12 de setembre de 2018

Pràctica productiva: equacions de primer grau

Encara que ja havíem fet posts amb tasques que promoguessin la resolució d'equacions de segon grau o la resolució de sistemes de dos equacions de primer grau amb dues incògnites en un ambient de resolució de problemes, encara no havíem proposat tasques semblants per un tipus d'equacions que proposemb amb anterioritat als alumnes: les equacions de primer grau.

Els dos primers exemples s'inspiren en la proposta de @colinfoster77 a "Expression Polygons" i el tercer exemple, en la proposta de @openmiddle "Solving Equations with Variables on Both Sides"

TASCA 1:

a) Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Què observes?

Resolent les sis equacions es veu que s'obtenen els nombres de l'1 al 6. I als alumnes que no troben dificultats en aquesta primera part de la tasca els podem plantejar preguntes com aquestes:
  • què passa amb les solucions si multipliques per 10 els termes independents de les quatre expressions? 
  • i si els valors multiplicats són els coeficients del terme de primer grau?
  • i si a cadascuna de les expressions li sumes el coeficients del terme de primer grau?
Després d'haver treballat amb aquestes preguntes, o altres de semblants, poden fer front a un repte com el següent:

b) Què expressions escriuries en els quadres per obtenir els sis primers nombres parells? I per obtenir 6 números de dues xifres consecutius?
TASCA 2: 
Tria tres nombres enters diferents i col·loca cadascun al lloc d'una de les estrelles Escriu sobre cada segment negre la solució de l'equació que resulta d'igualar els dos quadres associats a aquest segment. Fes-ho per diferents ternes de nombres inicials. Què observes?

El primer que observen els alumnes és que en ocasions els tres nombres que han d'escriure són el mateix i en la resta d'ocasions els tres nombres són diferents. Aquí, podem guiar-los per concloure que és impossible que en dos segments el valor coincideixi i en el tercer no com a conseqüència de la propietat transitiva de les igualtats. Però no els resulta fàcil veure quina relació tenen els tres nombres entre sí quan són diferents: un d'ells és la mitjana dels altres dos. En aquests casos, creiem que és bona idea suggerir-los que representin els tres nombres sobre una línia numèrica i allí podran observar que un dels tres nombres equidista dels altres dos. 

TASCA 3:

a) Si omplim les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9, quines solucions enteres es poden obtenir? I si no exigim que siguin enteres, quaantes solucions diferents es poden obtenir?
b) Omple les cel·les amb nombres naturals diferents entre 1 i 9 perquè la solució sigui el més propera possible a √2

En relació a la primera pregunta del primer apartat, els alumnes hauran de veure que es poden obtenir com a solució qualsevol nombre enter entre -8 i 8 exceptuant el 0. Però si volen comptar totes les solucions diferents que existeixen han d'organitzar molt bé la feina:

  • Una de les solucions és 1 que es pot aconseguir a partir de moltes equacions diferents (per exemple: 5x+7=4x+8) 
  • Hi ha vint solucions més grans que 1: 8, 4, 8/3, 8/5, 2, 4/3, 7, 7/2, 7/3, 7/4, 7/5. 7/6 6, 3, 3/2, 6/5 5, 5/2, 5/3, 5/4, 
    • aquestes fraccions les hem obtingut combinant els nombres1 a 8 per fer de numerador o denominador, però en aquest sentit, val a observar que 8/7 no és una solución possible a pesar de que el numerador i el numerador són números entre 1 i 8 
  • Hi ha vint solucions entre 0 i 1 que són les inverses de les solucions més grans que 1 llistades abans 
  • Hi ha 41 solucions negatives que són les oposades de les 41 solucions positives esmentades abans 
  • En total tenim 82 solucions diferents

En relació a l'últim apartat poden veure que encara que cap d'aquestes equacions té un valor irracional com a solució, n'hi ha algunes que tenen solucions properes a √2:
  • 8x+1=2x+9 té solucó 1.333... 
  • 7x+1=5x+4 té solució 1.5 
  • o l'òptima: 7x+1=2x+8 que té com a solució 1.4  

22 de maig de 2018

Geoplans triangulars i teorema de Pick

Al post Geoplans i pensament exhaustiu ja vam parlar de geoplans de trama quadrada i de trama circular. Fins i tot en el post Joc del geoplà ja apareixia un geoplà de trama isomètrica. Ara reprendrem l'ús d'aquest material per fer alguns comentaris que poden donar lloc a interessants propostes de classe.

Anomenarem geoplà triangular de mida n a un tauler triangular amb n(n+1):2 claus distribuïts de manera que formen n² triangles equilàters iguals

1) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees fent servir com a unitat l’àrea d’un triangle bàsic de la trama


2) Troba tots els quadrilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees
3) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 4 i calcula les seves àrees


A partir de les dades anteriors podem buscar adaptar el teorema de Pick, molt conegut per calcular àrees en geoplans estàndard, per a trames isomètriques:

B és la quantitat de punts del geoplà que toquen en perímetre del polígon
I és la quantitat de punts del geoplà que estan a l'interior del polígon

Pot ser ens faria servei analitzar alguns polígons que deixéssin 2 punts del geoplà a l'interior, aquests polígons només es troben en geoplans de mida superior a 4. Aquí hi ha alguns exemples en un geoplà triangular de mida 5:


 
4) Troba tots els triangles equilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 6 i calcula les seves àrees

Si no considerem com a iguals dos triangles cuando estan col·locats de manera diferent al geoplà la quantitat de solucions seria 70 (veure A000332 i la imatge associada)

Afegides aquestes dades a la taula donen més pes a la conjectura de que l'àrea és 2 unitats més petita que la suma de B + 2 I, o sigui, A = B + 2I - 2 (tenint com a unitat d'àrea el triangle més petit que forma la trama)

  • Hi ha una demostració d’aquest resultat aquí
  • Observar que en geoplaans de trama quadrada  A = (B + 2I- 2) : 2 (tenint com a unitat d'àrea el quadrat més petit que forma la trama)

8 de maig de 2018

Qui és l'intrús?

Una de les taques amb més èxit durant les trobades de formació de mestres són les QUELIs. Els mestres de seguida veuen el seu potencial per fer parlar als alumnes i intueixen com s'engrescaran els alumnes buscant arguments per defensar les seves respostes. O sigui, les QUELIs són tasques ideals per valorar les dimensions "comunicació i represantació" i "raonament i prova".

Què són les QUELIs?
Per explicar què significa QUELIs o WODB i quines característiques tenen aquestes tasques, per comentar com podem portar-les a l'aula i quines variants hi ha creiem que el millor es remitir-vos al resum de la presentació que van fer @davidobrador i @ccbcnmvd al C2EM 2016:



Exemples de QUELI's
Hi ha exemples per a totes les edats i relacionades amb tots els blocs temàtics. A més de la pàgina "oficial" que recull exemples d'aquestes tasques: http://wodb.ca, a Twitter, sota l'etiqueta #wodb els usuaris comparteixen les que dissenyen ells i les que proposen en les seves aules:


Comentarem la nostra experiència amb tres QUELIs de geometria que vam portar a l'aula


Anomenarem A a l'objecte que està a dalt a l'esquerra, B el que està a dalt a la dreta, C el que està a baix a l'esquerra i D a l'últim

Amb aquesta proposta surten arguments relacionats amb

  • els eixos de simetria: B és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals són eixos de simetria o C és l'intrús perquè és l'únic que té un únic eix de simetria o D és l'intrús perquè és l'únic que no té cap eix de simetria  
  • les diagonals: A és l'intrús perquè és l'únic que té les diagonals iguals tallant-se al punt mig o  és l'intrús perquè és l'únic que té diagonals perpendiculars o C és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals no es tallen al punt mig
  • els costats: C és l'intrús perquè és l'únic que té tres costats de mides diferents o A és l'intrús perquè és l'únic que té costats perpendiculars o B és l'intrús perquè és l'únic que té tots els costats igual
  • els angles: A és l'intrús perquè és l'únic que té tots els angles iguals o C és l'intrús perquè és l'únic que té un angle obtús oposat a un angle agut
  • ... 


Aquí també els arguments han estat variats

  • A és l'intrús perquè és l'únic acutangle, o l'únic que té com a eix de simetria la diagonal del geoplà
  • B és l'intrús perquè és l'únic escalè, o l'únic que té un costat de longitud major que 4
  • C és l'intrús perquè és l'únic rectangle o l'únic que la seva frontera només té contacte amb tres punts del geoplà
  • D és l'intrús perquè és l'únic que no té punts del geoplà a l'nterior, o l'únic que té un costat de longitud 4



En aquest cas, a més de convidar als alumnes a exposar arguments sobre perquè cadascuna de les figures era "l'intrusa" vam plantejar que pensessin què tenien en comú les peces vermelles, les verdes i sobre tot les blaves. El fet de reconeixer que el mateix color indicava mateixa àrea els va donar nous arguments: C és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 9 triangles verds o D és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 8 triangles verds.

3 de maig de 2018

Freqüència de lletres

Creiem que les llengues són un context pertinent i interessant per fer estadística a l'aula:

Podem estudiar els noms dels alumnes
  • llargària


En aquestes dues fotografies apareixen els alumnes de #eso1sdk (curs 16-17) que també van estudiar els noms dels alumnes d'altres grups de l'escola (cada petit grup d'alumnes de 1r d'ESO va estudiar una classe) donant lloc als següents dos gràfics:
  • lletra inicial

  • lletra final



Respecte a l'anàlisi de la lletra final dels noms trobem molt interessant aquest gràfic


També podem estudiar la freqüència d'aparició de vocals en texts escrits en diferents llengües.

En aquest vídeo gravat durant la sessió dedicada a l'Estadística en el mòdul 2 del curs ARAMAT vam exemplificar com fer aquest estudi:


Aquest vídeo de la col·lecció Videomat també tracta aquest tema:


El @Simon_Gregg va proposar als seus alumnes analitzar la freqüència de totes les lletres basant-se en una proposta de @mburnsmath


El detonant per escriure avui aquest post que fa molt que teníem en ment és aquest interessant fil trobat a Twitter on @eliasmgf, professor de llengua castellana, vol justificar en base a la freqüencia de les lletres la norma ortogràfica: "Las palabras agudas (no monosílabas) se acentúan si terminan en vocal, ene o ese". La base de la seva argumentació és el gràfic de "distribución de las letras dentro de las palabras del español" malgrat que aquí les freqüencies no són absolutes.


Comentari final:
En aquest post estem interessats en "lletres" per això hem esmentat l'estudi de la quantitat de lletres o de les lletres inicials i finals dels noms de persones. Però els noms de persones poden ser un motiu d'estudi per si mateixos. 

En aquest sentit, trobem interessant un article de diario.es sobre noms tradicionals vs moderns on apareixen aquests gràfics:




30 d’abril de 2018

Tasques riques i Fibonacci

La successió de Fibonacci (una successió en que cada terme és la suma dels dos anteriors) és una font inesgotable de tasques riques. En aquest post comentem tres exemples.

Tasca 1

Aquí tenim un exemple proposat en Cicle Inicial on l'objectiu és practicar de manera productiva sumes en el rang 0-100:

"Laboratori de nombres" (1r Primària, Innovamat)
A diferència del primer apartat de la tasca en que la solució en cada cas és única (encara que les estratègies que demanen no és la misma en els quatre casos)
  • a l'apartat 2 es demanen dues de deu solucions possibles (en les primeres dues cel·les es poden col·locar els nombres 1-10. 2-9, ..., 10-1) Val a observar que els cucs generats en col·locar en les dues primeres cel·les 3 i 8 o 8 i 3 no són iguals: 
  • a l'apartat 3, el fet de no demanar que l'última anella hagi de tenir al 50 sinó un nombre proper a ell, permet que els alumnes vagin provant i millorant les seves solucions sense sensació de fracàs mentre fan un munt de sumes que és en el fons el que volem practicar.
A alumnes més grans o com a tasca d'ampliació
  • sí que se'ls pot proposar trobar totes les parelles de nombres que col·locats en les dues primeres anelles generen que el 50 quedi en la cinquena. Quan troben les 9 parelles possibles (si ens restringim a utilitzar nombres naturals) podem demanar-lo el patró que segueixen (1-16, 4-14, 7-12, 10-10, 13-8, 16-6, 19-4, 22-2 i 25-0).
  • els podem preguntar quina relació troben entre l’anella central i la suma de les dels extrems (a la imatge següent es veu una justificació que pot complementar la conjectura que facin els alumnes al respecte)

Tasca 2

Però no cal restringir-nos a successions de 5 termes, aquí tenim un exemple proposat en Cicle Superior on l'objectiu és practicar de manera productiva el càlcul de mitjanes:
Matemàtiques 6è (Ed. Barcanova)
La justificació de que la mitjana entre la cel·les n i n+3 és la cel·la n+2 pot ser visual:
I també pot ser visual la justificació de que la mitjana entre la cel·les n, n+1 i n+6 és la cel·la n+4

Tasca 3

Comencem demanant que s'escriguin tots els termes de la successió de Fibonacci (en la seva versió estàndar, o sigui, començant amb 1 i 1) menors que 1000. Pot semblar una tasca molt llarga però ens adonem que no és així: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987

A continuació fem propostes com aquestes:
  • verifica que entre aquests nombres només un de cada tres termes és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5. Com continuaries aquesta sèrie? 
  • divideix cada terme de la successió entre 3 i pren nota dels residus que vas obtenint. Què observes? Què passa si canvies el divisor per un altre nombre (per exemple: 7)? 
Es pot veure que en dividir entre 3 els termes de la successió s'obtenen els residus: 1,1,2,0,2,2,1,0 en bucle. I aquests bucles es poden trobar qualsevol sigui el divisor. El @DavidKButlerUoA va piular imatges que il·lustren aquest fet amb reglets Cuisenaire. Per exemple, el cas del divisor 3:

@DavidKButlerUoA
La xifra final dels nombres que formen la successió de Fibonacci (o sigui, el residu de dividir aquests nombres entre 10) no s'escapen a aquest resultat i també es repeteixen seguint un bucle de longitud 60!! A més unint aquests nombres a mida que apareixen en el bucle es dibuixa un interessant patró geomètric, tal com es veu en aquesta imatge de @panlepan

@panlepan
  • verifica la següent afirmació amb tots els nombres de dues xifres: "tot nombre natural es pot escriure de manera única com la suma de termes diferents de la successió de Fibonacci" 
Aquest resultat es coneix com a teorema de Zeckendorf i, a més afirma, que si exigim que no hagi nombres de Fibonacci consecutius la descomposció és única.

20 d’abril de 2018

Arrels quadrades a Primària? I tant!

Una vegada més advoquem per no confondre una operació amb el seu algorisme. No és el mateix saber dividir que saber executar l'algorisme tradicional de la divisió i podem treballar la noció d'arrel quadrada a l'aula de primària sense ni esmentar l'algorisme estandard de l'arrel quadrada que va traumatitzar a alguns alumnes del segle passat, i que la majoria vam aprendre sense entendre per què funcionava.

A l'igual que per altres operacions que ja vam comentar en posts d'aquest blog, l'algorisme estandard no és l'únic i, encara que eficient (en temps en que no existien calculadores era un procediment eficient per fer el càlcul) probablement, és un dels algorisme menys transparents que podríem haver estudiat. Recomanem efusivament la sèrie de posts sobre algorismes de l'arrel quadrada escrits pel Joan Jareño en el seu blog
En el nostre blog també vam tocar aquest tema en un post anomenat Jocs i pràctica del càlcul: golf on defensavem la possibilitat d'apropar-nos al concepte d'arrel quadrada d'un nombre a partir de l'estimació.

Avui volem afegir a aquestes reflexions un vídeo gravat en el context del mòdul 2 del curs ARAMAT durant la sessió dedicada a nombres decimals


D'aquesta sessió volem destacar més enllà del que es veu al vídeo
  • l'ús de l'applet que apareix a la imatge per introduir la noció de lupa que ens permet la densitat dels nombres decimals 

  • la relació entre el valor obtingut per aproximacions successives en un procés que pot ser tan llarg com vulgem i el nombre que veiem en la pantalla d'una calculadora quan li demanem l'arrel quadrada d'un nombre.

30 de març de 2018

Un altre material per treballar la probabilitat

Complementant la sèrie d'entrades que ja vam dedicar a materials manipulatius per treballar la probabilitat avui parlarem d'un "artefacte" que coneixíem des de que el vam veure dins de la Caixa de Varga però sobre el qual no havíem parat atenció encara.

Es tracta d'una capseta de plàstic on hi ha una sèrie de boletes de diferents colors que apareixen alineades i no es poden moure i la mateixa quantitat de boles (i dels mateixos colors) que es mouen lliurement per la capseta. Al llibre "Combinatoire, statistiques et probabilités de 6 à 14 ans" de T. Varga i M. Dumont (1973) podem veure un dibuix i un petita anàlisi de l'artefacte i de les possibles coincidències quan alineem les boles lliures al costat de les fixes.

Comenten la temptació de pensar que la probabilitat de tenir k coincidències es representa així:
quan en realitat la probabilitat de que hi hagi 5 coincidència, malgrat que petita, és major que la probabilitat de que n'hi hagi 4, que és 0. Aquesta reflexió és extensible a altres quantitats de boles (n) ja que 1/n! = P(k=n) > P(k=n-1) = 0.

En realitat, la probabilitat de tenir k coincidències quan n= 5 es representa així:
En veure aquest gràfic ens ha sorprès que la diferència major en comparació al que proposàven Varga i Dumont com a "intuitiu" no és tant al voltant dels valors 4 i 5 com dels valors 0 i 1. Això es pot apreciar millor en analitzar la representació anterior per a altres quantitats de boles (n variant de 2 a 10)
Representació de la variació de la probabilitat de tenir k coincidències en els casos n=1 a n=10
Es així que ens hem preguntat quina relació hi ha entre P(k=0) i P(k=1) per a diferents valors de n i hem vist que:

  • P(k=0) < P(k=1) quan n és senar i P(k=0) > P(k=1) 
  • la diferència entre les dues probabilitats és 1/n!

Aquestes conclusions deriven de les dades següents:

  • A000166 llista de valors donada per l'OEIS per als desarranjaments, o sigui, permutacions en les quals cap dels elements del conjunt no apareix en la seva posició original
  • A000240 llista de valors donada per l'OEIS per a les permutacions que tenen un únic element del conjunt que apareix en la seva posició original
  • R(n,k) és el nombre de permutacions de n elements en què exactament k elements estan en les seves posicions originals (desarranjaments parcials).
En el joc "Cursa de probabilitat" de la Caixa de Varga apareixen quatre targetes relacionades amb aquest artefacte (n=6):
Font: Perímetre

L'artefacte ofereix la possibilitat d'afegir uns trossets de plàstic que limiten la llibertat de moviment de les boles lliures i que amplien la possibilitat de proposar preguntes de probabilitat

10 de gener de 2018

Pràctica de divisions decimals

Després d'haver introduït la divisió decimal fent repartiments de diners i d'anar, poc a poc, independizant-se del context arriba el moment de practicar el procediment. Aquesta pràctica es pot en un fer en un ambient de resolució de problemes a partir de la proposta de petites investigacions. A continuació relatem un exemple portat a l'aula.

Primer de tot es van proposar unes quantes divisions de nombres enters de dues xifres entre 9 (23:9, 32:9, 45:9, 56:9, 65:9, 71:9 i 17:9) i a partir dels resultats obtinguts es va veure que és molt habitual que el resultat sigui un decimal periòdic i que el període no canvia quan s’invertien les xifres del dividend. Com a ampliació a aquesta primera tasca es va suggerir una pregunta: passarà el mateix amb nombres de tres xifres?

En la discusió de tancament de la tasca es va concluoure que en dividir un nombre natural entre 9 havia dos possibilitats: el resultat era un nombre enter o el resultat era un nombre decimal periòdic i que aquest periode coincidia amb el residu de la divisió entera


Després del treball fet amb el divisor 9 es va proposar investigar que passava amb altres divisors Què passa en dividir un nombre enter entre 3? Quines possibilitats hi ha? 
 


Què passa en dividir un nombre enter entre 2? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 4? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 5? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 6? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 8? Quines possibilitats hi ha?


Què passa en dividir un nombre enter entre 7? Quines possibilitats hi ha?


Com sempre que fem investigacions hem de tenir clar que les conclusions a les que arribem són conjectures que poden ser molt febles si els experiments que fem són pocs o poc representatius.


Cometre errades en aquest tipus de context no ha desanimar a cap alumne per dos motius: l’objectiu de practicar divisions decimals ha estat plenament assolit i cometent aquest tipus d’errades ens apropem a entendre com es validen les afirmacions matemàtiques.

Una altra qüestió que ens vam plantejar era analitzar com es feien aquestes divisions amb calculadora. Vam començar plantejant quatre divisions:


I vam preguntar què tenien en comú els resultats obtinguts:


A continuació vam proposar que fessin les mateixes divisions amb calculadora i van trobar un resultat que els va sorprendre molt:



Inspirats en la tasca Noodle Whack, per acabar la classe vam proposar que els alumnes, amb l’ajuda de la calculadora i el que havien après sobre com s’han de llegir els resultats que dóna aquesta eina, trobessin noves divisions entre nombres enters que tinguessin un quocient decimal format per una mateixa xifra repetida: