Nombres primers, compostos i quadrats

Gràcies a un tuit de la "particular" Vi Hart (@vihartvihart  o http://vihart.com) hem conegut un applet que comença amb una imatge com aquesta:

La primera imatge que apareix representa la sèrie d'arcs de circumferència de radi: 1, 2, 3, etc. Quan activem la "pel·lícula" es va formant una espiral.

A mesura que avança, es van acolorint de vermell els nombres primers i veiem, per exemple (veure figura inferior) que el 51 està alineat amb el 3 i el 17 i 51 és 3x17. Ens preguntem: passa sempre que el nombre final és el producte dels nombres que estan alineats amb ell? Quina informació ens donen els nombres que surten alineats amb d'un nombre determinat? Com veieu és una magnífica ocasió per convidar als alumnes perquè "parlin ells"

 

Aquesta espiral ens va fer pensar en una imatge famosa, davant  de la qual la pregunta que s'acostuma a fer és: qué és això?

I la resposta és "el gargot d'Ulam": els nombres primers pintats en una quadrícula en espiral començada des del centre. Convida a pensar que aquests maleïts nombres primers deuen tenir alguna regularitat encara no trobada. Si voleu conèixer més a fons aquesta història us remetem a la fantàstica exposició sobre "quadrats" dissenyada per la gent de la societat balear Xeix. Us presentem una petita mostra que pot donar lloc a una gran feina amb l'alumnat.

Finalment, comentarem un altre applet que resol de manera notable la representació de divisors d'un nombre. En la part central veiem el gràfic, a sota el nombre, en aquest cas el 36 i a la dreta la seva descomposició en nombres primers.

Si llegim de fora cap a dintre viem que hi ha:

• Un cercle blau gran que conté 3 cercles blaus petits 
• Cada cercle blau petit conté 3 cercles grocs
• Cada cercle groc conté 2 cercles grocs petits
• Cada cercle petit conté 2 punts, el que finalment ens porta a 3x3x2x2

Creiem que és una representació que permet crear preguntes interessants i reptes de cara als nostres alumnes, com per exemple:

• Aquí veiem les representacions de quatre nombres: el 6, el 7, el 8 i el 9. Troba un altre nombre que tingui la mateixa representació que el 7 (és a dir sense subgrups)

 

• Donat un nombre, dibuixa el gràfic (es pot fer manipulativament representant la  quantitat  amb fitxes de parxís). 
• Molts nombres tenen més d'una representació. Donat un nombre, fes totes les representacions possibles. Per exemple, el 30 dóna gràfics diferents segons es comenci la descomposió per 2x15, 3x10 o 5x6. 
• Els nombres primers tenen una sola representació possible. Hi ha altres nombres que la tinguin?
• Donat un gràfic "mut" (amb cercles però sense els punts) troba alguns nombres que responguin a aquesta estructura

Esperem que en aquest començament de curs encara pugueu fer un espai per a enquibir alguna d'aquestes idees al llarg de l'any, si és que us han agradat.

Afegitó (7/11/12)
Una altra animació preciosa

Al següent vídeo podem veure una activitat relacionada amb aquest applet que proposa @martapb87 als seus alumnes de 6è