de mosaics en el que, part artística al marge, es van treballar conceptes matemàtics en profunditat. Us presentem el resum final, portat a terme pels alumnes, on parlen contínuament de Matemàtiques
 

 

En primer lloc, i abans de començar, cal fer inventari del material necessari. Posteriorment, es fa l'anàlisi dels eixos de simetria, que "s'amaguen" darrera del mosaic que volen fer, per poder-los aplicar al que hauran d'inventar. Cal destacar la precisió i el treball de comunicació, emprant vocabulari matemàtic (eixos de simetria). També quan  expliciten la mesura de la rajola, perquè el lector pugui fer-se'n una idea

Continua la precisió en el llenguatge i l'us de vocabulari matemàtic: els triangles que surten, són rectangles i els eixos que fan de nou, són les diagonals

...circumferència, centre, radi, hexàgon regular...

Un cop obtinguda la xarxa, sobre la quall estaven dibuixats els mosaics originals, ja arriba la hora d'inventar els propis

La utilització del llibret de miralls, per ajudar a visionar com queda i prendre decisions, és genial, així com  l'ambient de treball que s'imagina a l'altra foto

Sembla que, el treball de paleta volia ser reivindicat com a esforç

Encara que un cop feta la feina, n'hi ha per quedar contents

Finalment una mostra d'una part del mosaic d'un altre grup

Felicitem als mestres i als seus alumnes.

Pràctica productiva: sistema d'equacions

Al post Pràctica productiva i equacions de segon grau ja vam comentar que al segon cicle de l'ESO també podem practicar destresses algebraiques bàsiques en un ambient de resolució de problemes. Avui ho exemplificarem en el cas de la resolució de sistemes d'equacions de primer grau amb dues incògnites (un tema del que també vam parlar a ).

Al post "Que parlin ells" també a l'ESO ja vam parlar sobre els sistemes d'equacions i com podem treballar amb els alumnes el descobriment d'estratègies per a resoldre'ls. Després d'aquests descobriments cal que practiquin aquesta destressa. Però, per què no substituir la proposta de llargues llistes de sistemes d'equacions per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental?

Un exemple de fitxa de treball 

1. Tria tres nombres parells consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres nombres senars consecutius.   Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?

2. Tria tres potències de base 2 i exponents consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres potències de base 3 i exponents consecutius.  Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?

3. Tria diferents nombres enters per completar les equacions i resol el sistema resultant. 

Si és possible, troba un cas en el que la solució 

• doni valors enters per a x i y  
• i que tots dos siguin parells 
• i que tots dos siguin senars 
• i que siguin un parell i  un senar  
• no doni valors enters per a x o y 
• no doni valors enters ni per a x ni per a y

Alguns comentaris

A l'activitat 1 es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica i la solució del sistema sempre serà x=-1, y=2 ja que qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica el doble del central és igual a la suma dels dos de les puntes o el que és el mateix l'oposat del primer més el doble del segon sempre dóna el tercer.

A l'activitat 2 la solució del sistema sempre serà x=-6, y=5. Es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió geomètrica però la solució depèn de la raó d'aquestes progressions, en el cas en que les raons siguin r i r+1 les solucions seran enteres.

A l'activitat 3 els alumnes poden trobar patrons com els següents (anomenem p i q els nombres triats per completar les equacions):

• el valor de y sempre serà enter i tendrà la mateixa paritat que p
• el valor de x serà enter quan p+q sigui parell i aquest valor enter de x serà parell quan, a més, p+q sigui múltiple de 4.

Es pot canviar la proposta per qualsevol sistema en que ad-bc sigui 2, sent a el coeficient de x i b el coeficient de y en la primera equació, c el coeficient de x i d el coeficient de y en la segona equació. 

Perímetre i àrea 3

Després de les activitats suggerides als posts Perímetre i àrea 1 i Perímetre i àrea 2, en aquest post proposem unes noves activitats que pretenen oferir experiències als alumnes perquè interioritzin el fet no trivial de que aquestes dues magnituds es poden modificar de manera independent.

Primera activitat: pensament exhaustiu

A la graella que apareix a l'esquerra cada quadre mesura 1cm de costat. Pinta alguns dels seus quadres de manera que quedi una figura (única i sense forats) de 12 cm de perímetre. Quantes solucions realment diferents pots trobar?

A la imatge es poden veure les 16 solucions trobades per un alumne de 5è de primària:

Si en lloc de mantenir constant el perímetre, demanem les figures que es poden fer sobre la mateixa graella de 6 cm² d’àrea, les solucions són vuit (una de perímetre 10 cm, una altra de perímetre 11 cm, una altra de perímetre 14 cm i cinc de perímetre 12 cm):

En la següent imatge ja es pot intuir una propietat de les figures formades per la unió de quadrets que consisteix en que si el quadret que s'elimina està a la "cantonada" el perímetre no s'altera.

Feina encara sense acabar d'un alumne cercant les figures de perímetre 12 cm

Volem aprofundir en aquesta "propietat" a la segona activitat.

Comentari a posteriori
Si l'activitat anterior la proposem sobre paper quadriculat sense restringirse a una graella de 3x3 el nombre de solucions varia de manera considerable

• les solucions de perímetre 12 cm passen de 16 a 25

• les solucions d'ârea 6 cm² de 8 a 35

Aquestes 35 figures d'àrea 6 es coneixem com a hexaminos

Segona activitat: cerca de patrons i regularitats

En aquestes graelles també cada quadre mesura 1cm de costat.

Transforma la figura vermella en una altra canviant únicament un dels seus quadrets de lloc, de manera que la figura no es trenqui.

Verifica que es poden obtenir 12 noves figures però que cap d'elles té el mateix perímetre que la vermella (cinc d'elles tenen perímetre 14 cm i les altres set, perímetre 12 cm; els perímetres més grans els obtenim quan el quadret que movem és el que no està a les cantonades del rectangle vermell).

Transforma la figura verda en una altra canviant únicament un dels seus quadrets de lloc, de manera que la figura no es trenqui i el perímetre de la nova figura sigui major.

Pots canviar qualsevol dels quadrets? A quines noves posicions els pots moure?

Es pot fer el mateix amb l'objectiu de que el perímetre de la nova sigui menor que el perímetre de la figura inicial?


La @OhYahLee proposa una tasca similar amb material manipulatiu: es poden afegir tres rajoles sense alterar el perímetre de la figura resultant?

I afegint les tres rajoles alhora permet donar una resposta afirmativa a la pregunta plantejada.

Val la pena destacar que aquests patrons que pretenem que els alumnes descobreixin estan involucrats en la següent pregunta de les proves PISA en que es demana als alumnes que triïn quins dissenys són vàlids per al fuster:

Podeu accedir al document complet clicant aquí

Tercera activitat
Una manera de posar en pràctica aquest patorns descoberts és omplir la taula de la imatge de manera que en una mateixa fila les figures comparteixen àrea però el perímetre augmenta i en una mateixa columna les figures comparteixen perímetre però l'àrea augmenta:

La taula buida

Un exemple de taula plena

Podeu veure alguns suggeriments de com portar aquesta activitat a l'aula en aquest vídeo gravat durant una de les sessions del curs ARAMAT dedicada a mesura i transformacions

També podeu veure com van portar l'activitat a l'aula de 1r d'ESO els amics de l'INS Baixamar en aquesta entrada del seu blog:

Quarta activitat:
Pinta 27 quadrets d'un full quadriculat de manera d'obtenir una figura de perímetre mínim. Ja sabem que entre els dos rectangles que es poden fer pintant 27 quadrets el de 9x3 té menor perímetre (24) però ens interessa saber de l'existència d'una figura de menor perímetre.

A la imatge es veu una d'aquestes figures:

Si volem extendre aquesta tasca a altres quantitats de quadrets ens trobem que no sempre es pot aconseguir una figura amb menys perímetre que el rectangle òptim (el que s'assembli més a un quadrat) i pot sorprendre comprovar que això no només és impossible amb quantitats que siguin quadrats perfectes:

taula

La taula anterior feta a partir de A262767 i A027709 mostra un patró molt interessant en relació al perímetre mínim quan varia el nombre de quadrets pintats (un 4 i un 6, dos 8 i dos 10, tres 12 i tres 12, ...) i malgrat que els alumnes no tinguin una fórmula explícita per repondre, és interessant pereguntar-los, per exemple, quin serà el perímetre mínim d'una figura que ocupi 70 quadrets.

Cinquena tasca: 
Entre les solucions de perímetre 12 de la primera activitat, 5 és la menor àrea aconseguida, però sabem que amb perímetre 12 es poden aconseguir polígons d'àrea tan petita com es vulgui (per exemple, partint d'un paral·lelogram de costat 1 i 5 es pot anar fent l'altura més i més petita). El problema aquí és calcular el valor de l'àrea sense conèixer la mida de l'altura.

Martin Garner en "My Best Mathematical and Logic Puzzles", sota el nom "The 12 Matches" va proposar el repte de trobar figures d'àrea 4 amb 12 escuradents i Alex Bogomolny en "Cut the Knot" va extendre la pregunta a àrees 3 i 2.

Tal com es veu a la imatge anterior solucions per a àrea 4 i 3 es poden aconseguir a partir de modificar rectangles però aquesta no és l'estratègia principal que suggereixen ni Gardner ni Bogomolny, sinó que ho fan a partir del triangle rectangle de costats 3, 4 i 5 i àrea 6.

Solució proposada pel Gardner en el seu llibre

Una de les dues solucions proposades pel 

Bogomolny en el seu blog per al cas d'àrea 3

La solució d'àrea 2 proposada 

pel Bogomolny en el seu blog

Un itinerari de Mesura (1): massa

L'esquema de presentació de les activitats, és tret del llibre, que citem al final,  del Institut Freudenthal. Defineix tres moments per a introduir les diferents mesures:  

• comparar i ordenar (en el que es treballa el concepte)  
• ús d'unitats 
• ús d'instruments. 

Us presentem algunes activitats relacionades amb massa, organitzades seguint aquest esquema. Completant amb recursos que poden ajudar.

www.flickr.com

Comparar i ordenar

Comparar: sospesar dos objectes per comparar-los i veure quin és el que ens costa més d'aixecar porta implícit el concepte de mesurar masses. Una caixa plena de boles de porexpan o una plena de llibres mostra als alumnes més petits que la massa és una qualitat que no depèn necessàriament del volum.

Si els objectes a comparar són de massa semblant, segurament serà necessari agafar-los simultàniament un amb cada mà, amb els braços estesos, gairebé imitant una balança de plats.

La massa és una qualitat força abstracta. Fa molt temps algú ens va explicar com Decroly proposava la introducció del concepte de massa partint d'un seguit d'objectes quotidians. El primer que feien els alumnes era, utilitzant una balança de plats, equilibrar el pes de cadascun dels objectes amb sorra. Un cop fet, posaven la sorra en un mitjó, el tancaven i li penjaven una etiqueta amb el nom de l'objecte.
A partir d'aquí, preguntes usuals com: que pesa més l'estoig o la llibreta? quantes llibretes necessites per equilibrar el llibre? etc. es treballaven  utilitzant el mitjons prescindint dels objectes: Comparaven els mitjons amb les etiquetes corresponents en una balança.
Suposem que era una manera d'aïllar la idea de massa de l'objecte concret. Ens ho van explicar però no sabem si és cert. Si algú té referència d'això agrairem que ens ho indiqui en els comentaris.

Ordenar: per ordenar dues masses en tenim prou comparant directament els dos, com ens passa en el cas de la longitud.
No passa el mateix en el cas de voler ordenar més de dos objectes. En el cas de les longituds, ho fem de manera ràpida posant-les una al costat de l'altre formant escala (imaginem-ho amb els reglets), però ordenar més de dues masses precisa d'un treball sistemàtic molt interessant.
El el cas d'ordenar tres masses a,b, i c per exemple, haurem de seguir un procés com aquest.

• Agafar a i b, comparar
• Si a > b agafar b i c, comparar
• si b > c hem acabat: a > b > c
• si b < c ja sabem que b és el més lleuger dels tres però cal comparar a i b

Un cop han fet l'activitat, demanar que escriguin el procés que han seguit, o que escriguin les instruccions (algorismes) perquè una altra persona o un robot  ho pugui utilitzar amb la certesa que ho farà correctament  és una activitat molt interessant, que es pot estirar pels alumnes que tiben amb preguntes com:

• Tenim algun avantatge si en el tercer pas agafem a i c enlloc de b i c?
• Et veus en cor de fer l'esquema per quatre objectes? 

Una altra activitat interessant ens la ofereix el següent applet.

http://appletspuntmat.blogspot.com.es/2014/04/mesura-balances-1.html

Demanar que escrigui "la història" d'una seqüència pot ser  una activitat molt rica. Es podria pensar que aquesta activitat entra a la categoria d'instruments, però no considerem les balances com a instrument fins que no entren en joc les unitats.

Unitats
Unitats arbitràries
Un pilot d'objectes iguals, per exemple bales de jugar, faciliten molt la tasca d'ordenar si disposem d'una balança de plats ja que identifiquem la massa amb un nombre, i és molt més eficaç a l'hora de comparar. Parlem amb els alumnes dels avantatges que representa disposar d'unitats.

 

Fins i tot els mateixos nens poden ser unitats de mesura (encara que no siguin iguals) un exemple el tenim en una activitat, plenament recomanable, de l'Institut Freudenthal, plantejada amb nens de quart a partir de la visita a un parc aquàtic: quants nens de classe pesen tant com un dofí?

Unitats estàndards
Com a unitat legal el quilo, amb el mig quilo o el quart de quilo, semblen els més adequats per començar, i un bric de llet com a substitut d'una pesa de quilo, un bon recurs.

No podem oblidar dedicar un temps a l'estimació del món que ens envolta amb preguntes com: quan pesa un nen de tres anys? i un pivot de la lliga de Bàsquet? en quins productes s'utilitzen els mil·ligrams? què és una tona? què es mesura amb tones? quants nens necessitaria per equilibrar la balança amb una tona? etc.

Entrant en el món de les "peses",Juan Garcia Moreno ens obsequia un cop més amb un dels seus fantàstics applets.

https://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/problem_retos_1/menuproblemitas.html
Per accedir-hi heu d'entrar a la pàgina, veureu una llista amb imatges i heu d'activar el de la balança

Instruments

Fer un recorregut pels diferents instruments de mesura pot ser una activitat culturalment interessant: les balances mecàniques, les romanes com a balances "portàtils" per mercats ambulats, el sistema de "peses",  ja desaparegut (didàcticament hi ha materials) poden ser les protagonistes de la classe durant uns dies.
A mig camí entre unitats i instruments el treball sobre les mesures tradicionals i els seus noms és molt gratificant, podem descobrir coses interessants, com per exemple, que el porró era una unitat de mesura. Veure informació aquí

Conversar sobre el quilo i de com solucionaven el problema que tots els quilos tinguessin la mateixa massa. L'existència del "cilindre model" en el Museu de mesures de París. L'equivalència entre quilo i litre d'aigua (amb certes condicions molt estrictes) com a model de referència, pot ser un descobriment apassionant pel nostres alumnes.

Altres aspectes: context per resoldre problemes
Molts cops la mesura de massa és utilitzada per plantejar problemes matemàtica recreativa, i que "enganxen als nostres alumnes" com per exemple:
Tenim 9 boles idèntiques, de les quals una és de diferent massa que les demés. Disposem d'un balança de plats. Esbrinar quina és la bola diferent, fent solament dues pesades.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_139_g_4_t_2.html

D'altres és utilitzada com a context per plantejar problemes aritmètics.
Un exemple d'això el trobem a l'ARC (Creamat). Cal repartir el pes d'una compra de súper entre dos cistells, de manera que quedin equilibrats. Molt interessant la pregunta final, en la que demana que expliquin el mètode utilitzat. Va acompanyat d'un applet.

http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/a/3/ca3_03.html

Comentaris finals

• L'esquema utilitzat en aquesta entrada (comparar i ordenar, ús d'unitats, ús d'instruments) està tret del llibre "Young Children Learn Measurement and Geometry" (2004).

• Podeu veure una explicació més detallada d'aquest tema a l'article "Algunas actividades para hablar de Medida" a la revista SUMA nº 77, dins de la secció "Ell@s tienen la palabra".

Pràctica productiva: restes (1)

La proposta d'aquesta entrada és una activitat que pot substituir un full per practicar restes amb nombres entre 1 i 100. Es tracta de donar dos nombres als alumnes (en el cas de l'exemple que apareix a la primera imatge aquests dos nombres són 66 i 42), marcar-los amb un color, proposar als alumnes que trobin  la resta entre aquests dos nombres i que acoloreixin el resultat. Han de continuar restant dos nombres acolorits i acolorint el resultat fins que ja no hi hagi més possibilitats.

Les restes que s'han fet són: 66-42=24, 42-24=18, 24-18=6,
66-6=60, 60-6=54, 54-6=48, 42-6=36, 36-6=30 i 18-6=12

Es pot jugar sobre una graella de paper o sobre una graella digital que permeti acolorir les cel·les (aquí hi ha un exemple)

Altres exemples:

Fent l'activitat sobre una graella "de veritat" al #PGmatesprimariaUIB (desembre 17)

Malgrat que no ho sembli, el que hi ha darrera d'aquest innocent joc és el concepte de màxim comú divisor. Encara que no calgui tenir idea de divisibilitat per fer l'activitat (es pot proposar a partir de 2n de primària), saber que el que trobem, quan fem totes les restes, són els múltiples del MCD dels nombres inicials ens va molt bé als mestres per saber a cop d'ull si les restes estan ben fetes o si falta alguna resta per fer. També ens dóna moltes idees per proposar petites investigacions als alumnes:

• què passa si els nombres inicials són consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
• què passa si els nombres inicials són dos nombres parells consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen els nombres parells de la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
• què passa si els nombres inicials són dos nombres senars consecutius? Solució: en aquest cas les restes cobreixen tota la graella fins al més gran dels dos nombres inicials
• sempre que els nombres inicials siguin senars es cobrirà tota la graella? Solució: no, per exemple si els nombres inicials són 9 i 21 només quedaran coberts els múltiples de 3
• sempre que els nombres inicials siguin parells es cobriran tots els parells de la graella? Solució: no, per exemple si els nombres inicials són 44 i 72 només quedaran coberts els múltiples de 4
• etc.

També es pot proposar aquesta activitat als primers cursos de l'ESO fins que trobin la relació entre els nombres inicials i els nombres que queden coberts en acabar de fer totes les restes. Les preguntes per guiar-los haurien de ser unes altres: 

• Què passa si els dos nombres triats en un inici són 15 i 48? I si són 14 i 48? 
• Quina relació hi ha entre la disposició final de cel·les pintades i les dues cel·les inicials?
• Quina parella de nombres pots triar perquè les cel·les pintades al final siguin totes fins al 50? quines són totes les parelles que permeten arribar a aquesta disposició final? 

El que hi ha amagat sota les respostes a aquestes preguntes és que en restar dos nombres que tenen com a MCD un nombre n el resultat també és múltiple de n. Això permet entendre perquè tots els nombres obtinguts són múltiples del MCD dels nombres inicials però no justifica que siguin tots els múltiples del MCD dels nombres inicials (fins al més gran d'ells). Per justificar aquest últim punt hem de recorre a la base de l'algorisme d'Euclides: el MCD de dos nombres s'obté fent restes convenients entre els nombres inicials

http://nrich.maths.org/psum/picture-this/ 

Per tant, el joc proposat es converteix en un algorisme per trobar ek MCD de dos nombres!!

En aquest vídeo es pot veure l'activitat portada a l'aula:

La idea original i un suggeriment per convertit aquesta activitat en un joc provenen de l'article El joc d'Euclides del blog Cut the knot que té una seqüela a El joc d'Euclides sobre la graella

El joc d'Euclides

El joc d'Euclides sobre la graella

Podeu llegir altres comentaris sobre aquest problema a l'entrada "El joc de les restes" del blog "Banc de recursos del Fem Matemàtiques" una fantàstica iniciativa del grup Fem Matemàtiques de l'ABEAM amb solucions, resolucions, pautes i indicacions per treballar a les aules problemes del concurs que anualment organitza la Feemcat.