Pràctica productiva: taules

Una manera de repassar les taules de manera productiva és proposar als alumnes trobar el nombre de dues xifres de major persistència multiplicativa.

La persistència multiplicativa de 48 és 2 perquè les seves xifres necessiten 2 passos per arribar a un nombre d’una xifra: 

4x8=32 i 3x2=6 

La persistència multiplicativa de 17 és 1 perquè necessita 1 pas per arribar a un nombre d’una xifra: 

1x7=7 

Fa uns mesos vam proposar aquesta tasca als alumnes de 5è de l'Escola Sadako, demanant-los que pintin d'un color (en aquest cas groc) els nombres de dues xifres de persistència 1, d'un altre color els de persistència 2 i així successiament fins a tobar els nombres de major persitència multiplicativa.

 

L'Anna explica les seves conclusions a mida que va pintant les cel·les

Tal com suggereix l'última imatge en proposar aquest problema sobre una graella ens trobem davant d'un pou de regularitats que els alumnes poden detectar: tots els múltiples de 10 tenen persistència 1, la persistència d'un nombre i el seu revers (per exemple, 38 i 83) tenen la mateixa persistència, ser més gran no implica tenir major persistència, etc.

Així quedaria en acabar:

Encara podem anar més enllà, per exemple, podem treballar amb nombres de tres xifres:

• Quin són els nombres de tres xifres amb persitència 4? Són 83 nombres (A046513) però podem demanar-ne uns vint als que poden arribar per deducció:
• 177, 717 i 771: afegint la xifra 1 al nombre de dues xifres que té persistència 4
• 355, 268, 348, 446, 277 i tots els nombres que s'obtenen canviant d'ordre les xifres d'aquests nombres: multiplicant les seves xifres el resultat és un nombre taronja de la taula anterior (75, 96 i 98)
• els altres són més difícils de trobar: 377, 378, 379, 467, ...
• Quin són els nombres de tres xifres menys i més persistents que pots trobar? 
• hi ha molts nombres de tres xifres de persitència 1 (per exemple, sumant 100 a qualsevol nombre groc de la taula anterior s'obté un nombre groc)
• la persistència màxima entre nombres de tres xifres és 5 
• 679 i els altres cinc nombres que utilitzen aquestes tres xifres i 688 i els altres tres nombres que utilizen aquestes tres xifres necessiten 5 etapes per arribar a un resultat d'una xifra
• el que no es fàcil es comprovaar que no hi ha cap nombre que necessiti 6 etapes 
• Quina és la persistència més freqüent entre els nombres de tres xifres?
• per recollir les dades necessàries per a aquest estudi podem proposar un treball cooperatiu entre nou grups perquè analitzi cadascun una centena

Estudi de la persistència del nombres entre 300 i 399

•  ajuntat totes les dades arribarem a un gràfic d'aquest tipus que ens permetrà concloure que més d'un terç dels nombres de tres xifres tenen persitència 2.

 Podem fer servir aquest applet de @mickaellaunay:

I també podem parlar de "fòssils multiplicatius". La persistència multiplicativa de 489 és 4 ja que necessita 4 passos per arribar a un nombre d’una xifra: 4x8x9=288 2x8x8=128 1x2x8=16 1x6=6 i en aquest cas, diem que aquest últim 6 és el fòssil multiplicatiu de 489. En relació a aquest concepte podem preguntar:

• Quins nombres de 3 xifres tenen un fòssil senar? 
• Quins nombres deixen de fòssil 0?

El terme la persistencia multiplicativa va ser utilitzat per primer cop per Neil Sloane (fundador de la fantàstica "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences") a l'article The persistence of a number ( J. Recreational Math., 6 (1973), 97-98).

Podeu trobar més preguntes relacionades amb la persistència multiplicativa al post Reduction Multiplication del blog de Don Steward. En aquests dos post també podeu trobar informació interessant al respecte: "Un juego multiplicando las cifras de tu edad" i "Persistencia multiplicativa y el número 77777733332222222222222222222".

Dos articles inel·ludibles relacionats amb la persistència multiplicativa com a tasca per portar a l'aula són els escrits pel Joan Jareño al seu blog @Calaix2

• Fem-nos preguntes sobre la "persistència multiplicativa"
• Una variant de persistència multiplicativa i trens de potències 

La persitència additiva no sembla ser tan profitosa per generar tasques riques, però una pregunta que pot ser interessant és quins nombres de tres xifres són "perfectament persistents" (o sigui tenen persistència additiva 3) (A304368)

Geometria a Perspectiva Escolar

El número 380 de la revista de Rosa Sensat està dedicat monogràficament a la "Geometria: el llenguatge matemàtic del món". Entre els articles que hi apareixen, en trobareu un del PuntMat: "Treballant el bloc d'espai i forma a través d'activitats" on plantegem la possibilitat de treballar aquest bloc temàtic a partir de la tria d'un conjunt d'activitats sense haver de seguir un ordre prèviament definit, però sí tenint molt clar que volem fer un recobriment responsable dels aspectes que s’han de treballar de Geometria a Primària.

El recobriment esmentat abans ha d'incloure, al nostre entendre
● el treball amb objectes geomètrics plans i tridimensionals, estàtics i en moviment,
● la descripció dels objectes geomètrics, la identificació d'exemples variats i el descobriment de propietats,
● el treball amb la mesura d'aquests objectes però també amb l'anàlisi de les propietats de les figures més enllà de la mesura de la seva àrea, perímetre o volum i
● l'ús de materials manipulatius i la representació de figures planes o tridimensionals sobre diferents tipus de suports i disposant d'estris diversos.

A l'article es plantegen un segui de criteris per seleccionar activitats, acompanyem el relat d'aquests criteris per triar les activitats que portem a l'aula amb un llistat d'exemples. Aquests exemples, de vegades, tenen un enllaç associat. Pengem aquí els enllaços que es presenten a l'article, ja que són de domini públic, classificats per tipus d'activitat.

• Imitar a l’artista Claes Oldemburg fent una maqueta gegant d’un objecte petit (més informació a L'escultura com a ampliació d'una cosa petita)
• Comptar cares, arestes i vèrtexs de diferents poliedres i establir regularitats entre aquestes quantitats depenent del tipus de poliedre (més informació a Ell@s tienen la palabra: Describir poliedros contando caras, aristas y vértices)
• Construir objectes amb cubets a partir de les vistes frontal, lateral i zenital tal com es proposa a l’applet Building with blocks (més informació Ell@s tienen la palabra: Representar cuerpos tridimensionales mediante vistas, aquest article estarà disponible online a partir de març de 2016)
• Construir diferents poliedres utilitzant només les peces triangulars d’una capsa de Polydron o qualsevol altre material d’aquest tipus (més informació a Poliedres amb cares triangulars)
• Dibuixar tots els quadrilàters sobre un geoplà de 9 punts (més informació a Geoplans i pensament exhaustiu)
• Obtenir diferents figures d’àrea constant sobre una quadrícula i analitzar els seus perímetres o diferents figures de perímetre constant i analitzar les seves àrees (més informació a Perímetre i àrea 3)
• Construir tots els triangles diferents que es poden formar a partir de tres mides de barretes de Meccano com les que feia servir l’Emma Castelnuovo i classificar tots els triangles obtinguts segons els seus angles o segons els seus costats (més informació a Les barretes i l’Emma Castelnuovo)
• Determinar de tots els possibles hexòminos (figura formada per sis quadrats) quins representen desenvolupaments de cubs (més informació a Desenvolupament de poliedres)
• Treballar amb diferents tipus de tangrams i, per exemple, trobar totes les figures diferents que es poden formar amb algunes de les seves peces (més informació a El tangram del Median)
• Dissenyar mosaics en que les tessel·les estan formades per la unió de triangles i quadrats (més informació a qualsevol dels applets sobre mosaics de Didacmaticprimaria)
• Analitzar tots els dissenys diferents que tenen els bancs del Passeig Marítim de Sitges fets a partir de rajoles catalanes, reproduir-los i intentar descriure a una persona que no els veu sense fer servir imatges (més informació a Els bancs del Passeig marítim de Sitges).

Un últim apartat de "Connexions" ens acosta a altres camps de continguts. Aquí posem un resum d'algun dels que surten a l'article

• Les fraccions: Presentem als alumnes un triangle equilàter, en el que s'han dividit els costats en tres parts igual, quedant un hexàgon regular al mig. Preguntem quina part del total ocupa l'hexàgon.
• Estadística: indicar el percentatge que indiquen un seguit de diagrames de sectors
• Patrons i taules de multiplicar: tenim cercle dividit en 10 punts equidistants i numerats del 0 al 9. Partim del zero (3x0=0). Si analitzem la taula del 3, 3x1 acaba en 3, 3x2, acaba en 6, 3x3 acaba en 9, 3x4 acaba en 2, etc. Si unim els punts seguint aquest ordre, ens sortirà un magnífic polígon estrellat. Quins són els polígons associats a les taules de 2 al 9? El trobem preciós.

Finalment, la geometria ha d'estar present en activitats escolars, com entre altres, guarnir un arbre de Nadal amb poliedres, construïts per alumnes a partir dels seus desenvolupaments.

pàg 25

Quadrats torts

Creiem que és molt important que els alumnes des de ben petits s'acostumin a identificar els quadrats més enllà de les posicions prototípiques en que habitualment els presentem i que entenguin que un polígon de 4 costats només ha de complir dues condicions perquè sigui anomenat quadrat: que tots els seus costats siguin iguals i que tots els seus angles siguin rectes.

Un primer applet que ens pot ajudar a aconseguir aquest objectiu és "Complete the square". Allí es proposa als alumnes que completin un dibuix perquè en acabar quedi representat un quadrat:

http://nrich.maths.org/2910 

Un segon applet "Square it" els proposa posar en joc els aprenentatges anteriors intentant guanyar a l'ordinador o a un company en qui és el primer en aconseguir triar quatre punts que determinin un quadrat (una espècie de "3 en ratlla" al que podíem anomenar "4 en quadre"). Òbviament, aquells alumnes que siguin capaços de "veure" els quadrats torts aprofitaran aquest avantatge.

http://nrich.maths.org/2526

Encara que no sigui un applet hi ha una altra activitat proposada pel Projecte NRICH que pretèn el mateix objectiu que intentem destacar en aquest post. Es tracta de descobrir quin és el màxim nombre de fitxes que podem posar en una graella de nxn de manera que triades 4 d'elles mai quedi determinat un quadrat (Square Corners).

Una possible distribució de la màxima quantitat de fitxes que es poden col·locar
en una graella de 4x4 de manera que cap quaterna determina un quadrat

Una altra tasca (típica pràctica productiva) directament relacionada amb la promoció entre els alumnes de exemples de quadrats torts és la coneguda "Quants quadrats diferents es poden dibuixar en un geoplà de nxn?" Per a aquesta tasca tenim disponibles els geoplans recollits en aquest post.

En les tres imatges anteriors es poden veure els onze quadrats
diferents que es poden dibuixar en un geoplà de 6x6. 

Per comprovar la quantitat de quadrats diferents que es poden col·locar en un geoplà de nxn en funció de n podeu anar aquí.

Si volem endinsar-nos en el món de les coordenades, és interessant treballar els patrons que s'estableixen entre les coordenades dels quatre vèrtexs dels quadrats "torts".

Podem començar experimentant amb l'applet del NRICH: Square coordinates

http://nrich.maths.org/2667 

I acabar analitzant les regularitats entre les coordenades dels vèrtexs d'un quadrat quan està centrat a l'origen o quan un desls seus vèrtexs és (0,0) tal com proposa Don Steward en el seu post Slanted Squares

Si un vèrtex té coordenades (a,b) el seu oposat és (-b,a) i el tercer (a-b,a+b)

Pràctica productiva: restes (2)

Aquest curs és el segon en el que portem a terme un projecte de col·laboració entre el PuntMat, i les escoles de Gràcia, anomenat Gràcia Barri Matemàtic. Aquest curs el dediquem a fer  un "seminari de pràctica productiva". Us mostrem algun exemple.

Un cop presentada la idea que hi ha darrera de l'expressió "Pràctica Productiva" (treta de les idees del Freudenthal Institute) --

Les destreses matemàtiques bàsiques (càlcul mental, càlcul d’àrees de figures   elementals, algoritmes, etc.) necessiten pràctica.   Aquesta pràctica es pot fer de manera reproductiva, quan només s’enfoca a l’automatització de les destreses, o productiva, quan aquest objectiu s'assoleix   ambientant-lo en la resolució d'un problema.   Creiem que aquest tipus de pràctica hauria de tenir un lloc destacat en les   activitats d’aula, perquè al mateix temps que els alumnes consoliden habilitats   matemàtiques, desenvolupen maneres de fer que inclouen “els processos”.

... ens vam posar a treballar en la primera activitat

L'activitat

Un dels "espais naturals" de la pràctica productiva,  és reconvertir un full de rutines, en una activitat que plantegi un problema que, per solucionar-lo, s'hagin de realitzar les operacions plantejades en el full, en aquest cas, un full de restes.

L'activitat es va realitzar en una classe de cinquè de Primària. L' objectiu de pràctica eren les restes, i el repte plantejat va ser el següent:

 L'ambient de la classe va ser molt diferent, fins i tot el comentari de la mestra va ser "s'han posat a fer restes com uns bojos"

Exemples de respostes

En una activitat com aquesta les estratègies i processos utilitzats, són diferents. En el cas del treball següent, fer per una de les nenes de classe, si no és la perfecció li falta poc. El seu mètode de treball és molt bo, i l'esquema de presentació demostra un cap estructurat, a l'hora d'organitzar la feina i comunicar-la. Però es "culpa" de la mateixa nena... ja és així!

• Comença per escriure tots els nombres que es poden obtenir, combinant aquestes quatre xifres. Una mostra de pensament exhaustiu, en la que es veu certa estratègia organitzativa: tria un nombre i després escriu l'invers.
• En la segona part, comença organitzant les restes ordenadament: horitzontalment canvia les xifres del nombre de dalt i verticalment el de sota, fins que troba repeticions. 
• Va marcant als nombres utilitzats a la primera llista, per comprovar que no se'n deixa o no repeteix

Però la discussió fantàstica es pot produir quan surten respostes  com aquesta: en la que també hi ha cert ordre, però sembla que canvii de criteri. Raonaments com aquest fan complicat trobar-les totes o no repetir-ne cap.

Deixant de banda que l'alumne es va equivocar en una de les restes, cosa irrellevant un treball com aquest, respostes com aquestes són fantàstiques, ja que  ens permeten reflexionar col·lectivament sobre el fet de ser curosos en  el procés de treball sistemàtic. 

En aquest cas, l'alumne va trobar 11 restes (en total eren 12). Saber quina era la que s'havia deixat, no li va ser gens fàcil (pel que corregeix tampoc) ja que en no seguir un camí sistemàtic, trobar-la, implica de fet  resoldre de nou el problema. Aquesta discussió és molt profitosa per a crear hàbits i processos de treball matemàtics.

Preguntes com: Com ho puc fer per estar segur que no me'n deixo cap?, o com assegurar que no n'hi ha dues de repetides? son preguntes clau, que presideixen aquesta activitat.

Activitats multinivell

Una de les característiques de les activitats de pràctica productiva, és que tenen un ventall ampli de cursos en el que poder ser proposats. Un mateix problema proposat en diferents nivells dóna resultats diferents i mètodes més o menys sofisticats.

 Exemple de resposta del problema posat a 1r d'ESO

Com es veu a la imatge, en aquest cas apareixen nombres negatius com a solucions de les restes, e llistat ja treballa amb operacions indicades i no en forma d'algorisme etc.

La dinàmica  

Els alumnes, encara que el treball es individual, seuen en taules de quatre, parlen amb els companys, verifiquen resultats o demanen ajudes, però al final han de presentar un full individual.

En aquest tipus de treball canvia el contracte didàctic: no es tracta de resoldre unes restes, presentar-les i ser validades com correctes o no. En aquest cas, assegurar que estiguin ben fetes forma part de les condicions de treball. Un mal resultat  pot "amagar" la possibilitat de trobar relacions per arribar a conclusions vàlides.

Hi ha alumnes que poden necessitar fer-se "cartes" amb els nombres, per a organitzar-se. No deixa de ser un mètode més, molt útil per molta gent quan comença. Però hauria de sortir d'ells com estratègia.És a dir no es tracta que el mestre li doni el material fabricat per facilitar-li la feina. Ha de ser una estratègia triada per l'alumne, que fins i tot pot explicar: m'he fet cartes per no repetir cap nombre a l'hora d'escriure les restes", per exemple.

En ser activitats obertes, surten preguntes inesperades, que obren camps desconeguts. Per exemple, un alumne (de cinquè) va preguntar si "valien" els nombres negatius. Creiem que  si un alumne de cinquè ho planteja, cal deixar que continuï: n'hi sortiran el doble, però obra un camí nou. i a més segurament, descobrirà ràpidament, que els resultats són els mateixos però amb el signe canviat.

Extensions  

L'activitat es pot "estirar". Us convidem a resoldre les dues situacions següents i a enviar-nos respostes, vostres o d'alumnes als  comentaris.

Exemple 1
A partir de triar quatre nombres (que son consecutius)  investigar que passa amb els resultats i quants resultats diferents surten

Un cop trobat el resultat, i observant que són nombres consecutius, podem plantejar que passaria si ho féssim amb altres nombres consecutius diferents. Sortirien el mateix nombre de resultats diferents que en el primer cas? Es repetiria algun resultat? quines conclusions? podem treure?

Exemple 2
Poder canviar de camp numèric i plantejar investigacions amb fraccions:

 

Algunes preguntes possibles a fer podrien ser que el resultat fos que el resultat fos:

• la fracció més petita possible
• la que s'apropi més a 1/2
• una de denominador 10, els pot semblar sembla impossible d'entrada, però recordem que segons quins resultats es poden simplificar

Disseny de mosaics

Fa temps, la Maite Roca, ens va fer arribar, unes fotografies del recull del treball fet a la seva escola. Fent inventari i mirant-lo de nou hem pensat que val la pena que el conegueu. El comentaris que acompanyen a les fotos són del PuntMat. El treball es desenvolupa de de l'òptica de fer un projecte: a partir de l'estudi dels mosaics de Barcelona i el llibre que els recull, es planteja de fabricar-ne a classe.

Construint mosaics
(treball fet  per l'equip de mestres de sisé de l'Escola Thau de Barcelona)

A partir de la riquesa dels mosaics de l'Eixample de Barcelona, i del llibre del que disposaven, es va plantejar un treball per grups, de creació de mosaics en el que, part artística al marge, es van treballar conceptes matemàtics en profunditat. Us presentem el resum final, portat a terme pels alumnes, on parlen contínuament de Matemàtiques
 

 

En primer lloc, i abans de començar, cal fer inventari del material necessari. Posteriorment, es fa l'anàlisi dels eixos de simetria, que "s'amaguen" darrera del mosaic que volen fer, per poder-los aplicar al que hauran d'inventar. Cal destacar la precisió i el treball de comunicació, emprant vocabulari matemàtic (eixos de simetria). També quan  expliciten la mesura de la rajola, perquè el lector pugui fer-se'n una idea

Continua la precisió en el llenguatge i l'us de vocabulari matemàtic: els triangles que surten, són rectangles i els eixos que fan de nou, són les diagonals

...circumferència, centre, radi, hexàgon regular...

Un cop obtinguda la xarxa, sobre la quall estaven dibuixats els mosaics originals, ja arriba la hora d'inventar els propis

La utilització del llibret de miralls, per ajudar a visionar com queda i prendre decisions, és genial, així com  l'ambient de treball que s'imagina a l'altra foto

Sembla que, el treball de paleta volia ser reivindicat com a esforç

Encara que un cop feta la feina, n'hi ha per quedar contents

Finalment una mostra d'una part del mosaic d'un altre grup

Felicitem als mestres i als seus alumnes.

Pràctica productiva: sistema d'equacions

Al post Pràctica productiva i equacions de segon grau ja vam comentar que al segon cicle de l'ESO també podem practicar destresses algebraiques bàsiques en un ambient de resolució de problemes. Avui ho exemplificarem en el cas de la resolució de sistemes d'equacions de primer grau amb dues incògnites (un tema del que també vam parlar a ).

Al post "Que parlin ells" també a l'ESO ja vam parlar sobre els sistemes d'equacions i com podem treballar amb els alumnes el descobriment d'estratègies per a resoldre'ls. Després d'aquests descobriments cal que practiquin aquesta destressa. Però, per què no substituir la proposta de llargues llistes de sistemes d'equacions per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental?

Un exemple de fitxa de treball 

1. Tria tres nombres parells consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres nombres senars consecutius.   Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?

2. Tria tres potències de base 2 i exponents consecutius i utilitza’ls com a coeficients de la primera equació (respectant l’ordre). Per als coeficients de la segona equació, tria tres potències de base 3 i exponents consecutius.  Resol el sistema resultant. 

Fes-ho de nou canviant la tria de nombres per als coeficients. Què hi observes?

3. Tria diferents nombres enters per completar les equacions i resol el sistema resultant. 

Si és possible, troba un cas en el que la solució 

• doni valors enters per a x i y  
• i que tots dos siguin parells 
• i que tots dos siguin senars 
• i que siguin un parell i  un senar  
• no doni valors enters per a x o y 
• no doni valors enters ni per a x ni per a y

Alguns comentaris

A l'activitat 1 es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica i la solució del sistema sempre serà x=-1, y=2 ja que qualsevol terna de nombres en progressió aritmètica el doble del central és igual a la suma dels dos de les puntes o el que és el mateix l'oposat del primer més el doble del segon sempre dóna el tercer.

A l'activitat 2 la solució del sistema sempre serà x=-6, y=5. Es pot canviar la proposta demanat que triïn com a coeficients qualsevol terna de nombres en progressió geomètrica però la solució depèn de la raó d'aquestes progressions, en el cas en que les raons siguin r i r+1 les solucions seran enteres.

A l'activitat 3 els alumnes poden trobar patrons com els següents (anomenem p i q els nombres triats per completar les equacions):

• el valor de y sempre serà enter i tendrà la mateixa paritat que p
• el valor de x serà enter quan p+q sigui parell i aquest valor enter de x serà parell quan, a més, p+q sigui múltiple de 4.

Es pot canviar la proposta per qualsevol sistema en que ad-bc sigui 2, sent a el coeficient de x i b el coeficient de y en la primera equació, c el coeficient de x i d el coeficient de y en la segona equació. 

Perímetre i àrea 3

Després de les activitats suggerides als posts Perímetre i àrea 1 i Perímetre i àrea 2, en aquest post proposem unes noves activitats que pretenen oferir experiències als alumnes perquè interioritzin el fet no trivial de que aquestes dues magnituds es poden modificar de manera independent.

Primera activitat: pensament exhaustiu

A la graella que apareix a l'esquerra cada quadre mesura 1cm de costat. Pinta alguns dels seus quadres de manera que quedi una figura (única i sense forats) de 12 cm de perímetre. Quantes solucions realment diferents pots trobar?

A la imatge es poden veure les 16 solucions trobades per un alumne de 5è de primària:

Si en lloc de mantenir constant el perímetre, demanem les figures que es poden fer sobre la mateixa graella de 6 cm² d’àrea, les solucions són vuit (una de perímetre 10 cm, una altra de perímetre 11 cm, una altra de perímetre 14 cm i cinc de perímetre 12 cm):

En la següent imatge ja es pot intuir una propietat de les figures formades per la unió de quadrets que consisteix en que si el quadret que s'elimina està a la "cantonada" el perímetre no s'altera.

Feina encara sense acabar d'un alumne cercant les figures de perímetre 12 cm

Volem aprofundir en aquesta "propietat" a la segona activitat.

Comentari a posteriori
Si l'activitat anterior la proposem sobre paper quadriculat sense restringirse a una graella de 3x3 el nombre de solucions varia de manera considerable

• les solucions de perímetre 12 cm passen de 16 a 25

• les solucions d'ârea 6 cm² de 8 a 35

Aquestes 35 figures d'àrea 6 es coneixem com a hexaminos

Segona activitat: cerca de patrons i regularitats

En aquestes graelles també cada quadre mesura 1cm de costat.

Transforma la figura vermella en una altra canviant únicament un dels seus quadrets de lloc, de manera que la figura no es trenqui.

Verifica que es poden obtenir 12 noves figures però que cap d'elles té el mateix perímetre que la vermella (cinc d'elles tenen perímetre 14 cm i les altres set, perímetre 12 cm; els perímetres més grans els obtenim quan el quadret que movem és el que no està a les cantonades del rectangle vermell).

Transforma la figura verda en una altra canviant únicament un dels seus quadrets de lloc, de manera que la figura no es trenqui i el perímetre de la nova figura sigui major.

Pots canviar qualsevol dels quadrets? A quines noves posicions els pots moure?

Es pot fer el mateix amb l'objectiu de que el perímetre de la nova sigui menor que el perímetre de la figura inicial?


La @OhYahLee proposa una tasca similar amb material manipulatiu: es poden afegir tres rajoles sense alterar el perímetre de la figura resultant?

I afegint les tres rajoles alhora permet donar una resposta afirmativa a la pregunta plantejada.

Val la pena destacar que aquests patrons que pretenem que els alumnes descobreixin estan involucrats en la següent pregunta de les proves PISA en que es demana als alumnes que triïn quins dissenys són vàlids per al fuster:

Podeu accedir al document complet clicant aquí

Tercera activitat
Una manera de posar en pràctica aquest patorns descoberts és omplir la taula de la imatge de manera que en una mateixa fila les figures comparteixen àrea però el perímetre augmenta i en una mateixa columna les figures comparteixen perímetre però l'àrea augmenta:

La taula buida

Un exemple de taula plena

Podeu veure alguns suggeriments de com portar aquesta activitat a l'aula en aquest vídeo gravat durant una de les sessions del curs ARAMAT dedicada a mesura i transformacions

També podeu veure com van portar l'activitat a l'aula de 1r d'ESO els amics de l'INS Baixamar en aquesta entrada del seu blog:

Quarta activitat:
Pinta 27 quadrets d'un full quadriculat de manera d'obtenir una figura de perímetre mínim. Ja sabem que entre els dos rectangles que es poden fer pintant 27 quadrets el de 9x3 té menor perímetre (24) però ens interessa saber de l'existència d'una figura de menor perímetre.

A la imatge es veu una d'aquestes figures:

Si volem extendre aquesta tasca a altres quantitats de quadrets ens trobem que no sempre es pot aconseguir una figura amb menys perímetre que el rectangle òptim (el que s'assembli més a un quadrat) i pot sorprendre comprovar que això no només és impossible amb quantitats que siguin quadrats perfectes:

taula

La taula anterior feta a partir de A262767 i A027709 mostra un patró molt interessant en relació al perímetre mínim quan varia el nombre de quadrets pintats (un 4 i un 6, dos 8 i dos 10, tres 12 i tres 12, ...) i malgrat que els alumnes no tinguin una fórmula explícita per repondre, és interessant pereguntar-los, per exemple, quin serà el perímetre mínim d'una figura que ocupi 70 quadrets.

Cinquena tasca: 
Entre les solucions de perímetre 12 de la primera activitat, 5 és la menor àrea aconseguida, però sabem que amb perímetre 12 es poden aconseguir polígons d'àrea tan petita com es vulgui (per exemple, partint d'un paral·lelogram de costat 1 i 5 es pot anar fent l'altura més i més petita). El problema aquí és calcular el valor de l'àrea sense conèixer la mida de l'altura.

Martin Garner en "My Best Mathematical and Logic Puzzles", sota el nom "The 12 Matches" va proposar el repte de trobar figures d'àrea 4 amb 12 escuradents i Alex Bogomolny en "Cut the Knot" va extendre la pregunta a àrees 3 i 2.

Tal com es veu a la imatge anterior solucions per a àrea 4 i 3 es poden aconseguir a partir de modificar rectangles però aquesta no és l'estratègia principal que suggereixen ni Gardner ni Bogomolny, sinó que ho fan a partir del triangle rectangle de costats 3, 4 i 5 i àrea 6.

Solució proposada pel Gardner en el seu llibre

Una de les dues solucions proposades pel 

Bogomolny en el seu blog per al cas d'àrea 3

La solució d'àrea 2 proposada 

pel Bogomolny en el seu blog