Fraccions: què vol dir "parts iguals"?

Una activitat de mesura

Vàrem posar-nos en una sala petita de l'escola Baloo, corria l'any 99, una càmera de vídeo filmaria el que ens proposàvem fer aquell matí amb alumnes de 6è. Sobre havia la taula una "caixa d'eines" (una caixa en la que hi ha de tot: cordills, paper quadriculat, regle graduat, escaire, cartabó, semicercle graduat, paper vegetal, calculadores, etc.) amb l'objectiu que siguin els alumnes qui triïn l'eina a l'hora de solucionar un problema.

Els alumnes entren en grups de quatre i a cada grup els plantegem la mateixa activitat: agafem quatre fulls iguals i doblegant de diferents maneres obtenim aquestes línies.

De cadascun del fulls separem, retallant, una de les seves parts

Posem les quatre figures sobre la taula i preguntem: d'aquestes quatre figures que hi ha sobre de la taula, quina és la que té l'àrea més gran?

Què van contestar els alumnes?
La primera resposta va ser francament desencoratjadora. Una mica més i pleguem!

• Manuel: L'àrea és com... allò del fútbol, oi?

El que buscàvem nosaltres en aquesta activitat és veure si els alumnes tenen clara la idea de fracció, i realment, apart de la desmoralització de la mestra veient el que "els ha quedat" de quan van fer àrees, es va produir una discussió molt interessant que no reproduïrem aquí, però de la que en fem un resum. Podeu llegir-ho complet a l'article "Del cuarto escondido a la idea de área: el material como modelo o contexto generador de problemas". (Carme Barba & David Barba. Aula 83/84. Juliol 1999, pg 46-49).

Finalment després de molt discutir i arribant a una mena de definició d'àrea com a "l'àrea és l'espai que ocupa una figura" van fer la seva primera conjectura 

• Marta: Doncs jo crec que és el triangle!
• Mestra: Podeu demostrar d'alguna manera que el triangle és el que té l'àrea més gran
• Tots: Podem "TOCAR-LOS" ?

La caixa d'eines i el camí cap a la solució
La majoria de grups van optar en primer lloc per la corda, posant-la sobre els costats fins a arribar a adonar-se'n que no els servia. Posteriorment van passar al paper quadriculat per a poder calcular làrea de cadascuna de les figures.

Cal destacar que cap del grups va utilitzar el regle graduat per mesurar costat i altura i aplicar la fórmula per ells ja coneguda. Sembla que si no és en un exercici de llibre de text, no té aplicació. Aixó ens porta a pensar que  l'aprenentatge de les fórmules de les àrees no ha esdevingut competencial.

A mesura que, gràcies al paper quadriculat,  anaven obtenint resultats, i veient que cada nova figura mesurada donava el mateix resultat que les anteriors, van arribar a enfurismar-se, fins a dir-li a la mestra.

• Ondia! si són iguals! TU (mestra) ens ho has fet retallar de una manera determinada per a enganyar-nos. No ens havies dit que era la quarta part!!!

Reflexionant sobre aquesta experiència veiem que aquí no solament es treballa el concepte d'àrea, sinó que, paral·lelament, implica també  el concepte de fracció que, de fet, esdevé la millor "eina" per a resoldre el problema. Solament un grup, va solucionar el problema utilitzant aquesta idea, sense necessitat de prendre cap mesura.

• Grup: Són iguals (sense mesurar res, a la primera)
• Mestra: Per què?
• Grup: Perquè cada part és 1/4

Una bona pregunta per discutir sobre fraccions
La pregunta clau seria: "què vol dir dividir en parts iguals quan parlem de fraccions". Veient les explicacions, propostes i exemples i discussions dels alumnes veurem realment que han entés. "Què parlin ells", però com començar?

photo credit: Edgar Barany via photopin cc

Per iniciar  la idea de fracció de manera coherent amb el concepte una activitat interessant por ser la següent. Els alumnes disposen d'una fulla o reproducció d'una fulla i preguntem: "Un cuc es menja una quarta  part d'aquesta fulla cada dia. Dibuixa quant s'haurà menjat aproximadament el primer dia". Posteriorment i utilitzant paper quadriculat cada grup valida qui s'acosta més a la quarta part. D'aquesta manera el concepte de fracció es lliga al de superfície el que ens permet atacar problemes molt més interessants.

Fraccions i textos escolars

La figura següent presenta l'activitat comentada anteriorment, ara en format text, amb la diferència que s'esmenta la quarta part. cosa que en l'activitat de retallar no es va fer.

 3x6-mat, Quandern 17, p18. Ed. Barcanova (2005)

Activitats d'aquest tipus ens obren les porten a una comprensió més completa de la idea de fracció. El problema està en que en la majoria de textos escolars els models gràfics utilitzats gairebé sempre són rectangles, quadrats o cercles dividits en parts d'igual forma, i no proposant divisions de mateixa superfície com per exemple els triangles de groc i vermell de la imatge anterior. Això implica que molts alumnes, i adults associïn que parts iguals vol dir necessàriament "mateixa forma" reducció malèvola del concepte de fracció com a part d'un objecte.