30 de gener de 2013

Decimals periòdics

Als cursos d'ESO molts cops veiem extensos exercicis de traducció entre fraccions i expressions decimals, però creiem que amb les eines que disposen els alumnes d'aquests mateixos cursos es poden fer coses molt interessants. Com a mínim poden proposar-los activitats més interessants que fer servir fórmules com aquestes:
photo credit: xurde via photopin cc

    • Si el decimal és periòdic pur, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període.
    • Si el decimal és periòdic mixt, la fracció té com a numerador el nombre inicial sense la coma menys la parte entera seguida de l'avantperíode i per denominador un nombre format per tants nous com xifres tingui el període seguit per tants zeros com xifres tingui l'avantperíode.


    A l'aula:

    Podem descobrir que els decimals periòdics s'obtenen a partir de fraccions que en la seva forma irreductible tenen denominadors amb algun divisor primer diferent de 2 i 5. Encara més, podem descobrir que únicament quan tots els divisors primers del denominador són diferents de 2 i 5 obtindrem decimals periòdics purs, d'altra banda seran peròdics mixtos. I fins i tot es podria relacionar la longitud de l'avantperíode amb els exponents de 2 i 5 en la descomposició factorial del denominador.

    I també podem jugar cercant patrons i curiositats en les expressions decimals de:


    • fraccions amb denominador 7
    En aquestes fraccions es pot veure una interessant regularitat entre les 6 xifres del seu període.

          http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique 

    Una curiositat que també el compleixen fraccions de denominador 17, 19, 23, ...
    Val a dir que 142857 té moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la pàgina 36 del llibre de David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math)
    • fraccions amb denominador 13
    En aquestes fraccions es poden veure dos cicles entre les 6 xifres del seu període.
    Val a dir que 076923 i 153846 tenen moltes més curiositats que podem analitzar a l'aula (hi ha alguns exemples a la mateixa pàgina dels llibre de Wells esmentat abans)
    • les primeres fraccions amb denominador 19
    Considerant les divuit primeres xifres decimals tal com es veu a la imatge s'obté un quadrat màgic!!
    http://www.futilitycloset.com/2010/12/31/bewitched/ 
      http://gaussianos.com/una-fraccion-muy-progresiva/
      • la primera fracció amb denominador 729
      La fracció 1/729 té un període de 81 xifres (les que apareixen en la imatge) que separades en nou grups de nou sense alterar l'ordre en el que apareixen formen nou nombres que difereixen en 11111111 (exceptuant en l'últim cas en que la diferència és de 11111112)


      Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador una potència de base 9 (729=9·9·9).
      • la primera fracció amb denominador 9801
      El període de l'expressió decimal de la fracció 1/9801 està format per la llista de tots els nombres de dues xifres exceptuant el 98: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11...96 97 99

      Una curiositat que es pot extendre a altres fraccions de numerador 1 i denominador el quadrat d'un nombre en que totes les seves xifres són 9 (9801=99·99)



      Comentari final: Fa un parell d'anys, el Gerard un alumne de segon després d'haver treballat a l'aula les particularitats de les fraccions de denominador 7, va trobar més propietats del nombre 142857 http://es.wikipedia.org/wiki/142.857, com que va sentir-se molt encuriosit al respecte li vam proposar que fes un estudi semblant per als períodes de les fraccions de denominador 13, el resultat del qual podeu trobar aquí.

      A posteriori:
      Una setmana després de la publicació d'aquesta entrada, en el bloc de Don Steward, apareixen alguns elements que poden ampliar la informació aquí presentada

      • fraccions amb denominador 17


      • respecte a les fraccions de denominador 19 ens dóna aquesta altra informació

      Cap comentari:

      Publica un comentari a l'entrada