Matemàtiques anant pel carrer (4)

Un mosaic hexagonal a la Travessera de Dalt

La Laura Morera ens envia unes fotos, tirades de pressa i corrents, des d'un mòbil. Serveixen com a testimoni que, en una casa, situada a la vorera de muntanya, entre la plaça de Lesseps i el carrer d'Escorial, l'entrada del pàrquing té un mosaic hexagonal que podria entrar a la secció "anant per carrer".

Enfilem la Travessera de Dalt, i anem mirant les cases. Ens sentim acompanyats per la munió de turistes que ens envolten: mes de juny prop del Park Güell: una càmera més no es nota. No sabem si és gran o petit i anem atents, finalment en el número 77 de la Travessera de Dalt el trobem.

Activitats
El primer que pensem és en activitats de reproducció:

1. Com ens ho podem fer per dibuixar algunes "corones" amb regle i compàs?, o sigui quina trama hauríem de dibuixar? la isomètrica (triangles equilàters) és una bona sortida
2. Quants hexàgons hi ha a les primeres sis corones?. Podem generalitzar a n?

Però podem anar una mica més enllà: Quants hexàgons hi ha en total en les primeres "n" corones?.
Aquesta última pregunta podríem incloure-la en l'apartat "nombres amb forma" del que últimament  hem publicat un primer exemple: els nombres oblongs. En aquesta ocasió parlem  dels nombres hexagonals.

Aquests són els primers quatre nombres hexagonals, o sigui, la quantitat

de rajoles necessàries per feer un  tesselat d'1, 2, 3 o 4 corones

Al famòs llibre "Proofs without words" de R. Nelsen trobem una prova visual per donar resposta a aquesta pregunta:

En la imatge es pot veure que tot nombre hexagonal és la diferència de dos cubs consecutius.
Per tant, el quart nombre hexagonal es pot calcular fent 64-27 (4 al cub menys 3 al cub)