22 de maig de 2018

Geoplans triangulars i teorema de Pick

Al post Geoplans i pensament exhaustiu ja vam parlar de geoplans de trama quadrada i de trama circular. Fins i tot en el post Joc del geoplà ja apareixia un geoplà de trama isomètrica. Ara reprendrem l'ús d'aquest material per fer alguns comentaris que poden donar lloc a interessants propostes de classe.

Anomenarem geoplà triangular de mida n a un tauler triangular amb n(n+1):2 claus distribuïts de manera que formen n² triangles equilàters iguals

1) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees fent servir com a unitat l’àrea d’un triangle bàsic de la trama


2) Troba tots els quadrilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 3 i calcula les seves àrees
3) Troba tots els triangles diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 4 i calcula les seves àrees


A partir de les dades anteriors podem buscar adaptar el teorema de Pick, molt conegut per calcular àrees en geoplans estàndard, per a trames isomètriques:

B és la quantitat de punts del geoplà que toquen en perímetre del polígon
I és la quantitat de punts del geoplà que estan a l'interior del polígon

Pot ser ens faria servei analitzar alguns polígons que deixéssin 2 punts del geoplà a l'interior, aquests polígons només es troben en geoplans de mida superior a 4. Aquí hi ha alguns exemples en un geoplà triangular de mida 5:


 
4) Troba tots els triangles equilàters diferents que es poden construir en un geoplà triangular de mida 6 i calcula les seves àrees

Si no considerem com a iguals dos triangles cuando estan col·locats de manera diferent al geoplà la quantitat de solucions seria 70 (veure A000332 i la imatge associada)

Afegides aquestes dades a la taula donen més pes a la conjectura de que l'àrea és 2 unitats més petita que la suma de B + 2 I, o sigui, A = B + 2I - 2 (tenint com a unitat d'àrea el triangle més petit que forma la trama)

  • Hi ha una demostració d’aquest resultat aquí
  • Observar que en geoplaans de trama quadrada  A = (B + 2I- 2) : 2 (tenint com a unitat d'àrea el quadrat més petit que forma la trama)

8 de maig de 2018

Qui és l'intrús?

Una de les taques amb més èxit durant les trobades de formació de mestres són les QUELIs. Els mestres de seguida veuen el seu potencial per fer parlar als alumnes i intueixen com s'engrescaran els alumnes buscant arguments per defensar les seves respostes. O sigui, les QUELIs són tasques ideals per valorar les dimensions "comunicació i represantació" i "raonament i prova".

Què són les QUELIs?
Per explicar què significa QUELIs o WODB i quines característiques tenen aquestes tasques, per comentar com podem portar-les a l'aula i quines variants hi ha creiem que el millor es remitir-vos al resum de la presentació que van fer @davidobrador i @ccbcnmvd al C2EM 2016:



Exemples de QUELI's
Hi ha exemples per a totes les edats i relacionades amb tots els blocs temàtics. A més de la pàgina "oficial" que recull exemples d'aquestes tasques: http://wodb.ca, a Twitter, sota l'etiqueta #wodb els usuaris comparteixen les que dissenyen ells i les que proposen en les seves aules:


Comentarem la nostra experiència amb tres QUELIs de geometria que vam portar a l'aula


Anomenarem A a l'objecte que està a dalt a l'esquerra, B el que està a dalt a la dreta, C el que està a baix a l'esquerra i D a l'últim

Amb aquesta proposta surten arguments relacionats amb

  • els eixos de simetria: B és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals són eixos de simetria o C és l'intrús perquè és l'únic que té un únic eix de simetria o D és l'intrús perquè és l'únic que no té cap eix de simetria  
  • les diagonals: A és l'intrús perquè és l'únic que té les diagonals iguals tallant-se al punt mig o  és l'intrús perquè és l'únic que té diagonals perpendiculars o C és l'intrús perquè és l'únic que les diagonals no es tallen al punt mig
  • els costats: C és l'intrús perquè és l'únic que té tres costats de mides diferents o A és l'intrús perquè és l'únic que té costats perpendiculars o B és l'intrús perquè és l'únic que té tots els costats igual
  • els angles: A és l'intrús perquè és l'únic que té tots els angles iguals o C és l'intrús perquè és l'únic que té un angle obtús oposat a un angle agut
  • ... 


Aquí també els arguments han estat variats

  • A és l'intrús perquè és l'únic acutangle, o l'únic que té com a eix de simetria la diagonal del geoplà
  • B és l'intrús perquè és l'únic escalè, o l'únic que té un costat de longitud major que 4
  • C és l'intrús perquè és l'únic rectangle o l'únic que la seva frontera només té contacte amb tres punts del geoplà
  • D és l'intrús perquè és l'únic que no té punts del geoplà a l'nterior, o l'únic que té un costat de longitud 4



En aquest cas, a més de convidar als alumnes a exposar arguments sobre perquè cadascuna de les figures era "l'intrusa" vam plantejar que pensessin què tenien en comú les peces vermelles, les verdes i sobre tot les blaves. El fet de reconeixer que el mateix color indicava mateixa àrea els va donar nous arguments: C és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 9 triangles verds o D és l'intrús perquè és l'únic que té àrea 8 triangles verds.

3 de maig de 2018

Freqüència de lletres

Creiem que les llengues són un context pertinent i interessant per fer estadística a l'aula:

Podem estudiar els noms dels alumnes
  • llargària


En aquestes dues fotografies apareixen els alumnes de #eso1sdk (curs 16-17) que també van estudiar els noms dels alumnes d'altres grups de l'escola (cada petit grup d'alumnes de 1r d'ESO va estudiar una classe) donant lloc als següents dos gràfics:
  • lletra inicial

  • lletra final



Respecte a l'anàlisi de la lletra final dels noms trobem molt interessant aquest gràfic


També podem estudiar la freqüència d'aparició de vocals en texts escrits en diferents llengües.

En aquest vídeo gravat durant la sessió dedicada a l'Estadística en el mòdul 2 del curs ARAMAT vam exemplificar com fer aquest estudi:


Aquest vídeo de la col·lecció Videomat també tracta aquest tema:


El @Simon_Gregg va proposar als seus alumnes analitzar la freqüència de totes les lletres basant-se en una proposta de @mburnsmath


El detonant per escriure avui aquest post que fa molt que teníem en ment és aquest interessant fil trobat a Twitter on @eliasmgf, professor de llengua castellana, vol justificar en base a la freqüencia de les lletres la norma ortogràfica: "Las palabras agudas (no monosílabas) se acentúan si terminan en vocal, ene o ese". La base de la seva argumentació és el gràfic de "distribución de las letras dentro de las palabras del español" malgrat que aquí les freqüencies no són absolutes.


Comentari final:
En aquest post estem interessats en "lletres" per això hem esmentat l'estudi de la quantitat de lletres o de les lletres inicials i finals dels noms de persones. Però els noms de persones poden ser un motiu d'estudi per si mateixos. 

En aquest sentit, trobem interessant un article de diario.es sobre noms tradicionals vs moderns on apareixen aquests gràfics: