Més activitats relacionades amb la graella del 100

La graella del 100 és un dels deu materials que considerem imprescindibles per treballar les matemàtiques en una escola. Vam parlar d'una activitat per a la seva construcció i de la possibilitat de fer amb ella dictats de nombres al post La graella del 100. I vam tornar a dedicar-li un post a Graella, applets i materialització. Avui el que volem proposar és una sèrie d'activitats per relacionar la graella amb les taules de multiplicar.

Primer hauriem de proposar als nostres alumnes que en una graella (triem la que va de l'1 al 100 per fixar idees però també es pot fer amb la que va del 0 al 99) pintin d'un mateix color tots els nombres que van a la taula del 6 (extesa fins a que el resultat sigui més gran que 100) o la del 2, del 3, o del 4... i que descriguin el patró que s'hi veu.

Aquest vídeo, encara que utilitza una orientació de la graella diferent a la que fem servir nosaltres habitualment, il·lustra quines són les cel·les que hem d'acolorir (les que tenen escrit un nombre en el video)

Multiplication Hundreds Chart Connection from Berkeley Everett on Vimeo.

Els podem proposar que relacionin els diferents patrons fent preguntes com: Quines relacions poden establir, per exemple, entre les taules del 4 i del 8? o entre les del 2, del 3 i del 6?

Font

Graella feta amb #ggb per representar patrons de @jfontg 

Després podem proposar-los una activitat com la que apareix al Quadern 10 de 3x6.mat Barba i Calvo (2005) Ed. Barcanova:

Creiem que una bona manera de continuar aquesta sèrie és la següent: 

Imaginem la graella del 100 construïda a base de peces d’un puzle, on n'hi ha de diferents formes. Quins nombres són els que formarien la peça dibuixada? De quantes maneres podries col·locar la peça perquè un dels nombres que formen la peça sigui el 58? etc.

Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 2,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 2?

Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 3,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 3?

Si la casella pintada correspon a un nombre de la taula del 8,
quines altres caselles corresponen a nombres de la taula del 8?

 Si la casella B correspon a un nombre de la taula del 5 y la casella A a un nombre de la taula del 9, quins nombres formarien les peces?

Quins nombres formarien les peces si sabem que en cada una hi ha dos nombres de la taula del 6 i un de la del 7?

Pot ser interessant complementar aquesta activitat amb la proposada pel projecte Nrich a Multiples Grid

En la línia d'aquest post val la pena esmentar l'activitat proposada al blog PinkMathematics:

http://pinkmathematics.blogspot.com.es/2014/05/weaving-three-times-table.html

Una seqüela a partir d'una piulada de @Veganmathbeagle: es pot analitzar com varien els patrons que dibuixen les taules sobre la graella quan modifiquem les graelles: posant els nombres de l'1 al 100 en zig zag o posant-los en espiral. Algunes taules (com la del 6) continuen dibuixant patrons unes altres (com la del 9), no.

Les barretes i l'Emma Castelnuovo (1)

El Meccano va ser un joc que la vella generació vàrem gaudir a la nostra infància. Aquest joc, a l'època de l'eclosió dels materials manipulatius va ser aprofitat pels didàctics de l'època per proposar unes classes de Matemàtiques més "actives".

Ens referim a les barretes de ferro, de diferents longituds, i plenes de forats, que apareixen a la imatge inferior. Van ser utilitzades per crear polígons manipulables i per poder experimentar o descobrir diferents propietats. Era el temps que es parlava de Geometria Dinàmica o també de "Geometria a través de les transformacions". Aquest article de J. A. Mora és un exemple del treball amb barretes.

Tret de http://en.wikipedia.org/wiki/Meccano

Les barretes aplicades a construir polígons i l'Emma Castelnuovo

Identificar les barretes amb l'Emma Castelnouvo està plenament justificat ja que en el seu llibre (de text) "La Geometria" el primer que fa és estudiar els triangles a partir de la utilització de barretes, que en el seu cas no són de Meccano sinó d'un material genial, anomenat "Construiamo la Geometria" (Firenze, La Nuova Italia 1963). Aquesta és la llista del seu contingut:

No sabem de qui és el disseny (creiem que és de l'Emma, però si algú ho sap del cert , que ens ho faci saber). Aquest material va molt més enllà del Meccano, i en donem algunes raons:

• Les barretes (encaixables fent pressió) són de diferent color segons la seva longitud, el que permet distingir fàcilment quins costats tenen la mateixa longitud i quins no.
• Incorpora gomes de manera que es puguin construir polígons, posant les barretes con a diagonals i les gomes representant els costats (o les barretes fent de costats i les gomes com a diagonals)
• Incorpora angles, el que permet plantejar construccions no solament jugant amb la longitud dels costats sinó també amb els seus angles.

Aquest material estava, fa molts anys, a l'aula de material de l'Escola de Magisteri de la UAB (actual Laboratori) fins que algú va decidir que se l'emportava, una pena.

Els materials d'ara

Proyecto Sur (n'hi ha d'altres marques) distribueix una versió en plàstic en la que solament hi ha les barretes i els encaixos.

Si volem disposar de les mateixes oportunitats que oferia el material original, cal completar-lo amb uns angles de fabricació artesanal (com els que es veuen a les fotos anteriors) i gomes elàstiques.

Uns quants exemples d'activitats
Presentem una tria d'activitats que hem realitzat a les aules. Algunes directament importades del llibre de la Castelnuvo, d'altres d'algun article, i també algunes que hem reinventat.

Indeformabilitat i determinació d'un polígon
Es tracta de proposar als alumnes construir un triangle i un quadrilàter amb les barretes i veure que el triangle es manté indeformable i el quadrilàter no. Una activitat molt interessant de comparació que ens obre forces possibilitats:

• La majoria de prestatgeries es recolzen en escaires i no en formes de més quantitat de costats, per què?
• Copiar un quadrilàter dibuixat en un altre lloc de manera que sigui exactament igual. Quines mides cal prendre?

Estudi d'una figura i geometria dinàmica

Les diagonals estan representades per gomes

La idea de Geometria Dinàmica defensada per Catelnuovo, es basa en treballar les propietats de les figures identificant quines coses canvien i quines no quan movem la figura transformant-la en una altra. Per exemple, podem proposar als alumnes partir d'un rectangle i passar per diferents paral·lelograms fins a arribar a no tenir un quadrilàter (tindriem "un segment" que es forma en la superposició de les barretes: la vermella i groga superior amb les inferiors).

La Castelnuovo comenta que aquesta és una bona oportunitat per conjecturar què passa amb la suma dels angles d'un paral·lelogram (quan els alumnes no sabem que passa amb la suma dels angles d'un quadrilàter). En la posició inicial (rectangle) la suma dels angles dóna 360º ja que els quatre angles són rectes, si vaig acostant dos vèrtexs oposats d'aquesta figura fins a no tenir quadrilàter també la suma dóna 360º perquè dos angles són de 0º i els altres dos són angles de 180º. Què passarà amb les altres posicions?

Suma dels angles d'un triangle
Castelnuovo treballa molt sobre aquesta idea de arribar "al límit" per intuir que si en una transformació en començar i acabar es dóna el mateix resultat aleshores podria ser certa la generalització. Ho explica perfectament al capítol 2 del llibre "El Material para la enseñanza de las Matemáticas" de la editorial Aguilar.

Per treballar que la suma dels angles interiors d'un triangle és 180º parteix d'una justificació clàssica (i manipulativa!) i en fa una crítica molt clarificadora de la seva manera de pensar.

Castelnuovo escriu: "En esta ocasión se ha hecho uso de un material (la cartulina) y la ejecución de algunos pliegues pero el proceso no es espontáneo en absoluto, puesto que se precisan las sugestiones del maestro"

La seva proposta passa per l'ús d'un "artefacte" consistent en una goma que passa per dos claus (punts A i B) clavats en una fusta i que es estirada des del vèrtex (C) en direcció perpendicular a la base.

No reproduïm aquí tot el text que acompanya a la imatge anterior, en farem un petit resum de les observacions que poden sorgir per part dels alumnes.

• La base no canvia.
• Tots els triangles que surten són isòsceles i n'hi ha un de rectangle. 
• L'angle C quan el vèrtex s'acosta a la base es fa gran, els angles A i B es fan petits, i al revés si tibem cap a dalt: 
• C s'acosta molt a 180º a mesura que s'acosta a la base.
• Si anem amunt A i B creixen i es van acostant a molt a 90º. Si tiréssim molt amunt els angles A i B estarien molt a prop dels 90º. Entre tos dos 180º

Si en els dos casos extrems la suma és molt a prop de 180º, podríem pensar que sempre és 180º? Així acaba la presentació. No us podeu perdre les reflexions posteriors que fa en el llibre sobre aquest tipus de pensament i sobre la seva decisió d'apostar per aquesta manera de motivar a les conjectures malgrat que les generalitzacions que provoca no sempre són certes. Ho trobareu clicant a "més informació" al final del post. 

Jugar a definicions i propietats

Aquí la proposta consisteix en construir quadrilàters diferents posant barretes com a diagonals i classificar-los ens aboca a discussions molt interessants. Què pot passar?

• Que les diagonals tinguin la mateixa longitud o no
• Que els angles que formen siguin perpendiculars o no
• Que el punt de tall sigui 
• el punt mig de les dues barretes
• el punt mig d'una d'elles però no de l'altra
• no sigui el punt mig de cap de les dues diagonals

Exemple d'un cas en el que veiem que els rombes són un cas particulars dels romboides (o paral·lelogams en general) i identifiquem un paral·lelogram com a una figura que les seves diagonals es troben en el punt mig

Després de la classificació podem anar cap a definicions, en alguns casos, alternatives a les que presentem habitualment:

• Un quadrat és un rombe que te les diagonals iguals
• Un rectangle és un paral·lelogram de diagonals iguals
• Els quadrats són rectangles que tenen les diagonals perpendiculars

I d'aquí podem conduir la classe cap a discussions dels mateixos alumnes i la cerca d'arguments o contraexemples. Per exemple, el Pau ha dit que un rectangle és un quadrilàter amb les diagonals iguals, podries construir un quadrilàter amb les diagonals iguals que no sigui un rectangle?

Del treball amb barretes a les construccions geomètriques
Les barretes són un bon suport per entendre l'ús del compàs. 

 

Com es construeix un triangle a partir de les mides dels tres costats? Si posem un llapis al forat i dibuixem el moviment que fan les barretes per trobar-se una amb l'altra, així com la base del triangle i traiem les barretes, "apareix" el dibuix. L'exemple de la dreta de la imatge superior, tret del llibre de la Castelnuovo, mostra el cas en el que el triangle no es pot construir. Podem fem redactar als alumnes quina condició han de complir els tres costats d'un triangles perquè es pugui construir... encara que aquesta empresa no es tant fàcil com pot semblar.

Un desig final

El llibre de la Castelnuovo va ser publicat en català, a iniciativa del grup Periòdica Pura*, per la Editorial Ketres. Ara està descatalogat... i és una pena. Es podria fer alguna cosa per recuperar-lo, com per exemple penjar-lo (legalment) a la xarxa i així proporcionar als docents un gran llibre.

* Periòdica Pura va ser un grup de treball de Rosa Sensat format per Claudi Alsina, Carme Burquès, David Barba, Isabel Batlle, Joaquim Giménez i Josep Partagàs.

El puzle de la graella del 100 (2)

En el post anterior "el puzle de la graella del 100" ens havíem quedat aquí: un cop completat el puzle ens vàrem adonar que faltava una peça i la mestra, l'Ana, va proposar als alumnes que construïssin la peça faltant, per completar-lo. 

Al dia següent, a la classe, es realitza la activitat de construcció de la peça. En una taula central hi ha el problema "plantejat". Dibuixar una peça que ompli el forat. Es treballa en grups, cadascun a la seva taula, i els alumnes es desplacen a la taula central quan necessiten recollir dades.

1.Agafant dades necessàries per omplir el forat. 2. Dibuixant la peça sobre paper utilitzant els instruments necessaris. 3. La peça dibuixada.

Ara cal posar els nombres que hi falten

Encara que de vegades no acaba de sortir el que preteníem. Aquest és un exemple. Cal dir que hi van haver altres errades (que no hem reproduït  al blog) com: col·locar els nombres correctament però girats 90º en relació als altres, omplir la peça amb els nombres 20, 43, 44 i 54, errades de precisió, com es veu a l'imatge inferior etc.

Uiii! per poc. Encara que l'instrument de la mesura que utilitza la nena no sabem si serà del tot útil.

L'anècdota

No hi ha res que ofereixi estratègies més imprevistes que deixar que els alumnes es "barallin" amb els reptes utilitzant els seus recursos. Es fantàstic deixar fer, però també portar a classe discussions sobre quines estratègies són més eficients, quines poden portar a més errades, etc. Expliquem la de la nena de la última imatge:

1. Obra els dits per pendre la distància que li fa falta
2. Va cap a la seva taula, en arribar xerra amb el company que li fa una pregunta, després es mira els dits i se n'adona que la mida "ha crescut"
3. Torna a la taula central a prendre la mida de nou, i... torna corrent! amb els dits marcant la nova distància. Es veu que la velocitat es inversament proporcional a la possibilitat d'errada
4. Posa "la distància" sobre una línia recta que els seus companys tenen dibuixada sobre un paper
5. El seu company li pren la mida de la distància entre dits amb una regla, no sense haver-li fet canviar la inclinació de la mà tres o quatre cops, i diu: "8 centímetres"!

Aquesta és una anècdota, però és que si entrem a les diferents maners de prendre mides dels alumnes quan la situació no és "academitzant" podríem omplir dos posts més. El millor és que ho proveu vosaltres, segur que n'apareixeran moltes a la classe, si els deixem fer.
La pregunta important a fer-nos és: com hem d'actuar perquè la propera vegada cada alumne arribi un pas més enllà del que ha fet avui? si "manem molt" malament! però hem d'intervenir per a que millorin, oi? Com? Aquest és el repte.

Els criteris de divisibilitat

Els criteris de divisibilitat són simplement tècniques per saber si un nombre és divisible entre un altre sense necessitat de fer la divisió.

• els criteris de divisibilitat entre 2, 5 i 10 són descoberts de manera natural per nostres alumnes després d'haver estudiat les taules d'aquests nombres
• els criteris de divisibilitat entre 3, 4, 8  i 9 es poden presentar a classe de manera transparent (o sigui, entenen per què funcionen). 

Aquí, per exemple, trobareu un text on s'explica per què funciona el conegut criteri de divisibilitat entre 9 que afirma que un nombre és divisble entre 9 si la suma de la seves xifres ho és.
El document al que fem esment és part del curs “Desarrollo de las competencias aritméticas” que vam desenvolupar dins del marc del Master on-line eMeC de la Universidad de Puerto Rico a l'any 2008. El curs estava format per dotze mòduls i a l'onzè, titulat Estudio de la relación entre dos números a partir del resto de su división vam dedicar-nos a estudiar els criteris de divisibilitat.
 

Si volem saber si 4536 és divisible entre 4 podem inspirar-nos en el repartiment de 4536 pesos (o alguna moneda en que hagi bitllets de mil) entre 4 persones. 

4536 és divisible entre 4 perquè 36 ho és.

Tenim alguns bitllets de $1000 i cadascun d'ells es pot repartir entre 4 persones sense que sobri cap peso. D'igual manera, cada bitllet de $100 es pot repartir entre 4 persones sense que sobri cap peso.  Per saber si la quantitat inicial es  podia repartir exactament entre 4 persones basta veure si els diners que queden entre els bitllets de 10 i les monedes és divisible entre 4. Resumint, per saber si un nombre és divisible entre 4 n'hi ha prou amb esbrinar si és divisible entre 4 el nombre format per les dues últimes xifres del nombre inicial.

Observeu que aquest raonament es pot extendre per justificar que un criteri de divisibilitat entre 8 pot ser el que afirma que un nombre és divisble entre 8 si el nombre format per les seves tres últimes xifres ho és.

Aquí, trobareu un text on s'aplica un argument anàleg a l'utilitzat per justificar el criteri de divisibilitat entre 9 però ara aplicat al criteri que afirma que un nombre és divisble entre 3 si la suma de la seves xifres ho és.

La idea d'utilitzar diners per justificar aquests criteris prové del fantàstic llibre Children Learn Mathematics de Marja van den Heuvel-Panhuizen. També trobem interessant la idea d'utilitzar blocs multibase tal com es proposa al blog Orca.

• un criteri de divisibilitat entre 6 surt com a combinació del criteris de divisibilitat de 2 i de 3

• els criteris de divisibilitat no són únics, pot haver-ne més d'un. Per exemple, a l'article "Algoritmos antiguos de cálculo" (Barba & Calvo, 2012, Cuadernos de pedagogía, Nº 421, págs. 62-65) vam parlar de dos algorismes associats a criteris de divisibilitat entre 7 (val a comentar que aquest cas no és habitual trobar-lo en llibres de text i fins i tot, hi ha vegades que diuen que “no existeix” un criteri de divisibilitat per a aquest nombre).   

Un algorisme que al llibre History of the Theory of Numbers (Dickson, 1920) es diu que ja apareix al Talmud (siglo V):     

Un algorisme que segons la mateixa font va ser presentat per Tucker al 1889:     

"La justificación del primer algoritmo se basa en el hecho que el número original se puede escribir como 100n+m y el criterio afirma que éste es divisible entre 7 si y sólo si 2n+m lo es (ya que estos dos números difieren en un múltiplo de 7: 98n). La justificación del segundo se basa en el hecho que el número original se puede escribir como 10n+m y el criterio afirma que éste es divisible entre 7 si y sólo si n-2m lo es (ya que la diferencia entre 10n+m y el triple de n-2m es un múltiplo de 7: 7n+7m).  Comparando ambos algoritmos, se observa que el segundo implica mayor número de pasos pero que las duplicaciones involucradas son más sencillas por ser siempre de números menores que 10. Por otro lado, el primero no sólo dice si el número es divisible entre 7 sino que en caso de no serlo, el residuo del valor de entrada al ser dividido entre 7 coincide con el residuo del valor de salida del algoritmo al ser dividido entre 7".

Trobareu algun comentari més sobre aquests dos criteris aquí (l'enllaç torna a referirse al material de Puerto Rico abans esmentat).

• per suposat que existeixen criteris de divisibilitat per a altres nombres (per exemple, el criteri de divisibilitat entre 25 diu que un nombre és divisible entre 25 si acaba en 25, 50, 75 o 00) però l'objectiu no és tenir un llistat complet de tots els criteris de divisibilitat existents per treballar a classe (objectiu inassolible, per cert) sinó estudiar aquest criteris com a exemples d'algorismes, com a exemples del poder abreujador del raonament matemàtic, com a exemple de la importància de fer una matemàtica transparent en les nostres aules de classe.

El puzle de la graella del 100

Us presentem una activitat d'aquelles que surten "per casualitat" (si es que aquestes coses surten per casualitat) feta a primer curs de l'Escola Ponent de Terrassa per la mestra Ana Cerezo. A partir de les peces del "dictat de graella" que apareix en el post graella del 100 ens vàrem plantejar ampliar-les i crear un puzle de mida gegant per a treballar-lo col·lectivament. Mai ens hauríem pensat que l'activitat sortís tant rodona!

Les peces estàven enganxades a la pissarra i els alumnes les havien de demanar dient els noms dels nombres que la composaven. 

Quina peça triem per començar?uns moments de conversa i la primera peça ja estava col·locada al terra, lògicament va ser triada la que comença per 1.

Després en Pablo ha triat una peça que "lligui" amb la primera i la col·loca al lloc adequat

 Un cop completada la primera fila i algunes peces més que hi connecten ens trobem en un primer problema: la peça triada no te connexió amb les anteriors

• Nota: la peça de color negre té una explicació, el problema va estar en que la fotocopiadores fan males passades amb segons quins colors, en aquest cas el lila.De totes maneres els nombres s'dentificàven fàcilment

La Laura pensa on col·locar la peça "del 87" La posa just a sota dels "trentes" però no ho té clar.

Discutint sobre com col·locar les següents, canviant la de la Laura,  fins arribar a posar-les aproximadament on toquen

Ara ja la rotllana s'acosta al problema i treballen junts, la mestra modera, pregunta, ordena ...

Cal mirar-s'ho de lluny

Arribem al final... i ens trobem amb un problema: ens falta una peça!

Imprevistos i bons mestres

Al final va sorgir un problema. En fer les fotocòpies ens vàrem descuidar de fotocopiar una peça!. Aquí va sortir la fusta de mestra de l'Anna. Ràpidament va atacar amb una nova pregunta: encara que no tinguem la peça em podríeu dir quin nombres van aquí?

Breu conversa i arreglem el desastre anotant els nombres que hi falte. Fi del puzle

La cosa no es va acabar aquí, ja que aquesta anècdota va donar pas a una proposta nova que explicarem en un proper post que completarà aquest "La graella del 100 (2) fabriquem la peça"

Reflexió final

Analitzant la feina amb l'Anna la valoració és positiva, l'objectiu principal de la situació és construir la taula en un "ambient de resolució de problemes"  on els alumnes prenent  decisions triant una peça que els fos més fàcil de col·locar.Estimant on va col·locada més o aproximadament una peça que no lliga amb les anteriors. Reconeixent i aplicant patrons etc.

Però per l'altra banda i de manera amagada no podem passar per alt el fantàstic treball paral·lel de exercitació d'habilitats present cada cop que han de col·locar una peça

• Comptar endavant i endarrere d'un en un
• Comptar endavant i endarrere de deu  en deu. 
• Següent i anterior. 
• Desena anterior i següent

Han fet molta més exercitació d'aquestes habilitats en una classe que en uns quants fulls de llibre o quadern de càlcul. Potser no és ben bé "pràctica productiva" però s'hi acosta molt.

Al blog d'applets del PuntMat, al post sobre la Graella del 100, fem esment d'un applet que recrea aquest puzle.

Suggeriment: si proposeu el puzle com a tasca individual per fer amb peces de paper i teniu un parell d'alumnes per als quals la tasca resulta massa fàcil, us recomanem lliurar-los les peces de dos puzles diferents barrejades en un mateix sobre. A les següents imatges es veuen dues situacions quan ho vam proposar en un taller per a mestres (òbviament per a nens les peces han de ser més grans)

Els alumnes de 1r de @Montagutescola també van fer servir aquest puzle i els seus mestres han compartit amb nosaltres unes precioses fotografies:

MontagutEscola 1r Muntant puzzle del quadre numèric ;) @PuntMat pic.twitter.com/K8fWJsUFJX 27/1/17 13:14

Els primers nombres primers

Des del moment en  que a un alumne li podem proposar la tasca de dibuixar tots els rectangles possibles que cobreixin 23, 24 o 25 quadrets d'un paper quadriculat, ja podem introduir els conceptes de nombres primers, compostos i quadrats. Al post Nombres primers, compostos i quadrats vam veure que després d'haver introduït aquests noms, podem visualitzar-los de molt variades maneres.

Però a més de saber identificar els nombres primers creiem en la importància de que els alumnes memoritzin alguns d'ells per poder avançar en tasques posteriors sense haver d'aturar-se a verificar si tenen o no més de dos divisors. Però creiem que aquesta memorització pot desenvolupar-se en un ambient de resolució de problemes. 

En aquest post volem comentar alguns exemples d'activitats que al nostre entendre permeten als alumnes familiaritzar-se amb els primers nombres primers. Es tracta d'activitats que els alumnes poden resoldre simplement coneguent els 30 nombres primers més petits que 120, però a les que hem afegit alguns comentaris d'aprofundiment, prescindibles, per si algun mestre vol treure més suc d'aquests problemes que en alguns casos tenen un rerefons matemàticament rellevant.

1) Primers i parells: 
Escriu cada nombre parell entre 2 i 100 com a suma de dos nombres primers. Hi ha algun nombre senar que es pugui escriure com a suma de dos nombres primers? 

Solució: Aquí trobareu una calculadora que dóna totes les descomposcions possibles d'un nombre parell (fins a 10000) com a suma de dos primers. Hi ha alguns nombres senars que es poden escriure com a suma de dos nombres primers (ex: 21=19+2).

Comentari d'aprofundiment:  La conjectura de Goldbach diu que tots els nombres parells són suma de dos primers, encara que això no ha estat demostrat encara sí que ha estat verificat per a valors molt més grans que 100, per tant, la primera part de la tasca no hauria d'oferir cap inconvenient a qui conegui els primers nombres primers. Aquest applet permet realitzar la tasca amb correcció simultània. 

La segona part de la tasca reclama considerar que l'única manera d'obtenir un resultat senar en sumar dos nombres és quan un d'aquests dos nombre és parell i l'altre senar però atenent a que aquests dos nombres han de ser primers, el parell només pot ser el 2. Per tant, sí que hi ha nombres senars que es poden escriure com a suma de dos nombres primers però no tots els nombres senars ho permeten, únicament els de la forma p+2, sent p primer (5, 7, 9, 13, 15, ...).

Si ampliem la tasca més enllà del 100 podem focalitzar en el nombre 210 que la gent de Numberphile considera "very Goldbachy" atenent a les moltíssimes maneres en que es pot descomposar com a suma de dos nombres primers:

https://youtu.be/PEMIxDjSRTQ

2) Primers i quadrats:
Quin és el primer nombre quadrat que no es pot expressar com a suma de dos primers? Quins nombres primers de dues xifres no es poden expressar com a suma de dos quadrats? Font: Two primes makes one square

Solució: 121 és el primer quadrat que no es pot descompondre com a suma de dos nombres primers. Els nombres primers de dues xifres que no es poden escriure com a suma de dos quadrats són 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79 i 83. 

Comentari d'aprofundiment:  Per la conjectura de Goldbach ja esmentada se sap que si hi ha algun nombre quadrat que no es pugui expressar com a suma de dos primers ha de ser un nombre senar. Efectivament, els nombres quadrats per sota de 400 que no es poden escriure d'aquesta manera són el 121 i el 289 però n'hi ha molts més per sobre del 400: 232, 252, 312, 392, 412, etc.

En la segona part de la tasca es demana la relació inversa: ara el resultat ha de ser primer i els sumands quadrats. Comencem experimentant amb els nombres primers fins al 71, pintem de verd els primers que podem descompondre com a suma de dos quadrats (per exemple, 41=16+25) i de vermell els que no ho permeten:

Sorprèn veure com es distribueixen les cel·les verds i vermelles, oi? En realitat això és el que afirma el Teorema de la suma de dos quadrats Però el Teorema de Legendre ens permet afirmar que alguns primers que no es poden descompondre com a suma de dos quadrats es podran descompondre com a suma de tres quadrats (per exemple: 3, 11, 19,  43, 59, 67... els que no tenen residu 7 en dividir-los entre 8).

3) Primers i múltiples de 6:
Quin és el primer múltiple de 6 que no té cap nombre primer com a veí?

Solució: El 6 té com a veí al 7, el 12 al 11 i al 13, el 18 al 17 i al 19.... i així podem continuar fins al 120 que és el primer múltiple de 6 que té com a veïns dos nombres compostos.

Comentari d'aprofundiment: Val a dir tots els nombres primers (exceptuant 2) són veïns d'un múltiple de 6. Atenent que tots els nombres primers (exceptuant 2) són senars, són de la forma 6n+1, 6n+3 o 6n-1 però com que els de la forma 6n+3 són múltiples de 3 està clar que tots els nombres primers (exceptuant 2) són veïns de la forma 6n+1 o 6n-1.

4) Primers i potències de base 2:
De Polignac creia que tots els nombres senars a partir del 3 es podien escriure com a la suma d’una potència de 2 i un nombre primer. Organitzeu-vos per confirmar que aquesta creença per a tots els senars més petits que 120 i per trobar un exemple que mostri que estava equivocat.

Solució: El 127 és el primer d'infinits contraexemples (podeu trobar altres aquí): 127=1+126 i 126 és parell, 127=2+125 i 125 és múltiple de 5, 127=4+123 i 123 és múltiple de 3, 127=8+119 i 119 és múltiple de 7, 127=16+111 i 111 és múltiple de 3, 127=32+95 i 95 és múltiple de 5 i 127=64+63 i 63 és múltiiple de 3.

Quina és la primera potència de 2 per a la qual la seva distància al nombre 45 deixa de ser un nombre primer?

Solució: La primera és 1024, totes les distàncies anteriors són nombres primers: diferència entre 2 i 45 és 43, entre 4 i 45 és 41, entre 8 i 45 és 37, entre 16 i 45 és 29, entre 32 i 45 és 13, entre 64 i 45 és 19, entre 128 i 45 és 83, entre 256 i 45 és 211 i entre 512 i 45 és 467. Però la distància entre 1024 i 45 és 979 que és divisible entre 11 i 89. 

5) Primers en espiral:
Continua l'espiral numèrica que apareix a la imatge i pinta les cel·les on apareixen nombres primers. Què hi observes?

Solució: És molt interessant observar que a mesura que anem escrivint més i més nombres les cel·les alineades amb la diagonal que passa pels nombres 17, 11 i 13 se va completant amb altres nombres que són primers. En realitat el 121 és el primer nombre que cau en aquesta diagonal que no és primer.

Comentari d'aprofundiment: Començant amb altres nombres primers passa el mateix. A la següent imatge es veu el cas de l'espiral que comença amb el nombre 17 i que no és fins al nombre 289 que no es troba un nombre compost a la diagonal

És totalment desaconsellable proposar-lo als nostres alumnes començant des del 41 ja que no és fins al 1681 que no apareix el primer nombre compost a la diagonal.

https://mathsbot.com/activities/ulamSpiral 

En aquest sentit val la pena veure el següent vídeo de Numberphile en que es parla de l'espiral d'Ulam:

6) Collar de perles primeres

Reordena els nombres de l'1 al 18 perquè la suma de dos nombres adjacents sigui un nombre primer (Font: @Transum)

Solució: 

Comentari final:

Al blog d'applets tenim una entrada amb applets per treballar la identificació dels primers nombres primers.