Que parlin ells!. Fraccions

Entretenir-se amb "nombres a l'abast" (nombres petits) és, al nostre entendre, una bona decisió en el treball de tot el currículum d'aritmètica.

Però no sempre ho fem així, per exemple, en treballar les quatre regles (+, -, x, :) passem tan ràpid com ens és possible a plantejar càlculs d'operacions algoritmitzades amb nombres que no es poden manipular mentalment. I també ho fem uns anys més tard quan comencem a treballar amb operacions amb fraccions, passant a "reduir a comú denominador" abans d'haver treballat prou el concepte de suma  entre parts d'un objecte.

Aprofitar el càlcul aproximat

Posats ja en el treball amb fraccions en l'àmbit dels nombres a l'abast, poden donar molt més joc situacions on el requeriment demanat sigui un càlcul aproximat enlloc d'un d'exacte. Per exemple podem proposar i discutir col·lectivament situacions que impliquin sumes tipus 1/4+2/3, o altres de semblants, però si ens posem en el camp del càlcul aproximat, la situació a discutir es converteix en una d'aquest tipus.

El plantejament de la pregunta, si la conduïm bé, pot portar a respostes diferents molt més riques que la simple suma.

Que parlin ells!

Amb aquest nom inaugurem avui una nova etiqueta en aquest bloc. Aquest va ser el nom d'un curs fet a l'Escola d'Estiu de Rosa Sensat del 2011 en el que es presentaven i discutien tipus d'activitats que generin discussió, no solament en la part inicial de la classe, sinó en el moment d'explicar i justificar la seva resposta, entrant de ple en la competència comunicativa. L'activitat anterior n'és un exemple.

Algunes respostes
Fem aquí una recreació de discussió mestra/alumnes en la part final de l'activitat.

• alumne: És més petit que 1... ja que 1/4 és més petit que 1/3
• mestra: Explica'm perquè 1/3 és més gran que 1/4

Una primera resposta, segurament la més abstracta és del tipus "1/4 és més petit que 1/3 ja que si reparteixo una pizza en quatre parts  els trossos que sortiran són més petits que si la divideixo entre tres".
Pero en poden sortir de molt diferents com per exemple la següent: "Ho he comptat sobre el rellotge. Serà més petit que 1. He pintat, 2/3 girant cap a la dreta sortint de les 12 i desprès he pintat 1/4 girant cap a l'esquerra l'altre tros de pizza (1/4) i no arriba a completar tot el rellotge".

 Aquest no és el dibuix fet per l'alumne, està fet a partir d'un programa al que pots accedir aquí

Respostes i models

Aquest tipus de respostes, com és lògic, solament se generen si hem utilitzat com a model el rellotge  El rellotge és un model útil per treballar fraccions ja que ens permet d'entrada treballar fraccions de denominador 2, 3, 4 i 6.

Cal tenir en compte  que, a més del  del concepte de fracció com a part d'un objecte, també hi ha el de part d'una col·lecció o d'un nombre.

Exemples

• Han passat les 2/3 parts del dia. Quina hora és? 
• Quina fracció de dia són 20 minuts?
• Falta 1/6 de dia per que siguin les 12. Quina hora és? 

Us animen a convertir activitats de classe en motiu de diàleg. Ens consta que hi ha força gent que ja ho fa. Si alguna persona d'aquestes és seguidora del nostre bloc, li demanem que ens enviï el que ha fet i així ho podem fer públic.

Joc del Geoplà: definicions i propietats

Repassant, un cop més, una d'aquelles carpetes antigues plenes de fotocòpies per veure què llences, què escaneges o, com normalment passa, què tornes a deixar a la mateixa carpeta fins la propera revisió, hem redescobert aquest joc, proposat per Romberg, Hervey, Moser i Montgomery al 1976.

La proposta és jugar en grups de 2 o 3 alumnes sobre un geoplà isomètric, encara que també es pot realitzar sobre el més conegut de malla quadrada.

Material necessari

• Un geoplà i gomes elàstiques 
• Dos daus
• Paper i llapis per anar apuntant els punts de cada jugador

Instruccions

• Col·loca la goma al centre del geoplà formant un paral·lelogram

• Quan sigui el teu torn tira els daus: els dos nombres que surten et donaran les coordenades de la cel·la (veure figura) que porta les condicions que ha de complir la nova figura que has de construir, partint de la que està en aquell moment al geoplà. Has d'intentar passar d'una a l'altre canviant el menor nombre de vèrtexs. Si la figura que hi ha al geoplà ja compleix les condicions, també cal que la canviïs.

Puntuació

• Quatre punts si solament mous un vèrtex
• Tres punts si en mous dos
• Dos punts si en mous tres
• Un punt si en mous quatre (equival a treure la goma i posar-la de nou)

En acabar, s'anoten els punts i el torn passa al jugador següent. El nombre de voltes aconsellat és de 5, segons els autors.

Comentaris

• Es pot proposar aquest joc per fer-ho amb tot el grup projectant un geoplà virtual (ja sigui isomètric o de malla quadrada) com els que es poden trobar al NLVM
• Pot ser aconsellable anomenar un secretari o secretària que reculli el procés del joc dibuixant la figura inicial, anotant la condició que ha de complir la nova figura, dibuixant la figura obtinguda, etc. D'aquesta manera podem seguir el seu treball. Per poder fer això val la pena disposar de paper de geoplà. Us el podeu baixar des de aquí: full geoplà quadriculat o full geoplà isomètric.
• Aquesta activitat pot inspirar-vos per proposar petits reptes als vostres alumnes, en que partint d'una figura sobre el geoplà han de passar a una altra que compleixi certes condicions, movent la menor quantitat possible de vèrtexs i justificant que la figura obtinguda realment les compleix. Una variant podria ser canviant la consigna "Fes-ho movent la menor quantitat possible de vèrtexs" per aquesta altra: "Fes-ho movent només un vèrtex, movent-ne dos i movent-ne tres. Justifica en cas que no sigui possible aconseguir la figura en alguna d'aquestes condicions".
• Encara que la proposta original és per a geoplans isomètrics també es pot fer amb geoplans de trama quadrada tal com es veu a la imatge

Trobareu més informació i activitats sobre Geoplà a l'Espai Jordi Esteve, a l'apartat de "geoplans".

Un algorisme més transparent per calcular MCD i mcm

No creiem que hagi cap professor de matemàtiques de secundària que no hagi escoltat aquesta pregunta: "Profe, com era que es calculava el màxim comú divisor: fent "comuns i no comuns" al més petit exponent o a l'inrevés?". Un dels motius d'aquesta pregunta és que l'alumne no té on recolzar la seva memòria perquè va aprendre de memòria un procediment de càlcul del MCD i mcm que no entén perquè funciona.

L'applet Árbol de Factores de la National Library of Virtual Manipulatives dóna l'oportunitat de fer una presentació d'aquest procediment de càlcul de MCD i mcm molt més transparent. Prement el botó "Instrucciones" trobareu informació per entendre com funciona l'applet.

Què s'ha de fer per calcular el MCD?

Tots els divisors de 150 s'obtenen combinant, mitjançant multiplicacions, els factors primers de 150 (per ex: 2·5=10, 5·5·3=75, etc) i els divisors de 66 s'obtenen combinant els factors primers de 66. Per tant, per trobar divisors als dos nombres simultàniament s'han de combinar els factors primers que es repeteixin en la descomposició d'aquests dos nombres, en aquest cas: 2 i 3. Per tant el més gran dels divisors comuns, el MCD és 2·3 (el producte dels nombres que apareixen en la part verd del gràfic).

Què s'ha de fer per calcular el mcm?
Tots els múltiples de 150 han de tenir en la seva descomposició un 2, un 3 i dos 5 i tots els múltiples de 66 han de tenir en la seva descomposició un 2, un 3 i un 11. Per ser múltiple dels dos nombres, per tant, en la seva descomposició ha de tenir un 2, un 3, dos 5 i un 11 i el producte d'aquests nombres és el menor de tots els múltiples (o sigui, el mcm és el producte dels nombres que apareixen en la part verd, la blava i la groga).

A més de donar llum sobre perquè fem el que fem per calcular el MCD i el mcm de dos nombres, aquest applet dóna un model perquè l'alumne comuniqui com fa el càlcul. La següent és una fotografia de la llibreta d'una alumna que respon així una pregunta en un control de divisibilitat després d'haver après a fer el càlcul fent servir l'applet.

En aquest post, a l'igual que vam fer en un post previ: Resolució d'equacions amb "cover up", volem destacar la importància de treballar explícitament l’enregistrament escrit per part dels alumnes del treball realitzat amb l'ordinador.

Minilliçons i estratègies

Minilliçons a classe

La idea de minilliçons ens ve d'un excel·lent article de Catherin Towney Fosnot i Maarten Dolk on, entre altres reflexions sobre estratègies i models, presenta "tires" d'operacions que anomena minilliçons, on per calcular el resultat d'una operació els alumnes es recolzen en el resultat d'una d'anterior ja coneguda. Seria una mostra més de la dinàmica de "fets coneguts-fets derivats" ja esmentada en altres posts: Applets que fan pensar... si els treballes i Rapidesa d'operacions i paper de les estratègies.

A l'esquerra de la pissarra es veu una d'aquestes minilliçons: un seguit d'operacions en columna on algunes serveixen de fet coneguts i les següents cal deduir-les treballant així estratègies bàsiques. D'aquesta manera es donen eines als alumnes per deixar de calcular comptant per passar a calcular sense comptar.

Gestió de l'activitat i fites amagades

La figura mostra la llista operacions esmentades anteriorment, triades i ordenades per generar la discussió sobre les habilitats o estratègies que volem treballar amb els alumnes

8+2= 10  És un fet conegut.

8+5= 13 A partir de saber que 8+2 fan 10, només cal afegir- els tres que falten del 5: 8+2+3= 13. és el que es coneix com "pas del 10".

18+2= 20 Resolta mentalment amb facilitat

18+5= 23 A partir de 18+2  fent el salt del 10 (en aquest cas el 20)

28 + 5= 33 A partir de 8+5 (resolt anteriorment)  afegint 20 o de 18 + 5 afegint 10. Implica relacionar el canvi en un dels sumands amb el canvi en el resultat.

Treball amb models: la línia numèrica buida (LNB)

Si bé aquestes operacions, a la llarga gairebé s'automatitzen, cal construir-les treballant amb context o amb models com és el cas de la línia numèrica. Intentar-ho treballant solament a nivell simbòlic pot deixar una part de la classe a mig camí. Així, per exemple, en el cas de la suma 15+8 al principi els  alumnes necessitaran utilitzar la LNB

Us recomanem la lectura de l'article (en anglès) o si més no una ullada als diferents exemples que posa i que abasta el treball de forces estratègies com per exemple: quasi dobles (26+26 per exemple partint de 25+25), intercanvi de dígits, estratègia de descomposició, etc.

Gestió a classe: la nostra proposta

Hi ha tres moments diferents en el treball amb aquestes minilliçons: la presentació i discussió col·lectiva, el treball entre iguals i l'avaluació. Les primeres propostes caldria treballar-les a nivell col·lectiu. Cal que  entenguin el que els demanem, que no és simplement que calculin la operació de sota, sinó que dedueixin el resultat de la segona operació a partir de l'anàlisi  relació amb la primera. És per aquesta raó que apareix la pregunta: "per què?" a sota. Donar solament el resultat no dóna cap informació sobre el que ha pensat per arribar a la resposta.

En aquest cas la resposta esperada seria: 28 i un argument del tipus "ja que la distància augmenta una unitat, el resultat augmentarà una unitat". Cal dir que aquest text dibuixat en una línia numèrica és una resposta tan vàlida com una explicació oral o escrita.

Pràctica en grups o treball individual

En aquest moment de l'activitat es presenten quatre situacions que impliquen estratègies diferents i operacions diferents allunyant-nos així del treball repetitiu.

Per deixar clar el que volem, redactem la resposta esperada per a la primera proposta: 48+26 =74 acompanyat d'algun argument com els següents

a) Com que intercanviem les xifres de les unitats dels dos sumands, el resultat no canvia.
b) Si afegeixes dos unitats al primer sumand i treus 2 del segon, la suma no canvia.

Avaluació

Les activitats anteriors eren "de classe" on les respostes obtingudes es matisen a partir de la discussió. Si volem avaluar i recollir informació individual, no solament ens hem de fixar en la correcció del resultat sinó en l'estratègia emprada i el nivell d'explicació dels alumnes. És per aquesta raó que incloem a la tasca una part per explicació, donat-li tanta o més importància que al càlcul fet.

 

Per acabar: és fàcil incorporar aquest tipus d'activitats a classe, ja que és un treball interessant en un currículum competencial. L'única dificultat que té, és tenir clares quines estratègies de càlcul volem que els alumnes utilitzin, despertar una actitud de descobriment en l'alumna, i treballar a fons la part de la comunicació o el·laboració de textos explicatius coherents i correctes.

Podeu complementar la informació sobre Minilliçons amb aquest vídeo gravat durant una de les sessions del curs ARAMAT dedicada a operacions additives:

Jornades de l'ABEAM i Estadística

El dissabte 5 de novembre es van celebrar una nova edició de la jornada anual de l'ABEAM. Aquí parlarem en particular de la part de la presentació de la col·lecció de llibres "El mundo es matemático" de RBA. Trobareu totes les presentacions en el link de les jornades.

Segur que els llibres són bons i en general amens, vista la categoria, el discurs i el sentit de l'humor (sobretot en relació a les explicacions sobre la història dels diferents títols) dels autors.

La presentació del llibre "La certeza absoluta y otras ficciones"

En aquesta presentació vàrem tenir el plaer d'escoltar de nou en Pere Grima amb la seva dèria d'acostar  l'Estadística a la gent. Intenta fer veure que l'estadística és alguna cosa més que fer gràfics o taules i i planteja situacions que, segurament, fan que molts de nosaltres tinguem ganes de fer-les a les nostres classes de Secundària, i fins i tot de Primària.

Un exemple: l'Estadística ens permet que si un dia anem pels carrers de Barcelona o de Nova York tot veient la carrera de la Marató i ens plantegem quants corredors  hi participen, podem trobar una aproximacó molt ajustada anotant els dorsals d'un nombre petit de participants i fent una senzilla operació.

Més sobre el llibre i sobre l'autor

Si el portem aquí és perquè cal destacar la informació "amagada" de la seva feina paral·lela al llibre. Té penjat a la seva pàgina web un apartat anomenat "más sobre el libro", en la que podeu trobar comentaris de l'autor i les fonts consultades. A l'apartat "conferencias", i ja fora l'àmbit del llibre, que no del tema, trobareu transparències, textos i "artefactes" construïts, tant per l'autor com pels seus alumnes.

A la pàgina del Creamat podeu veure una altra xerrada d'en Pere on també  explica aquests temes: Quants peixos hi ha en un llac? Quants taxis en una ciutat? (en particular, aquí trobareu l'exemple dels corredors)

Els nombres de cada mes

En un post del mes de setembre parlavem de Crear "ambient matemàtic" amb pòsters; i allí esmentavem com a exemple la publicació de una sèrie mensual de pòsters titolats "Els nombres del mes". En aquests pòsters (tres cada mes) es presenta un nombre i s'analitzen algunes de les seves propietats. En l'experiència que aquí es relata es van triar el nombres 5, 6174 i π per al mes de setembre, 7, 2011 i √2 per al mes d'octubre i 23, 1729 i √3 per al mes de novembre.

Si us interessa conéixer el contingut dels pòsters ja publicats i els que s'aniran publicant en el propers mesos us suggerim buscar-los a http://issuu.com/ccalvopesce

Rapidesa d'operacions i paper de les estratègies

Rapidesa d'operacions

La rapidesa d'operacions amb nombres petits ha estat considerada, des de fa molts anys, una de les bases per a un bon domini de l'Aritmètica. Així per exemple a Catalunya als anys 30 tenia un fort arrelament. Prova d'això són les proves que Alexandre Galí va proposar al seu llibre "la mesura objectiva del treball escolar". També cal dir que en aquells temps la professió de contable "de llàpis i paper" era present a la societat i que aquests càlculs ràpids tenien com a objectiu principal estar al servei de la realització correcta i ràpida de sumes llarguíssimes i operacions diverses.

El grup "El Quinzet" als anys 80, en un moment en que en el currículum l'estrella era una proposta anomenada "Matemàtica Moderna" i com a treball de recuperació de la feina ben feta relitzada abans del 1939, va adequar i publicar una proposta que volia recollir aquesta tradició en dos aspectes principals: els problemes de càlcul mental i les sèries de rapidesa d'operacions.

Ara, al 2011, ens preguntem si cal preocupar-se per la rapidesa: això té sentit en el segle XXI?

Les sèries del Quinzet

Un exemple d'aquestes sèries del Quinzet que encara s'utilitzen és el següent:

La manera d'utilitzar aquests fulls era donar-ne un als alumnes, demanar-los que fesin tots els càlculs possibles en dos minuts, revisar quants n'havien fet bé, anotar-ho en un full i periòdicament veure i fer conscients als alumnes de la seva evolució en la rapidesa, així com en les operacions concretes en les que fallaven i en les que no. Aquesta activitat es feia un parell de cops a la setmana per terme mig.

Actualment, pot estar en entredit aquest tipus de tasca (era un aprenentatge per repetició, un entrenament lluny de qualsevol procés constructiu i per tant condemnat a la seva desaparició en el moment que deixava d'entrenar-se) però volem fer-ne veure els seus aspectes positius: es feia a l'entrar al matí, o venint del pati o al tornar del dinar i els alumnes "se serenaven" de cop, solament durava dos minuts, cada nen o nena anava al seu ritme i controlava la seva evolució. La pregunta que ens formulem és: quin sentit té, apart d'aquests aspectes positius, continuar mesurant  la rapidesa,  sigui amb aquest material o un altre. Per exemple, amb applets com els que llistem a continuació:

• Descomposicions del 10 contrarellotge: Math Lines Game 
• Les taules amb mesura del temps que trigues: Tables race
• Les taules en una carrera de cotxes: Grand Prix Multiplication

Com compten els alumnes en acabar P5?

La Carme Barba ja ha estat present en aquest bloc (enllaç al post) on recollia part del seu treball en llicència d'estudis sobre Educació Infantil. Ara presentem un dels seus vídeos on es presenta als alumnes una situació relacionada amb l'operació 4+3.

Què hi veiem en aquest vídeo?
Queda clar que si porposem aquesta tasca per escrit tots ells contestarien 7 i ens quedariem tan amples. Però preguntar als alumnes com ho han fet, o sigui demanant-los "que parlin ells", és la manera d'assabentar-nos sobre com pensen, sobre com calculen. Observant el vídeo, podríem fer una primera classificació dels alumnes:

1. Un grup de nens i nenes que necessiten comptar: estan els que compen tots els objectes (fins i tot tocant) i els que comencen pel primer (4) per després comptar el segon (3) a partir d'aquest. Aquests alumnes calculen comptant. 
2. Hi ha un segon grup d'alumnes que parteixen d'un fet conegut  (4+4, 3+3 o la resposta genial del 5+2) per arribar a un del que no estan segurs, és a dir que calculen sense comptar, recolzant-se no en la memòria sinó en la deducció. De fet l'objectiu més important a final de segon nivell.

Estratègies personals i rapidesa d'operacions
Si continuem fent les series de rapidesa com fins ara: "sèrie, repetició, entrenament" estem deixant de banda un segon punt importantíssim: considerar-les com a indicador de l'ús o no d'estratègies eficients per part dels nostres alumnes.

És cert que els alumnes poden millorar la seva rapidesa per entrenament, però hi ha un sostre. Treballar i discutir amb ells sobre estratègies i "portar-los" del càlcul comptant al càlcul sense comptar, a base de discussions entre ells,  no solament els millorarà la rapidesa de manera notable (cosa no massa important actualment) sinó que convertirà aquesta rutina del segle passat en un treball actual molt proper a "pensar matemàticament" fins i tot als 5 o 6 anys.

Resolució d'equacions amb "cover up"

El model aritmètic

Sense ser-ne conscients, els nostres alumnes resolen equacions des dels primers cursos de primària. Ho han estat fent cada vegada que s’han enfrontat a situacions del tipus “completa la operació: 45 + … = 100” (Aquest va ser un dels apartats de la prova de competències bàsiques per Cicle Mitjà proposada pel Departament d’Educació al curs 2005-2006). En completar aquesta tasca han resolt l’equació 45 + x = 100 recorrent únicament als coneixements aritmètics que en aquell moment tenien.
Amb la intenció d’introduir suaument els nostres alumnes en l'estudi de l'àlgebra, els mestres podem recórrer a les seves experiències aritmètiques prèvies, i a partir d'aquestes experiències, donar sentit a les equacions i als seus mètodes de resolució.
La resolució de l’equació 5x – 3 = 17 la interpretem com la recerca del nombre que multiplicat per 5 genera un valor que al restar-li 3 dóna com a resultat 17.  Per donar sentit a cada pas de la resolució d'una equació com aquesta ens recolzem en les relacions aritmètiques que s'hi estableixen. Preguntem pel nombre al que si li resto 3 em dóna 17. Com que la resposta és 20, preguntem "i quin és el nombre que multiplicat per 5 dóna 20?" arribant al fet que 4 era el nombre buscat i per tant la solució de l’equació.

Un applet

Una forma de treballar aquest mètode és fer servir una tapadora com ho fa l'applet “Solving equations with cover up strategy” desenvolupat pel Freudenthal Institute de la Universitat d’Utrecht.

En la figura 1 es veu la resolució de l’equació 5x-3=17 amb aquesta estratègia. Establim un paral·lelisme entre la manera de resoldre l'equació 5x-3 = 17 recolzant-nos en les relacions aritmètiques i fent servir el recurs digital:

Ens preguntem pel nombre al que si li resto 3 fa 17	-	Ressaltem el terme 5x, passant-hi per sobre el ratolí
La resposta a la pregunta anterior és 20	-	A la pantalla apareix "5x =" i l’hem de completar la igualtat amb un 20
Ens preguntem pel nombre que multiplicat per 5 dóna 20	-	Ressaltem la x passant-hi per sobre el ratolí
La resposta a la pregunta anterior i solució final és 4	-	A la pantalla apareix "x =" i completem la igualtat amb un 4

 Figura 1: Resultat d'aplicar dues vegades l’estratègia “cover up" a l’equació 5x-3 = 17

Tal com ja hem comentat, l’estratègia “cover up” permet resoldre equacions en que la incògnita apareix només un cop, però sota aquesta restricció permet resoldre tant equacions de primer o segon grau (figura 2), com equacions no polinòmiques (figura 3).

Figura 2: Una equació de primer grau no elemental resolta amb l'estratègia “cover up”

Figura 3: Una equació no polinòmica resolta amb l'estratègia “cover up”

Volem destacar que l'applet "revisa" cada pas que fa l'alumne: quan prem return per seguir endavant ho valida amb un llaç si és correcte. En cas contrari  un tic vermell l'idica que ho ha de revisar. Això impedeix que seguixi fins el final arrossegant l'errada, aquesta interacció immediata és pròpia dels ordinadors i  eina important que potencia el treball reflexiu. Això sobre paper no passa, i si t'equivoques al primer pas l'equació ja estarà mal resolta t'equivoquis un o 100 cops.

L’applet no només proposa 20 exercicis per practicar l’estratègia sinó que permet que l’usuari generi les seves pròpies equacions. En prémer el botó "make an equation yourself" que es troba a la part inferior esquerra de la pantalla, s'obre una finestra on es pot introduir una equació per resoldre amb aquesta estratègia. En acabar d'escriure aquesta equació, es prem el botó "add" i l'equació passa a la finestra principal perquè es pugui resoldre mitjançant "cover up". 

S’ha de tenir en compte que si proposem a l’applet una equació amb solucions múltiples com ara: x² = 25, el recurs donarà per bona la solució x = 5 (o la solució x = - 5) sense donar cap tipus d'advertència en relació a que la solució de l'equació són els dos valors i no un qualsevol dels dos. 

 
Enregistrament per part dels alumnes dels seus processos de resolució d’equacions
Presentem a continuació imatges de les seves produccions escrites.

Notes en la llibreta d’una alumna en acabar la primera classe en que havia fet servir l’applet “Solving equations with cover up strategy”

Un alumne fa servir colors per imitar l’applet “Solving equations with cover up strategy” en la seva llibreta 

Un altre exemple de com els alumnes imiten l’applet per resoldre equacions

Comentaris finals

L'estratègia "cover up" és útil només quan la incògnita apareix una vegada en l’equació. Però aquesta limitació es veu compensada pel fet que no es limita a resoldre equacions de primer o segon grau, sinó que permet resoldre equacions molt abans d'introduir aquest tipus particulars d'equacions.

Aquesta estratègia a més de resoldre equacions suggereix una manera d’enregistrar el raonament que hi ha darrera de la resolució. Això no és un detall menor considerant la dificultat que presenten els alumnes en l'explicitació dels seus raonaments, especialment quan fan servir mètodes "intuïtius" com els habituals del model aritmètic.

En setembre de 2017 @mmart659 va compartir via Twitter aquesta imatge que resumeix l'estratègia:

Traducció de l'esquema visual fet pel Doug Neill

Visualització amb cubets

Un "llistat comprimit" de fites que pot ser molt útil

Ja fa força anys que la "visualització" es considera un camp important en l'aprenentatge de la Geometria. Una referència la trobem al document "Educación matemàtica en los paises Bajos, un contenido guiado", aquí hi ha una taula molt interessant anomenada "Fites bàsiques a l'escola primària holandesa" que resumeix en 23 ítems tot el que han d'aprendre els alumnes en aquesta etapa. L'ítem 22 està dedicat a Geometria, concretament a Visualització i diu el següent: "Pueden razonar geométricamente utilizando bloques de construcción, planos de planta". Hem pensat que un post dedicat a aquest punt us podria ser d'utilitat.

Applets
Si cliqueu a la imatge accedireu a un conjunt de 7 propostes diferents que treballen diferents aspectes. Fins i tot la possibilitat de decidir que es faci de nit per així presentar les "vistes".

obert el 4/10/2013

Representacio per vistes
L'últim apartat de la llista anterior, presenta activitats en les que a l'esquerra dóna tres vistes d'una construcció realitzada amb cubets: des de dalt, des de davant i des de la dreta, i l'usuari clicant sobre el tauler que està part dreta de la pantalla ha de construir la figura corresponent. La part superior l'informa sobre com són les vistes de la construcció a mesura que la va fent.

 Per a accedir-hi a Building with three sides

La materialització.

Ja hem parlat de materialitzacions en altres posts (busqueu per la seva etiqueta si en voleu localitzar més) en relació a la possibilitat de convertir un applet en un material manipulatiu.

Quan vàrem plantejar fer aquesta activitat en una classe de 3r, es va pensar que el millor era començar manipulativament, i per tant es va convertir l'applet en un material "de taula", aprofitant els cubets encaixables (o Multilink) dels que disposava l'escola. Es van imprimir en fulls A4 còpies de pantalla dels exercicis resolts (figura de la dreta), es van plegar per la meitat aquests fulls i es  van plastificar. Aleshores, es van obtenir unes fitxes de treball que presenten en una de les seves cares les tres vistes, a partir de les quals els alumnes han de construir amb cubets encaixables la figura, i a l'altra cara la solució per poder comprovar si ho han fet correctament. S'ens acut que informar també als alumnes sobre el nombre total de cubets necessaris podria ser una bona idea.

Un material per petits.
Existeixen al mercat alguns jocs, de cara als més petits, que treballen aquest aspecte de la visualització. El que nosaltres coneixem és el de la casa Nathan "Atelier Tours cachées". Realment és interessant i es troba fàcilment al mercat. El problema és el seu preu, encara que sempre es pot materialitzar, però cal ser una mica "manetes".

Foto: Catàleg Nathan

  

El joc consisteix en donades les cartolines amb les imatges de les vistes, fer que els alumnes col·loquin les torres, que donades les torres els alumnes busquin les vistes, o qualsevol altre combinació que us vingui al cap.

Una mena de tuit final
Si els holandesos resumeixen les idees principals de les Matemàtiques de Primària en 23 punts, no ens aniria bé disposar  d'una "cosa" com aquesta aquí?

Applets que fan pensar... si els treballes

 L'applet

Aquest és un applet del Freudenthal Institute. La granota et demana que escriguis una multiplicació amb el seu resultat, aleshores en planteja una altra que cal que contestis. Podeu jugar-hi una estona si voleu, clicant la imatge. L'applet va deixant constància de les operacions realitzades a la barra dreta de la imatge

Obert 19/10/2011

Què és el que l'applet ens planteja?

L'objectiu de l'applet consisteix en deduir el resultat de la segona multiplicació utilitzant el resultat conegut de la primera. 

Aquesta imatge il·lustra una "partida". Els resultats obtinguts estan a la dreta. cal dir que si el resultat obtingut no és correcte, no és admès i hi has de tornar.

Com incidir?

Exigir als alumnes que no solament juguin amb l'applet, sinó que en un treball posterior o paral·lel, justifiquin el raonament o explicitin la propietat utilitzada, és el que "tanca" la sessió havent fet un treball a fons de Matemàtiques.

Presentem uns  exemples del tipus de resposta que esperem dels alumnes, agafant els resultats de la imatge superior.

1. Si 5x8= 40, 5x4 serà igual a 20 ja que 4 és la meitat de 8
2. SI 15x8= 120, 15x80= 1200, ja que multipliquem el segon terme per 10 i aleshores el resultat de la multiplicació quedarà multiplicar per 10 (en aquest cas expressions del tipus "poso un zero al darrera" haurien de ser evitades)
3. Si 8x12= 96 aleshores 9x12= 108, ja que fer 9 vegades 12 és fer 8 vegades 12 i afegir un grup més (de 12). Aleshores 96+12= 108
4. 8x8=64, 8x16=128 . Com que 16 és el doble de 8 aleshores el resultat serà el doble de 64.

Una pregunta per als lectors:
Si 16x25= 400, quin és el resultat de 8x50?

Quina idea hi ha al darrera?

Darrera de tot això hi ha una idea que creiem molt potent a l'hora de fer matemàtiques i que podríem anomenar "fets coneguts/ fets derivats" és a dir a partir de resultats sabuts poder deduir resultats dels qual no se n'està segur.

Aquesta mateixa idea la trobem en aquest joc de cartes en el catàleg de K2.

Com veureu cal omplir o contestar quin és el nombre que ha d'anar als tres espais blancs, partint del coneixement de la primera multiplicació. Donar-ho als alumnes recollir els resultats i qualificar bé o malament és perdre l'oportunitat de treballar les propietats de les operacions.

Us suggerim que per conèixer a fons el que treballa resoleu els exercicis d'aquí al costat. Si un cop fet veieu que són unes deduccions interessants pels vostres alumnes aleshores aquest post ha estat útil. Si us fa mandra comptar l'altra opció és decidir quin és l'ordre lògic de resolució de cada una de les cartes: de dalt a baix o d'una altra manera.