31 de desembre de 2013

Tomografies geomètriques

Entenem la tomografia com l'obtenció d'una sèrie d'imatges resultants de tallar un cos amb plans equidistants i paral·lels al pla sobre el que es recolza el cos. Per començar en presentem dos exemples: la tomografia d'un prisma de base quadrada i la tomografia d'una piràmide amb la mateixa base i altura.


El següent applet permet visualitzar l'obtenció d'aquestes seccions i també les d'un octaedre regular:
http://demonstrations.wolfram.com/CrossSectionsOfThreeSolids/
Com seria les tomografia d'un prisma de base hexagonal? I d'una piràmide truncada?

En comparar les  tomografies d'una semiesfera i d'un con, ens cal una anàlisi una mica més profunda: en els dos casos es tracta de cercles de radi decreixent, però les velocitats d'aquest decreixement són diferents:


Com seria la tomografia d'un donut? Quin dibuix auxiliar caldria fer i quines mides caldria prendre per fer-la correctament?
En els següents dos vídeos trobareu idees per elaborar les tomografies de dos poliedres regulars obtingudes a partir de l'applet Platonic Solids-Slicing



Com seria la tomografia d'un antiprisma de base hexagonal?

Per acabar podem esmentar les tomografies de cossos formats per cubets, que es converteixen en la seva descripció per capes, una bona manera de il·lustrar situacions com la qua apreixa Visualització amb cubets (II) 
http://demonstrations.wolfram.com/FindTheNumberOfCubesRemoved/
(quan es veu un quadradet negre vol dir que s'ha extret tota la fila
de cubets, de dreta a esquerra, de davant a darrera o de dalt a baix)




Observar que en aquests casos en que hi ha cubets "voladors" aquesta descripció per capes no es pot substituir per una descripció del tipus vista zenital amb informació d'alçades com la que es va analitzar a Quadrats màgics amb retenció de líquids  






Es pot practicar amb aquest tipus de descripció amb els següents applets:
  • De la col·lecció del Juan Garcia Moreno:
http://dl.dropboxusercontent.com/u/44162055/manipulables/geometria/codificapoli.swf
  • Del projecte Nrich:
http://nrich.maths.org/768
  • Del projecte Wolfram Demostrations 
Laberints tridimensionals la idea és anar del punt vermell al blau considerant que
les tres imatges corresponen a tres plantes del laberint (la superior a l'esquerra)
Els moviments en una mateixa planta són els habituals en un laberint, però aquí un
quadrat blanc indica un forat al terra que permet intercanvis amb la planta inferior

13 de desembre de 2013

Matemàtiques per preparar el Nadal

Us proposem dues activitats que us poden donar l'oportunitat de guarnir la vostre classe amb motius nadalencs.


El Pep Bujosa ha fet un applet amb Geogebra per complementar aquesta proposta:
Cliqueu aquí per accedir a l'applet
Cliqueu aquí per veure una aplicació d'aquesta proposta al blog ORCA



Cliqueu aquí per veure treballs d'alumnes de 5è de Primària
de l'Escola Sadako en relació a aquesta tasca


8 de novembre de 2013

Calculadora trencada

Al nostre nou blog dedicat als applets (ja l'heu visitat, oi?) tenim una entrada amb el mateix nom que la present entrada. Allà parlem d'aquestes calculadores que ens donen fantàstiques oportunitats per analitzar propietats de les operacions aquí parlarem de com es pot portar aquesta activitat a l'aula sense fer servir ordinadors.

Als quadernn de càlcul 3x6.mat editats per Barcanova ja vam incloure algunes propostes en aquest sentit:




Aquesta setmana, amb la Cristina i la Marta, vam proposar aquestes tasques als seus alumnes de 5è de l'Escola Sadako i les discussions van ser riquíssimes.

Primer vam haver d'aclarir molt que no volíem una resposta aproximada sinó exacte ja que la primera proposta dels alumnes per fer 35x14 van ser 36x13!! També van presentar-se algunes confusions perquè alguns alumnes van calcular 35x14 amb paper i llapis i com els resultat era 490 proposaven operacions amb aquest resultat sense fer servir el 4, per exemple: 500-10. Però després d'haver fet aquests aclariments i haver resolt un primer exemple entre tots, la classe va funcionar molt bé.

Alguns exemples de les produccions dels alumnes (malauradament el que no podem presentar aquí són les justificacions verbals dels alumnes):
L'enorme majoria dels alumnes recorrien (sense saber-ho i tal com es veu a la imatge) a la
propietat distributiva, ja sigui en relació al primer o al segon factor i no vam veure exemples
d'aplicació intuïtiva de la propietat associativa com seria calcular 35x14 fent 35x7x2
Una manera de propiciar que pensin més d'una manera de fer el càlcul alternatiu va ser
demanar-los que treballèsin en parelles però que cadascú dels integrants de la parella
havia d'escriure una solució diferent al seu full.
Després de felicitar a l'Aina per la fantàstica justificació gràfica de la resposta
(5 grups de 44 és el mateix que 5 grups de 33 als que va afegir els 55 sobrants),
vam discutir per què 33x5=165+55=220 no era una bona manera d'expressar-la
Com a material de recolzament es poden utilitzar calculadores convencionals posant un gomet a sobre de les tecles que no es poden utilitzar (o anar recol·lectant calculadores d'aquestes que en totes les nostres aules van perden tecles!! no les llenceu mai més!!)

Afegit a posteriori (16/11/13): els alumnes van gaudir tant d'aquesta activitat que uns dies després els vam proposar fer en paper la proposta d'altre applet de calculadora trencada (un que no focalitza tant en propietats de les operacions però sí en altes aspectes importants de l'aritmètica escolar) proposat al blog Cut the Knot : escriure els nombres de l'1 al 15 en calculadores en les que només funcionen unes poques tecles.

6 de novembre de 2013

Matemàtiques anant pel carrer (7): Mesures

A la pàgina central del diari Ara de mitjans d'octubre apareix una fantàstica foto, com totes les que hi posen, que ens ha donat peu a dedicar-li un post.

Al peu de foto hi podem llegir:
Mirades 
Una presa gegant 
Fotografia Juni Kriswanto/AFP 
El tauró balena, el peix més gros dels oceans - pot arribar a fer més de 15 metres de llargada -, està en perill d'extinció, però encara està permès pescar-lo en alguns indrets com la illa de Java. A la imatge, un nen camina per sobre d'un exemplar capturat a la costa de Surabaya.

El text dóna per parlar de moltes coses: de Matemàtiques, de les espècies en perill d'extinció, de la   localització de Java al mapa, etc. Aquí ens centrarem més en la part de Matemàtiques. Les activitats que proposem van pujant de to (és a dir de nivell d'escola) a mesura que avança el post.

Com és de gran un tauró balena?
Quinze metres ja és una bona resposta per encetar una conversa ja que podriem replicar amb noves preguntes:  (per exemple, cabria dins de la classe? o, si el volem dibuixar a mida natural en un paper d'embalar, a quina paret de l'escola cabria?).

Podem treballar també amb aquesta imatge (i la informació que acompanya) treta de wikipèdia: http://ca.wikipedia.org/wiki/Taur%C3%B3_balena

En aquest cas la presència del escafandrista pot ser un element que ens permeti fer hipòtesis sobre l'estimació de les mesures.

Quants pams, passes o nens estirats al terra necessitaríem per aconseguir una llargada de la mida del tauró balena? La idea mare d'aquesta línia de preguntes ens l'hem copiada del treball fet a l'Escola Sadako de Barcelona per la mestra Assumpta Valls quan estudiaven el tigre.
Imatges de l'activitat sobre la mida del tigre esmentada al paràgraf anterior
Dibuixem-lo?
Podem plantejar dibuixar el tauró balena en un paper d'embalar de 15 metres de llarg, per després retallar-lo, que serà la manera més clara d'adonar-se'n de la mida del "bitxo". Això presenta un problema interessant lligat amb la proporcionalitat: serà prou ample el paper d'embalar perquè hi càpiga d'ample? Si no ho és podem fer-ho en "dos pisos"? o encara en necessitem més? Aquí la qüestió fonamental es calcular quina deu ser l'amplada del tauró si la llargada és de 15 metres

Tant per atacar el problema de calcular l'amplada o per reproduir-lo a mida original una bona estratègia és fer-ne un dibuix en paper quadriculat. Podem disposar de quadrícules fotocopiades sobre acetat transparent que ens permetin treballar (aquestes plantilles són molt útils a l'hora de treballar mesures de superfície en cursos superiors de Primària) o senzillament amb una imatge com la de sota.

El disseny de la quadrícula no és innocent, ja que hem triat que tingui 30 quadrats de llargada, el que fa que cada quadrat representi una mesura de mig metre de costat a la realitat. Amb aquesta plantilla ja podem solucionar el problema de l'altura.
Fins i tot, si el volem construir pintar el dibuix fet a mida natural, la quadrícula ens ajudarà molt a planificar la distribució de les tasques assignant a cada nen/a o parella un quadrat de mig metre de costat.
Donar-ho preparat o implicar als alumnes en les decisions i planificació del treball ja és cosa de l'estil de mestre o d'escola que sigueu. Les decisions implicades que hi veiem són
  • Triar la quadrícula com a instrument idoni pel nostre treball.
  • Decidir si la farem servir per la representació del tauró a mida natural o pel càlcul de la seva amplada. 
  • Decidir el nombre de quadrats que volem que faci de llargada perquè sigui fàcil de comptar mesures i a més per que si el volem pintar posteriorment els quadrats siguin d'una mida amb la que sigui fàcil treballar
  • Fer una previsió del paper d'embalar necessari per fer el mural
  • Decidir quants quadrats pinta cada parella d'alumnes i preveure quants en necessitem per fer-ho
  • Veure la necessitat d'inventar algun codi d'identificació de cada quadrat per poder saber on els hem de posar un cop els pintem, etc
Un cop acabada aquesta proposta (evidentment no experimentada) els autors del blog, vetllant per la salut de la maltractada professió docent, aconsellem que potser seria millor fer-ho amb una foto d'un lluç palangre o una "merluza del norte", que caben en un DIN A2, cada parella de nens fa un peixet, ho enganxem a la paret reproduint un banc de peixos i quedem contents, però fer el tauró balena és un repte apassionant. Si algú s'anima a fer-ho que ens avisi.

17 d’octubre de 2013

Problemas cooperativos


En aquesta entrada volem recollir alguns problemes que conviden a repartir la tasca entre els alumnes de la classe per arriba a una resolució "cooperativa". 

A l'entrada Convertir la pràctica reproductiva en productiva ja apareixia un exemple d'aquests problemes: "Quin és el nombre de dues xifres que té més divisors?" Un problema que creiem que invita a repartir la subtasca "troba tots els divisors de x" entre els diferents alumnes de la classe.

  1. A l'entrada Materials per treballar la probabilitat: les monedes vam parlar de la importància de que els alumnes experimentin i conjecturin en relació a experiments aleatoris. Una activitat típica en aquest sentit podria ser: Si llancem 200 cops tres monedes (una de 0,10€, una de 0,20€ i una de 0,50€) quants cops sortiran els tres nombres cap a dalt? Aquí a més d'organitzar-se en grups per tal de repartir l’elevat nombre de llançaments que s’han de fer s'ha de decidir com faran l’enregistrament dels resultats de l’experiment. 
  2. Ens interessa conèixer quina és la vocal que més s’utilitza en català. Tenen els alumnes alguna conjectura al respecte? Invitem-los a investigar: com que no podran revisar tots els textos escrits en català, hauran de triar una mostra, organitzar-se per fer el comptatge (per exemple d’una línia del text cadascun) i enregistrar les dades. Haurien de comparar els seus resultats si trien textos diferents, escrits per ells mateixos, extrets d’Internet, d’una novel·la, d'un llibre de text. També poden fer servir les eines dels processadors de text per fer comptatges de textos llargs i comparar-los amb els comptatges fets "a mà". Per últim es pot suggerir agafar textos en castellà, en anglès, en francès i especialment en italià per fer comparacions.
  3. Ara ens interessa investigar el potencial de les potències de dos per generar nombres parells: es podran escriure tots els nombres parells fins al 120 a partir de sumes entre els nombres que apareixen a la imatge? Després d'haver repartit la feina i donat temps per portar-la a terme arriba el moment de la posada en comú: Heu trobat en algun cas més d’una solució possible? Heu fet servir alguna targeta més d'un cop? En quins nombres heu hagut de fer servir la targeta 26? En quins nombres no heu hagut de fer servir la targeta 21? Quina targeta heu fet servir més 23 o 24? Podríeu escriure nombres més grans que 120 amb aquestes targetes? Fins quin nombre parell podríeu arribar? Si us donessin l’oportunitat d’afegir una targeta, quin nombre hi escriuríeu per aconseguir ara tots els nombres, senars i parells, fins al 120?
  4. Com es comporten els resultats del següent mecanisme: “es tria un nombre de dues xifres i es divideix el nombre triat entre la suma dels seus dígits”. Aquí la posada en comú que segueix a la feina dels alumnes també pot ser molt rica: Quin és el resultat més petit que es pot obtenir? I el més gran? Quin és el resultat que més es repeteix? Què hi ha més: resultats enters o decimals? Entre els resultats decimals, que hi ha més: resultats que tenen infinites xifres decimals o decimals exactes? Entre els resultats que són decimals finits: quina és la major quantitat de xifres decimals que podeu trobar-hi? Si agafem un nombre a l’atzar què és més probable: obtenir un resultat més petit que 5 o més gran que 5?

En cadascun dels exemples val la pena reflexionar sobre quina és la millor manera de repartir les tasques entre els alumnes. En ocasions pot ser el mestre qui faci aquest repartiment atenent a les característiques dels alumnes involucrats o pot ser part de l'activitat que els alumnes facin un repartiment "equitatiu" del volum de feina involucrat.

14 d’octubre de 2013

Convertir la pràctica reproductiva en productiva

Durant les vacacances d'estiu vam veure a Numberplay (entrada de cada dilluns del blog d'entreteniments del NYTimes) la proposta d'un puzle anemenat "The angle maze" on es comentava com un grup d'assesors proposaven als mestres que els ensenyessin les activitats més "avorrides" que feien a classe i entre tots buscarien maneres de fer-les més interessants i productives.

Expliquen com van reconvertir una fitxa sobre classificació d'angles en el següent problema: "Sobre una circumferència marcar 10 punts equidistants i intentar unir-los tots amb una línia contínua tancada de manera que en tots els punts es formen angles obtusos"

Després de gaudir una estona buscant nosaltres mateixos les diferents solucions del problema hem pensat que pot ser aquest problema es posa massa difícil si demanem l'exhaustivitat de la que hem estat parlant en altres entrades, però no perd interès si demanem que trobi dos solucions "diferents".

Creiem que també es pot demanar als alumnes que intentin trobar maneres d'unir els 10 punts de manera que:
              • tots els angles siguin aguts
              • el nombre d'angles rectes sigui màxim
              • la suma d'angles sigui màxima o més difícil: que sigui mínima 
(Segons The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences hi ha 9468 maneres diferents d'unir els 10 punts!!)


Creiem també que és una activitat ideal per fer servir un geoplà circular però imaginem que és dificil que tinguem un amb exactament 10 claus i el geoplà virtual de mida adaptable del que vam parlar a Geoplans i pensament exhaustiu no permet dibuixar-hi polígons còncaus :-(

Per últim voldirem comentar que si preferiu fer aquesta activitat amb menys punts els casos possibles són moltíssims menys i es pot demanar exhaustivitat en les respostes. Per exemple, amb 6 punts només hi ha 12 maneres d'unir-los (tal com es veu en la següent imatge: una d'elles té tots els angles obtusos, cinc d'elles els tenen tots aguts, n'hi ha 4 que tenen dos angles rectes, la suma d'angles màxima és 720º i la mínima és 240º)
http://demonstrations.wolfram.com/PolygonsOnNVertices/ 
En el post Pràctica productiva i pràctica reproductiva ja vam veure un exemple de com reconvertir activitats destinades a practicar destreses bàsiques en activitats en que aquesta pràctica es fa com a part d'una tasca més propera a la resolució de problemes. Aquí  podem afegir dos exemples més:

Un exemple de divisibilitat
Quin és el nombre de dues xifres que té més divisors? Imagineu quants exercicis del tipus "troba tots els divisors de x" hi ha aquí involucrats... potser massa per fer aquesta tasca de manera individual, per la qual cosa proposem fer-la en grups, ampliant d'aquesta manera les possibilitats de discussions (per exemple: com es pot repartir la tasca entre els integrants del grup? que un nombre sigui més gran que un altre implica que té més divisors?, pot haver-hi més d'una solució?, etc, etc)

11 d’octubre de 2013

Wiris, Simpsons i Fermat

Wiris és una calculadora, que es pot fer servir online, d'enorme potencial per treballar a l'aula. En aquesta entrada analitzarem únicament la possibilitat de treballar amb nombres de moltes xifres (cosa que no permeten altres calculadores que per nombres de més de unes 10 xifres ja fan sevir notació científica).

Versió simplificada de la Wiris suggerida per a Primària http://www.wiris.net/demo/wiris/ca/elementary.html
Per comentar la potencialitat d'una calculadora que permeti expressar nombres de tantes xifres exposarem un exemple d'una activitat inspirada per un vídeo de Numberphile (Fermat's Last Theorem & Homer Simpson) i una entrada del blog Gaussianos (El último teorema de Fermat y los Simpson) i proposada a alumnes de 3r d'ESO.

L'activitat comença presentant als alumnes l'enunciat del teorema de Fermat amb una imatge que apareix al vídeo abans esmentat i s'els demana que expressin aquest enunciat amb paraules.
Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans
Després s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 6 de la setena temporada de The Simpsons i s'els demana que expliquin per què aquesta igualtat, si fos certa, contradiria el teorema de Fermat.
Imatge del post del blog Gaussianos esmentat abans
Havent arribat a la conclusió de que no pot ser certa, es proposa als alumnes esbrinar per què hi apareix aquesta igualtat. Es suggereix començar fent els càlculs que allí apareixen amb calculadora:
Resultats obtinguts amb la calculadora del Google però anàlegs
als que s'obtindrien amb qualsevol calcualdora científica de butxaca
Semblaria que els resultats són iguals. Com a mínim, ja veiem que els dos resultats tenen la mateixa quantitat de xifres i que les 8 primeres coincideixen (sobre la novena no sabem si efectivament és un 3 o podria ser un 2 "arrodonit") però com que hi ha moltes xifres que no es veuen es proposa  repetir els càlculs amb la Wiris:     

O sigui que per sort, per la consistència del coneixement matemàtic, la igualtat que apareix a la sèrie és falsa. A continuació es proposa als alumnes cercar algun argument per justificar aquesta falsetat  sense necessitar una calculadora tan específica. Per arribar a aquest argument els proposem classificar els tres nombres involucrats (1782^12, 1841^12 i 1922^12) segons siguin senars o parells i deduir d'aquesta classificació que la igualtat és falsa (no pot ser que un nombre senar i un de parell donin un resultat parell).

Per acabar s'els ensenya una segona imatge corresponent a una escena del capítol 2 de la desena temporada de The Simpsons on torna a aparèixer una d'aquestes igualtats que sembla refutar el teorema de Fermat i es torna a demanar als alumnes que verifiquin que és una igualtat falsa. 

La falsetat d'aquesta segona igualtat és una mica més difícil de justificar perquè no només coincideixen la quantitat de xifres dels dos resultats i els 10 primers dígits de les seves expressions decimals sinó que també tenen el mateix últim dígits. Per tant, aquí la classificació de les potències en senars i parells no serveix però es pot verificar fàcilment que els sumands són múltiples de 3 i el resultat no!!
Còpia de pantalla durant el visionat del vídeo de Numberphile esmentat abans
Entrada redactada amb la col·laboració de la Gemma Garcia

7 d’octubre de 2013

Poliòminos i pensament exhaustiu

El mes passat vaig participar del VII CIBEM (Congreso Iberoamericano de Educación Matemática) a Montevideo. De les moltes activitats interessants en les que hi vaig poder participar (aquí n'hi ha un resum), vull aquí relatar un taller sobre poliòminos presentat per la Patricia Peralta i el José Salvador Carrasco de Bahia Blanca com a part de la sèrie sobre pensament exhaustiu que hem començat aquest curs
Van començar explicant que el terme poliòmino van ser inventat per Salomon Golomb i popularitzat per Martin Gardner

Després van definir els poliòminos com la unió de quadrats de la mateixa mida de manera que cada quadrat de la figura resultant ha de tenir un costat en comú amb un altre quadrat i a continuació van proposar als assistents que dibuixessin tots els tetròminos (poliòminos formats per 4 quadrats) possibles.

En aquest cas l'exhaustivitat requereix prendre decisions. Quina de les dues llistes és completa: la blava o la vermella?
Anomenaré a les peces blaves I, L, T, O i Z i a les peces vermelles I, L, L', T, O, Z i Z'
És interessant aquí fer notar el paper que hi juguen les experiències prèvies i l'ús de materials manipulatius: per persones que hagin jugat al Tetris com a videojoc (per exemple: aquí) la resposta és clarament la llista vermella, però per persones que hagin jugat a la versió de taula d'aquest joc, com que les peces materials permeten manipular-les, veuen innecessari duplicar les peces L, L', Z i Z'.

Observar que en les cares del dau apareixen els cinc tetròminos i una cara "comodí"

A continuació van proposar el problema de formar un rectangle amb totes les peces de la llista (ja sigui la vermella o la blava) i encara que va ser força ràpid que els assistents van decidir que era un problema impossible quedava per trobar una demostració d'aquesta impossibilitat. Van suggerir la demostració amb una imatge:


Si vull construir un rectangle amb les 5 peces, tindrà 20 quadrets d'àrea i si pinto aquest 20 quadrets com si fos un tauler d'escacs, 10 serien foscos i 10 serien clars. Tal com es veu a la imatge anterior les peces que he anomenat I, L, O i Z cobririen la mateixa quantitat de quadrets foscos i clars però la peça T no pot fer-ho i per tant amb les 5 peces és impossible construir un rectangle. L'argumentació per concloure que tampoc és possible fer-ho si afegim les peces L' i Z' és anàloga.

També vam treballar amb els llistats de tots els pentòminos i hexòminos. En els dos casos vam acordar treballar amb les listes curtes, o sigui, considerant iguals peces simètriques. 

En el cas dels 12 pentòminos vam veure que no només es podia construir un rectangle amb elles sinó que aquest rectangle no era únic.
commons.wikimedia.org
En el cas del 35 hexòminos van esmentar un altre problema que requereix exhaustivitat: trobar entre ells tots aquells que corresponen al desenvolupament del cub. Allí van esmentar les dificultats que troben els alumnes en aquesta tasca degut a la presència gaire bé exclusiva de desenvolupaments prototípicos en els llibres de text, en especial, el que apareix en el primer lloc de la segona fila en la següent imatge. 
Els 11 hexòminos que són desenvolupament d'un cub
commons.wikimedia.org
Comentaris posteriors:
Val la pena mirar aquest video del @eversalazar



Són molt interessant els problemetes de suma de poliòminos proposats per Erich Friedman:
http://www2.stetson.edu/~efriedma/puzzle/polyadd/
També hem publicat una sèrie d'applets sobre aquest tema a Poliòminos

4 d’octubre de 2013

Wolfram Demonstrations Project

Ja vam esmentar aquest projecte en un post anterior: Visualització amb cubets (II) però ultimament hem vist que hi ha moltes més de les seves animacions que estan relacionades amb entrades d'aquest blog.

La primera vegada que volem mirar una animació d'aquest projecte s'ha de baixar el Wolfram CDF Player que, sens dubte, és un pas que incomoda una mica però es fa només un cop a cada ordinador, és gratuït, no triga i creiem que paga la pena... A continuació us donem alguns exemples:
http://demonstrations.wolfram.com/TheGameOfBoxes/
http://demonstrations.wolfram.com/TheFourNumbersGame/
(encara que no és estèticament tan atractiva hi ha una altra animació relacionada
amb aquest problema http://demonstrations.wolfram.com/TheFourNumberGame/