Nombres amb forma (I)

Fotoproblema del Richard Philipps
analitzat en un post anterior

Comencem aquest post amb una piràmide de taronges diferent de la que va aparèixer en el post de la setmana passada: Matemàtiques anant pel carrer (3). Allí vam veure que un alumne aconseguia calcular el nombre de taronges que havia a la foto (la mateixa que veiem aquí a la dreta) i deduir quantes n'hi hauria si la piràmide tingués un altre pis d'alçada, a partir d'identificar que en cada pis havia 1x2, 2x3, 3x4... taronges.  De la mateixa manera, en el cas de la piràmide que hi ha a l'inici d'aquesta entrada, cada pis està format per un nombre "quadrat": 1x1, 2x2, 3x3... Moltes vegades, en Matemàtiques, fem això de fer servir noms de figures per descriure nombres i els nombres 1x2, 2x3, 3x4... també reben un nom d'aquest tipus: es coneixen com a "nombres oblongs".

Per començar a estudiar aquests nombres us proposem començar amb un applet de l'Institut Freudenthal: "Problemas con puntos". La idea d'aquest applet és la identificació de patrons que permetin descobrir "fórmules" generals i aquest tipus de nombres per la seva senzillesa permet fer una suau introducció al tema.

Algunes propietats dels nombres oblongs:

• per ser el producte de dos nombres consecutius, tots els nombres oblongs són parells (encara que cap d'ells acaba ni en 4 ni en 8, 40% dels nombres oblongs acaben en 0, 40% acaben en 2 i 20% acaben en 6)
• encara més: els nombres oblongs són la suma dels primers nombres parells

• els nombres oblongs també es poden obtenir com la suma d'un nombre quadrat més la seva arrel quadrada

• En un futur post podrem relacionar els nombres oblongs amb altres nombres amb forma: els triangulars. I aquests nombres ens donaran la possibilitat de relacionar la quantitat de taronges dels dos tipus de piràmides esmentades: les oblongues (les del fotoproblema) i les quadrades (com la de la imatge de l'inici d'aquest post)

COMENTARI FINAL: En el número d'abril de 1989 de la revista Mathematics Magazine va aparèixer una prova visual de la fórmula que permet calcular la quantitat de taronges de la piràmide del fotoproblema en funció de la quantitat de pisos: si la piràmide té n pisos, té n(n+1)(n+2)/3 taronges. Les proves visuals o proves sense paraules com aquesta jugaran un paper important en la sèrie de posts "nombres amb forma" que avui comencem.

http://mathdl.maa.org/images/cms_upload/269038922424.pdf

En relació al problema amb el que començavem aquest post, mireu què fantàstica activitat han compartit amb nosaltres les mestres de cicle mitjà de l'escola Montagut de Santa Sussana

Quina pila de taronges!