Triangles aritmètics (2). Multiplicació i divisió

En una entrada anterior havíem parlat dels triangles additius. En aquest post ens referirem als triangles multiplicatius. La idea és la mateixa: entendre una multiplicació no solament com una operació sinó com una càpsula que organitza tres nombres d'una manera determinada.

Quan construïm els triangles la relació és que els dos nombres de sota multiplicats donen el de dalt. En el cas de la imatge no només veiem que: 5x6=30 sinò també 6x5=30, 30:5=6 i 30:6=5

Si davant d'un triangle, amaguem el nombre que està al vèrtex de dalt (l'artefacte de la fotografia ens ajuda a amagar un dels vèrtex deixant els altres dos visibles) estem repassant les taules. Si en canvi amaguem un dels nombres que estan en els vèrtexs inferiors, la dificultat no canvia massa: podríem dir que a la vegada que aprenen les taules de multiplicar també aprenen les de dividir i es resalta la visió de la divisió com a inversa de la multiplicació.

Model de fitxa de pràctica

Tret de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova 

Triangles i problemes

Per altra banda, no s'ha de pensar solament com un material descontextualitzat, al contrari ens pot brindar una primera representació simbòlica d'un problema en context:

Aquí tenim un exemple de problemes que es poden considerar "de dividir".

Tret de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova 

Descomposicions factorials
Trobar la descomposició d'un nombre en producte de factors primers ve lligat directament amb aquesta idea

Es dedueix fàcilment que 60= 2x3x2x5, escrit ordenadament:  60= 2x2x3x5

L'activitat en el 3x6.Mat Ed.. Barcanova

Aquesta manera de descompondre ens acosta a un model de descomposició en arbre, que al nostre entendre dóna moltes més possibilitats, diferent del típic de la ratlleta. Podeu veure més informació al post més sobre l'arbre de factors.

Els triangles de l'1 al 100: una activitat "rica"

Quants triangles haurem de fer si volem obtenir tots el possibles entre 1 i 100? la resposta és: molts! Per tant el podem convertir en un treball col·laboratiu on cada grup d'alumnes, n'ha de realitzar uns quants, on es fan un fart de buscar divisors.

Un cop fets es col·loquen sobre la taula de manera que els triangles que tinguin el mateix nombre a la seva part superior es posen junts fent "escaleta" i de manera ordenada com es veu a la imatge

 

Després començarem a parlar-ne; què hi veieu? 

Veiem que hi ha nombres que, solament estan a un triangle: per exemple el 47, altres que en generen dos: el 46 i el 49, mentre que el 48 apareix a 5

Algunes preguntes a debatre o que sortiran en el debat

• Quins nombres són els que tenen un sol triangle?
• Per quina raó hi ha nombres que generen  un nombre de triangles parell, per exemple el 15 que en genera 2 (1/15 i 3/5) el 30 que en genera 4 (1/30, 2/15, 3/10 i 5/6) mentre que d'altres com el 68 en generen un nombre imparell (1/68, 2/34 i 4/17). Pot ser una investigació a proposar
• Quins nombres són els que generen més triangles? perquè?

Una observació final: si posem els triangles ordenats tal i com es veu a la figura, en el cas del 48, si ens fixem en els nombres assenyalats trobem:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 i 48 que són precisament els divisors de 48.

Aquesta troballa ens pot conduir a utilitzar el "mètode del mirall" quan vulguem buscar tots els divisors d'un nombre. Per exemple en el cas del 48, primer els escriurien
D(48) = (1,48, 2,24, 3,16, 4,12, 6,8) per després presentar-los de manera ordenada.

Segurament seria el  moment per trobar adonar-se'n  que els nombres que els nombres que tenen un nombre imparell de divisors són els nombres quadrats. Solament falta saber expressar amb certa correcció l'argumentació.

Materials
Podeu baixar-vos la col·lecció de triangles multiplicatius del 0 al 99. Si trobeu alguna errada o si detecteu que ens n'hem deixat algun, aviseu-nos! Així ho han fet l'Aina Gonzàlez i els seus "nins" i els estem molt agraïts per les correccions que ens han permet fer els seus comentaris.