24 de desembre del 2011

Vins per Nadal i Reis

La Laura Morera, de nou, ens envia un suggeriment que en dies com aquests i pensant en objectes de regal és molt adeqüat: una ampolla de vi dedicada al nombre π.

enllaç 12/2011
La Laura cita un post del bloc de Joaquin Sevilla, on diu:  En un supermercado hemos encontrado esta tarde un vino muy sorprendente, y no por el vino en si (que aún no he probado), sino por la marca: PI 
La etiqueta es una espiral con un montón de decimales de PI en color blanco, menos unos cuantos en rojo que dibujan la letra griega.
En la contraetiqueta vemos que es vino Español de la uva Concejón; descubro ahora que es una variedad poco conocida que se conoce también como Moristel, Juan Ibañez o Miguel de Arcos. Dicen que es una selección de 3,1415 hectáreas de la variedad Concejón, pero no hay referencia a la bodega o localidad de producción. En todo caso es una curiosidad deliciosamente FRIKI.


A partir d'aquesta idea hem buscat regals que tinguin relació amb el món de les Matemàtiques i el vi. Us presentem uns quants exemples no sabem si frikis o no.

Comencem per tres vins: el 2πr que no podem deixar mai de banda en una taula matemàticasobre tot si és rodona, el Sixseeds on el grafisme ens recorda amb llavors que 6 és un nombre triangular i finalment, el Möebius, que potser té una versió sofisticada en que l'envàs és una ampolla de Klein.


 Si el que voleu és fer un pack d'ampolles un bon consell és triar les tres ampolles de "quattro cinco neuf" on el disseny d'etiqueta és un exemple bonic de com registrar comptatges.
 Eternium que curiosament és el nom d'un vi jove i Enigma ens volen advertir sobre els misteris de la matemàtica. 


 Per acabar no volem deixar de banda el món de les fraccions.
 
Aquesta petita mostra ha estat treta, en la seva gran majoria, del tag "vino tinto" de la increïble pàgina  Cocina y MatemàticaHi trobareu molts més vins dels aquí citats amb la seva fitxa corresponent, a més de tot un món d'artefactes i altres relacions entre la cuina i les Matemàtiques. Per tant considerem demostrat, com indica l'etiqueta de l'ampolla de vi que apareix a sota, que hi ha un extens camp de possibilitats per regalar vins amb aroma matemàtic.




Per als qui els ha tocar la loteria
Vins apart, si teniu diners i us voleu regalar un cotxe, no hi ha res que ho impedeixi, però si us decidiu no ho dubteu: heu de triar el "Mazda-PI"  on hi apareix el nombre π amb 27 xifres decimals.


Bones festes i bons regals.

22 de desembre del 2011

Un post nadalenc

El triangle de Pascal és un espai fantàstic on trobar regularitats numèriques, una d'elles té molta relació amb els símbols d'aquestes dates i creiem que pot ser una bona manera de dessitjar-vos bones festes.

Una de les moltes maneres de generar aquesta disposició de nombres és la de posar nombres per files de tal manera que en la fila n van n nombres, el primer i el l'últim són el nombre 1 i els altres s'obtenen sumant dos nombre de la fila superior: el que té directament a sobre i el que està a la seva esquerra. Podeu trobar més informació sobre aquest triangle aquí.
Una de les regularitats que els alumnes poden detectar en aquest triangle és la següent:



La suma d'elements consecutius d'una columna començant des de l'1 dóna com a resultat el nombre que està immediatament a baix a la dreta de l'últim element sumat.


Intentant entendre perquè això es verifica en el cas d'un mitjó concret es pot veure que el raonament fet és aplicable a qualsevol altre i aquest raonament està a l'abast dels alumnes més grans de l'ESO.


Ja tornarem en un post futur sobre més regularitats que es poden trobar sobre aquest triangle.
Bones festes!

20 de desembre del 2011

Any nou 2012 i calendaris

El final del primer trimestre o l'inici del segon, convida a parlar de l'any i dels calendaris. Fabricar calendaris 3D que tinguin com a suport poliedres pot esdevenir una bona activitat. Us presentem dues propostes.

La primera proposta presenta dos calendaris, el primer construït sobre el dodecaedre regular i el segon sobre el dodecaedre ròmbic. L'activitat està enfocada clarament a treballar Geometria de l'Espai.


La pàgina que apareix a la figura inferior ens remet a enllaços (Wikipedia) molt interessants que porten informació sobre les figures, el que ens permet discutir, conèixer coses noves i plantejar preguntes per consolidar coneixements, com per exemple, si tots dos són o no poliedres regulars i per què.

per accedir a la pàgina cliqueu sobre la imatge

La segona proposta ens ofereix una col·lecció de 13 calendaris diferents, cosa que ens permet ampliar l'oferta anterior, encara que en aquest cas la informació sobre les figures l'haurem de buscar nosaltres o encomanar als alumnes que cada grup s'encarregui d'una, si volem continuar treballant de la mateixa manera que en la primera proposta.

per accedir a la pàgina cliqueu sobre la imatge

Sobre el 2012,  calendaris.
Comencem per la informació amb la que presenta la Wikipedia l'any que estem a punt de començar: "El 2012 serà un any de traspàs. Aquest és l'últim any computat del Calendari maia, que s'acaba el 21 o el 23 de desembre del 2012 a les 12 del migdia".
http://yelosworld.wordpress.com/
Parlant d'anys de traspàs, de la diferent durada dels mesos i de calendaris en general, que millor que recollir una xerrada de Ton Aubanell sobre calendaris, distribuïda en dos parts. Ens hi ha fet pensar la lectura de l'acabat d'estrenar twitter de Xeix (@SBMXEIX) que us recomanem seguir. 



Demanem la vostra ajuda
Buscant informació sobre la dita "qui dia passa, any empeny" o també "qui any passa dia empeny" (hem trobat referències a les dues versions) totes les explicacions del seu sentit estan enfocades a la idea de la constància del dia a dia per assolir objectius més grans. El nostre dubte és si té algun orígen lligat amb les Matemàtiques, ja que si el 23 d'abril d'un any cau en dilluns, el 23 d'abril de l'any següent cau en dimarts (si no és de traspàs) el que coincidiria amb la formulació de la dita. Esperem comentaris.

Feliç 2012 tingui les cares que tingui el vostre futur calendari personal.

13 de desembre del 2011

El teorema de Pitàgores: aigua i puzles

Fa uns dies ens va arribar via Twitter (recordeu que ens podeu seguir a @puntmat) l'existència d'aquest vídeo on es materialitza la relació establerta pel teorema de Pitàgores:  


La visualització d'aquest vídeo ens va recordar un frustrat intent que vam fer fa un parell d'anys per tenir aquest dispositiu (vam rebre l'encàrrec de materialitzar entre altres qüestions matemàtiques el teorema més famós de l'ensenyament obligatori però, malhauradament, després d'haver presentat la nostra feina el projecte no va ser portat a terme).  

La diferència del dispositiu del vídeo amb aquell que vam dissenyar era que l'aigua que hi ha als quadrats petits fos de diferent color i que el líquid de cada color omplís una part del quadrat construït sobre la hipotenusa tal com apareix en la següent figura:

D'aquesta manera es suggereix la justificació donada pel propi Euclides al teorema de Pitàgores: 

Imatge de les pàgines on apareix la demostració del Teorema de Pitàgores en la edició de "Els Elements"
d'Oliver Byrne (1847) “The first six books of the Elements of Euclid, in which coloured diagrams and 
symbols are used instead of letters for the greater ease of learners” Podeu veure les imatges més
grans
aquí i podeu accedir a una versió online del meravellós llibre de Byrne aquí.

També es pot experimentar aquesta justificació mitjançant aquest applet.

Segurament a la majoria de vosaltres us passa el mateix que a nosaltres, us encantaria poder portar a l'aula un dispositiu com el que hem estat comentant, però no en teniu cap a l'abast. El que segur que teniu possibilitat de portar a l'aula són puzles. Tal com es pot veure en la següent experiència de classe, creiem  molt en la virtut dels puzles perquè els alumnes s'apropin a aquest teorema.

El teorema de Pitàgores a la classe de segon d'ESO

6 de desembre del 2011

Que parlin ells (2): "Quan multipliques, creix"

Una de les constants que envolten als problemes aritmètics escolars és la pregunta dels nostres alumnes: "És de sumar o de restar?". De vegades davant de preguntes com aquestes contestem amb preguntes clau del tipus "el resultat serà més gran o més petit?". Aquest tipus de raonament que porten implícita l'afirmació de que quan sumes el resultat és sempre més gran que els sumands és vàlida quan treballem amb nombres naturals però no ho és quan a Secundària els alumnes comencen a treballar amb nombres enters.

Passa el mateix en el cas de la multiplicació, amb la diferència que abans d'acabar la Primària els alumnes ja tenen al seu abast contexts per rebatre la falsa creença de que "quan multipliques el resultat serà més gran que els factors". És responsabilitat de nosaltres els mestres apropar-los a aquests contexts i fer-los veure que aquest tipus d'afirmacions no són correctes. 

Maleïts mercats!
Tot i que amb els temps que corren la frase està de moda, en aquests cas ens referim al mercat de barri on anem a comprar i que quan treballem decimals a l'escola ens serveixen de context per proposar problemes a classe. I és en aquest context quan a l'hora de dir el preu de 12 croissants a 0,50 € podem explicitar que en fer el càlcul el resultat és més petit que 12... i han multiplicat.

foto: artepan.com

Aprofitar un fet sorprenent per introduir el cas de les multiplicacions per nombres entre 0 i 1 és tenir "ofici" i a més, ens permet entrar de ple a crear conversa a classe.

Què parlin ells!
A l'activitat anterior es parteix de la contradicció entre resultat esperat i l'obtingut i la contradicció que això pot representar en referència a les seves idees prèvies. Si un cop discutit això volem anar més enllà podríem plantejar una activitat, a un nivell més el·laborat, com la següent:

Multipliquem el nombre que està en el punt vermell pel nombre que està en el punt verd sobre la línia numèrica. On queda el resultat?


El problema és complex ja que implica elaborar una resposta que tingui en compte que cal formular la resposta definint tres casos diferents
  • Si els dos nombres són més grans que 1
  • Si un és més gran que 1 i l'altre més petit que 1
  • Si tots dos són més petits que 1
  • Pot ser resultat el punt vermell? i el verd?
Evidentment començar així respon al raonament adult. Segurament els alumnes, provant amb la calculadora aniran fent multiplicacions buscant que els resultats surtin a la dreta, al mig o a l'esquerra dels dos punts (què passa si un dels dos punts està sobre el nombre 1?). Serà al final d'aquesta discussió grupal, quan escriguin la conclusió, que s'acostaran més o menys al raonament adult.

Afegim a continuació algunes imatges dels resultats d'aplicar aquesta activitat a l'aula

La proposta
Exemples de solucions trobades pels alumnes
Observar en la imatge del mig que l'alumna opta per fer servir el 0 com a estratègia perquè un dels resultats coincideixi amb el més petit dels factors i no l'1 com els seus companys