29 de setembre de 2013

Des d'on està tirada la fotografía?

Llegint una de les entrades d'aquesta setmana del blog ORCA, la seva autora ens ha fet recordar una sèrie d'activitats sobre les quals encara no havíem parlat en el nostre blog: activitats que relacionen vistes amb fotografia.

En l'entrada a la que fem referència: Mateclicks: La pirámide apareixen dos exemples d'activitats d'aquest tipus: una extreta d'un llibre de text i materialitzada amb Clicks i una altra que els del PuntMat vam proposar fa alguns anys durant una trobada de l'Espai Jordi Esteve.

Creiem que és interessant afegir alguns altres exemples a aquests dos primers:
  • Els del PuntMat vam incloure activitats d'aquest tipus per a Cicle Inicial al Bloc de Mates editat per Barcanova:
  • El Freudenthal Institute inclou d'altres a un parell dels seus applets:
Captura de pantalla de l'applet esmentat en que s'ha d'ubicar el punt des del qual s'ha tirat la fotografia a partir de la posició de tres edificis emblemàtics d'una illa: un far, una església i la casa del pirata
Captura de pantalla de l'applet esmentat en que s'ha d'indicar si la fotografia s'ha tirat des de davant, darrere, esquerra, dreta, adalt o abaix
  • A algunes de les proves de competències bàsiques proposades pel Departament d'Ensenyament es proposen activitats d'aquesta mena:
    • per a Cicle Superior (curs 2005-06)
Clique aquí per accedir al quadernet
    • per a Primer Cicle d'ESO (curs 2006-07)
Cliqueu aquí per accedir al quadernet
  • Entre les preguntes alliberades de la prova PISA proposada com a pilot en 2002 també podem trobar-ne un exemple:

20 de setembre de 2013

Matemàtiques anant pel carrer (6) Camí al restaurant

De vegades m'agrada anar a dinar a Ca'l Boter, un restaurant situat al carrer Tordera 62 en el que cal fer certes cues per a entrar-hi i que té un menú del dia excel·lent. Està situat en el "barri dels gitanos" de Gràcia, on hi tenim o hem tingut gent famosa, com Peret, el "Pescadilla" (marit de la Lola Flores) o l'argentí Gato Pérez, molt lligats a l'aparició de la "Rumba Catalana".

Cal Boter està a prop d'on visc. Aquest és el planell del recorregut des de casa, assenyalat amb una fletxa, fins al restaurant, marcat amb una A i un cercle verd.


Cada cop que hi vaig tinc un problema: quan arribo a la Travessera de Gràcia, cantonada Torrijos,(cercle vermell imatge anterior) dubto sobre quin és el camí més curt. què he de fer: girar a l'esquerra  o a la dreta?


A vosaltres que us sembla?

Algunes altres preguntes per discutir a l'Aula
  1. On hauria d'estar Can Boter perquè la distància fos la mateixa.
  2. Quantes mides cal prendre? Quines? 
  3. A quina hora he de sortir de casa si vull arribar a les 13:30 per estalviar-me fer cues?
Notes
  • La història no és un exercici inventat. És verídica.
  • És una activitat de carrer on els alumnes hauran de planificar i prendre mides. També es pot treballar sobre un mapa. Aleshores, cal disposar d'imatges suficientment grans per poder mesurar-hi i arribar a conclusions.
  • Si realitzem una activitat semblant al carrer, agafar un plànol o dibuixar un croquis, forma part de la resolució del problema i segurament, és la part més "competencial" del procés: planificar i triar les  eines adequades que et permetin resoldre el problema.
  • Aquesta activitat està dedicada especialment a TocaMates: ell ja sap perquè.

  • El preu del menú de Cal Boter és d'11,20€, actualment. 

17 de setembre de 2013

Triangles aritmètics (1). Descomposició de dígits

Un dels continguts fonamentals per construir el càlcul és el domini de les descomposicions dels dígits i sobretot, de la descomposició del 10.

Manipulativament
Una activitat, clàssica (deu tenir més de 50 anys) és la de fer catifes utilitzant els reglets Cuisinaire: la barra taronja representa el 10, la blanca l'1, la vermella el 2, etc. Cal anar fent "pisos" de dos reglets de manera que junts tinguin la mateixa longitud que la barra taronja.

descomposicions del 10 fetes amb reglets
Un cop feta la catifa es passa a anotar simbòlicament cadascuna de les descomposicions: la barra blava val 9 i la blanca 1, per tant, al costat els alumnes escriuen 9+1. Marró i vermella és 8+2, etc.

Nivell simbòlic
Una altra activitat força coneguda és la de la "casa del 10". Es dóna un nombre de l'1 al 9 a cada alumne, que l'ha de portar en un lloc visible. Es demana que busquin un company o companya que tingui el complement a 10: el 2 ha de buscar al 8, el 6 al 4, etc. Un exemple d'això ho trobem al llibre "Dau" de David Barba i Montserrat Torra, editat al 1981


Fins i tot més endavant es proposen "histories de detectius", en aquest cas trobar dos nombres que sumats donin 10 i que un sigui quatre unitats més gran que l'altre, que juguen amb aquesta mateixa idea.

Descomposicions i triangles 
Aquest és un exemple del treball fet a l'Escola Sadako de Barcelona, per la mestra Maria Roca, en el que enlloc de reglets s'utilitzen cubets. Entenem que aquest material aporta un avantatge fonamental sobre els reglets: permet comptar  unitats, cosa que no passa en els reglets on el nombre es reconeix pel color del reglet i no per la quantitat.
Un altre canvi icorporat és el del  registre: no s'utilitza l'escriptura simbòlica (8+2=10) sinó que es recull en els anomentats "triangles additius" con es veu a les imatges.

.
Un cop construït els alumnes registren cada descomposició en un triangle
Recollim i ens quedem amb el full de triangles
Aquests triangles són un material manipulatiu pensat per fer entendre que 7, 3 i 10 no són solament una suma sinó un "trio" que forma un paquet: una "encapsulació" que permet deduir fets importants relacionats amb les operacions inverses.
Triangle i accessori que permet tapar  les tres puntes
La fotografia il·lustra un artefacte que permet tapar un nombre, sigui el de dalt, el de l'esquerra o el de la dreta. Si es tapa el de dalt tenim una suma (7+3=?). Tapant el de l'esquerra seria (?+3= 10)  i si és el de la dreta  (7+?=10).

L'avantatge dels triangles additius consisteix en que que tan bon punt els han construït, veuen els tres nombres com un tot. Es notable la facilitat dels alumnes en resoldre aquest tipus "d'exercicis" enfront de la gran dificultat que representen expressions com 7 + ? = 10.

Una altra característica és que ens permet associar les diferents operacions implicades: saber que 6 + 3 = 9 implica també altres coses:
Exemple tret de 3x6.mat. Barba i Calvo (2005) Editorial Barcanova
Descomposicions i treball sistemàtic

Apart de descompondre relacionat amb l'aprenentatge del càlcul hi ha altres camps relacionats amb les descomposicions, que entren més en l'aspecte del treball sistemàtic.
Tret de 3x6.mat. Barba i Calvo (2005) Editorial Barcanova

L'activitat plantejada en la imatge anterior és de descomposició: trobar totes les descomposicions del 5 utilitzant dos dígits. Ara bé si  solament dibuixem la teulada amb el número 8, per exemple, i canviem la pregunta per quants pisos tindrà? l'activitat canvia del punt de mira. Posteriorment preguntes com: "com poder estar segurs que no ens en hem deixat cap?" o "de quina manera ens hauríem d'organitzar-nos per trobar-los tots? porten als alumnes cap a aquest treball sistemàtic.

Un altre exemple, aquest plantejat a partir del conte de la Caputxeta vermella: La caputxeta té un davantal  amb tres butxaques. La seva àvia li va regalar 7 caramels. Trobeu totes les maneres diferents que se'ls pot posar (no hi pot haver cap butxaca buida).
Els alumnes de 1r, utilitzant  material manipulatiu per poder trobar les solucions del problema
Finalment l'applet "repartiendo pastelillos"de Juan Garcia Moreno, treballa sobre la mateixa idea. Volem destacar la característica que defineix molts dels seus applets: incorporar la manipulació, en aquest cas virtualitzada, com a eina de resolució de problemes, deixant la part simbòlica com a registre de la feina feta, enlloc de eina, massa abstracta,  per a ajudar a pensar.


L'objectiu en aquest tipus de situacions té a veure amb les actituds davant de les Matemàtiques: aconseguir que els alumnes abans de començar a comptar de manera anàrquica planifiquin la resolució.

13 de setembre de 2013

Pensament exhaustiu

Després de dues entrades en que vam estar parlant del pensament exhaustiu en relació directa amb un contingut temàtic (divisibilitat) i amb un material manipulatiu (geoplans) ens ha arribat el moment de fer una reflexió sobre què entenem per exhaustivitat i per què pensem que és important treballar-la com a un contingut matemàtic.
http://dlc.iec.cat/
Quan demanem als nostres alumnes que trobin totes les solucions d'un problema, estem demanant que enumerin tots el casos però de vegades això requereix algun aclariment. Per exemple, què esperem quan demanem analitzar els cubs que es poden haver utilitzat per fer una construcció que doni aquestes vistes?

Fa uns anys vam proposar el problema als alumnes del Màster de Secundària de la UPF i vam obtenir solucions molt variades: alguns alumnes vam recrear les solucions amb "cubets" i les van fotografiar mentre que altres van preferir representar-les en dues dimensions: dibuixant-les en perspectiva isomètrica o cavallera, representant-les planta a planta o amb vista zenital i alçada, a mà o fent servir programaris.
Pau enumera i exemplifica (amb perspectiva isomètrica i també planta a planta)
totes les possibilitats en relació al nombre de cubs
Segons el nostre parer és molt important per parlar d'exhaustivitat completar aquesta enumeració amb la resposta a dues preguntes: per què no poden haver solucions amb més de 10 cubs? i amb menys de 5?
Aquí veiem un extracte de l'enumeració completa de totes les possibilitats (representades per la seva vista zenital amb alçades) en relació a la disposició de cubs
En casos com l'anterior el que trobem molt important és l'explicació de l'alumne de com va variant la posició dels cubets per no oblidar cap cas. Per exemple, per la construcció de totes les possibilitats amb 9 cubets, en la imatge s'intueix com a partir de la solució amb 10 cubets va movent el cubet que hi treu, serà capaç d'explicar el seu procediment verbalment?
Les solucions encara es multiplicarien si fem servir l'applet Building with blocks per representar les solucions ja que aquí es permeten cubs "voladors". En la imatge veiem totes les possibilitats de generar les vistes frontal i lateral inicials amb 5 cubs.
Podríem pensar que això del pensament exhaustiu és per grans però val la pena esmentar les propostes per fer treball exhaustiu d'una de les fantàstiques pàgines web de Juan Garcia Moreno: PROBLEMATICAS


Els problemes dels repartiments de pastes, de les cares diferents, dels camins possibles són exemples que donen pistes de com es pot fer aquest tipus de tasques amb alumnes de cicle inicial i mitjà.

Un altre exemple per a alumnes de Cicle Mitjà podria ser el que ja vam incloure en l'entrada Àbac de tres punxes. Allí en la proposta 4 donaven la resposta que havia donat una nena a un problema del tipus "trobar tots els nombres que..." i el que es preguntava als alumnes era "veient l'ordre dels nombres s'intueix quina estratègia ha fet servir per a comptar-los tots: redacteu-la".

Per últim cal incidir en el fet que no tots els problemes que demanen trobar tots els casos exigeixen el mateix grau de pensament exhaustiu. Per exemple, no és el mateix demanar tots els quadrilàters que es poden formar en un geoplà de 3x3 que fer-ho de manera guiada com es proposa a l'article "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" on es guia pas a pas la cerca: primer demana els 4 casos no convexos, després els tres casos que tenen tots els costats iguals, després altres tres paral·lelograms, després tres trapezis que encara no havien aparegut, després un estel que no havia aparegut fins al moment, un quadrilàter que només té un parell de costats contigus igual i per acabar un quadrilàter que té tots els costats desiguals. Fer aquesta consideració no treu mèrit a la proposta d'una activitat guapíssima, que creiem imprescindible al treballar amb quadrilàters i que augmenta enormement la seva dificultat si no donem les pistes esmentades. Només volem indicar que no seria un exemple emblemàtic del treball exhaustiu tal com l'entenem: un treball guiat per la pregunta "com puc assegurar-me que he trobat totes les solucions possibles?".

11 de setembre de 2013

Taules de multiplicar II

Ja fa més de dos anys vam publicar una entrada Taules de multiplicar I que avui reprenem per complementar amb una troballa casual, aquestes que compensen les hores dedicades a reorganitzar l'armari del material manipulatiu d'una escola abans de començar el curs.

En aquella entrada a partir d'un applet vam analitzar un joc no difícil de materialitzar a partir de la construcció de nou tetraedres que en les seves cares contenen els 36 resultats diferents que s'obtenen en les taules des de 1x1 a 9x9.


El disseny d'aquests tetraedres no és elemental: com s'han de distribuir els 36 valors sobre les 36 cares de manera que es puguin desplegar simultàniament els nous resultats de qualsevol taula (des de la taula de l'1 a la taula del 9)?
El desplegament dels nou resultats de la taula del 6

Presentem a continuació dues de les 188 possibles distribucions dels 36 nombres en els tetraedres:
Jon Millington va extendre aquesta idea dissenyant Tables Cubes un joc com l'anterior però per desplegar els resultats de les taules des de 1x1 a 12x12 (en relació a la discusió de si les taules acaben en el 9 o en el 12 recomanen l'article Is There Any Point to the 12 Times Table?)

En aquest cas els resultats diferents passen de 36 a 59 i els poliedres de suport d'aquests resultats passen de 9 a 12. Clarament amb les 4 cares dels tetraedres és impossible obtenir 59 resultats per tant s'ha de recorrer a cubes malgrat que sobraran 13 cares.

Aquí tenim dues possibles distribucions dels 59 nombres en els dotze cubs (deixant en onze cubs una cara lliure i en un cub en deixem dues):
El material que vam trobar fa uns pocs dies i del que parlàvem a l'inici d'aquesta entrada és justament el desenvolupament dels cubs dissenyats per Millington:



8 de setembre de 2013

Nou blog del PuntMat

Com veureu a la capçalera del blog apareix una pestanya nova: "Applets Puntmat". Aquesta pestanya connecta amb un nou blog, que avui inaugurem, dedicat exclusivament a applets.

L'estructura és tipus pàgina de fotos, per permetre identificar l'applet ràpidament. A la dreta porta incorporat una barra d'etiquetes, informació sobre la manera de rebre les novetats per correu, etc. La plantilla permet organitzar els applets de diferents maneres, proveu quina és la que us va millor.



Agrairem qualsevol comentari que contribueixi a fer que sigui més útil per a tothom.
Esperem que us agradi.

PuntMat

6 de setembre de 2013

Geoplans i pensament exhaustiu

Creiem en la importància de proposar als nostres alumnes recórrer l'itinerari: trobar una solució d'un problema que en té diverses, trobar algunes d'aquestes solucions i finalment, trobar totes les solucions. Aquest creença ve acompanyada d'una altra: la necessitat de treballar intencionadament aquest itinerari a les classes i de promoure discussions relacionades amb les preguntes:
  • com saps que no hi ha altres solucions? 
  • quina estratègia has seguit per no perdre cap solució?
Per això us proposem l'entorn d'activitats amb geoplans. Trobareu més informació sobre aquest material manipulatiu dissenyat pel Caleb Gattegno a la pàgina de l'Espai Jordi Esteve: Geoplans

Trobar tots els triangles possibles en un geoplà quadriculat de 3x3
Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
Es pot veure una interessant proposta de treball a l'aula amb aquest problema al blog Tocamates. A l'entrada Tri.'s del projecte NRICH s'esmenta aquesta activitat i afegeix-hi una pregunta: quin és el més petit de tots? (Atenent a que n'hi haurà dos d'àrea 0,5 es pot fer intervenir el perímetre i comparar els de les dues figures sense haver de calcular-los la qual cosa requeriria algun resultat equivalent al Teorema de Pitàgores. També interès la pregunta sobre quin és el més gran ja que n'hi haurà dos d'àrea màxima).

Trobar tots els quadrilàters possibles en un geoplà quadriculat de 3x3
Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
De tota manera suggerim fer servir un altre geoplà virtual per fer aquesta
activitat atenent a que aquest no permet representar polígons còncaus
Veure una proposta de treball amb aquest problema (i d'altres sobre el mateix geoplà) a la pàgina 17 de l'article de Maria Ringon Grandesso "Sobre el geoplà Gattegno de nou puntes" aparegut a la revista l'Escaire, nº3 al desembre de 1979 (aquest article és la traducció del que va aparèixer a la revista "L'insegnamento de la Matematica i delle scienze integrate" vol. 2, nº3, juny del 1979 pel centre de recerca didàctica "Ugo Morin" d'Itàlia)

Tal com esmenta Don Steward en el post "Quadrilaterals on a 3 by 3 dotty grid" les 16 solucions del problema anterior es converteixen en 94 si diferenciem quadrilàters segons la posició en la quadrícula. En la següent imatge, modificada a partir de l'original del D. Sterward, destaquem d'on surt el 94:


Trobar tots els triangles d'àrea 3 en un geoplà quadriculat de 5x5
Aquesta activitat (juntament amb altres activitats i un simulador virtual de geoplans quadriculats i isometrics de mida variable fets amb Geogebra) va ser proposada pel Pep Bujosa al gener de 2011 durant unes jornades organitzades per la UPF.
Hi són tots els triangles possibles?
Trobar tots els paral·lelograms possibles en un geoplà quadriculat de 5x5
Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
Veure alguns comentaris sobre aquesta activitat al capítol "The 25-pin Laticce Geoboard" del llibre "Geoboard Geometry" escrit pel propi Gattegno al 1971

Trobar tots els quadrats possibbles en un geoplà quadriculat de nxn
Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
Ja en el cas 5x5 és molt interessant el repte que representa trobar quadrats d'àrea 2, 5, 8 i 10
Veure una interessant anàlisi de la solució general a l'entrada Pinned Square del projecte NRICH, encara que ells estan comptant com casos diferents els quadrats congruents que estan col·locats en un lloc diferent del geoplà. O en l'article Por un enfoque holístico en la enseñanza de las Matemáticas del Pere Mumbrú al número 3 de la revista Suma.

Trobar tots els triangles possibles en un geoplà circular de 9 punxes (sense punxa central) 
Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
Veure la proposta original a l'entrada Nine-pin Triangles del projecte NRICH i el cas general a l'entrada Triangles All Around

Trobar tots els quadrilàters possibles en un geoplà circular de 8 punxes (sense punxa central) 
Captura de pantalla: http://nrich.maths.org/content/id/2883/circleAngles.swf
Veure la proposta original a l'entrada Quadrilaterals del projecte NRICH. Són molt interessants les extensions que podem proposar en relació a aquesta activitat:

Les vuit solucions ordenades de menor a major pel seu perímetre o per la seva àrea

  • no és dificil verificar que els quadrilàters del mateix color tenen el mateix perímetre però si requereix més treball verificar que el quadrilàter marró té menys perímetre que els vermells, que aquests tenen menor perímetre que el groc, els grocs que els blaus i aquests que el verd.
  • sabent que dos triangles que tenen la mateixa base i les seves altures mesuren el mateix tenen la mateixa àrea, no és difícil verificar que el quadrilàter marró té menys àrea que el primer dels quadrilàters vermells, que els dos quadrilàters vermells tenen la mateixa àrea, etc.

Trobar tots els pentàgons i tots els hexàgons possibles en un geoplà circular de 7 punxes (amb punxa central)
De tota manera suggerim fer servir un geoplà de paper per fer aquesta 
activitat atenent a que aquest no permet representar polígons còncaus
Veure la proposta original a l'entrada 7 pins del blog Median i el vídeo de MathPickle relacionat amb el mateix problema (afegint també el compatatge de polígons complexes)
Captura de pantalla del vídeo de MathPickle abans esmentat
Un problema que pot tenir solució depenent de la paritat de n i que en cas de tenir-ne la seva quantitat depèn del residu de n:4
Trobar tots els triangles rectangles en un geoplà circular de n punxes (amb o sense punxa central)


Altres entrades d'aquest blog relacionades amb el geoplà: Joc del geoplà; definicions i propietats o Mesura de superfície

3 de setembre de 2013

Divisors i pensament exhaustiu

Si comparem aquestes tres tasques: digues un divisor de 28, digues alguns divisors de 36, digues tots els divisors de 60, veiem que per fer la primera cal la entendre la definició de divisor, per fer la segona a més de la definició ja podem fer servir propietats (per exemple: tots els nombres són divisibles entre 1 i el propi nombre, si a és un divisor de b llavors b/a és també un divisor de b, etc), però per fer la tercera hem de donar un important salt, hem de posar en funcionament el pensament exhaustiu: alguna estratègia per saber que ja tenim tots els nombres que cercàvem.

A l'entrada Apples de divisibilitat ja vam analitzar algunes animacions que involucraven tasques de cerca de divisor que no requerien conèixer tots els divisors 
Quatre en ratlla
Està clar, de tota  manera, que quants més divisors del nombre sapiguem més possibilitats tenim de guanyar:
Factor game
A l'applet "La caixa forta" ja començaven a apropar-nos a la necessitat de no deixar-nos cap divisor, però en aquest cas només ens restringim a tots els divisor menors o iguals que 10:
La caixa forta
L'applet "Factoriza 2" sí que involucra la idea de trobar tots els divisors però tenim ajudes que no fan necessari el pensament exhaustiiu: el botó "Hint" que ens diu quantes factoritzacions falten i la felicitació quan ja no hi ha més divisors.
Factoritze 2
Trobar tots els divisors d'un nombre N implica:
  • en un primer moment, verificar un a un amb cada nombre des de l'1 fins al N si deixen o no residu quan es divideix N entre ells (verificar si aquest residu és 0 no requereix necessàriament fer la divisió sinó que es poden fer servir els criteris de divisibilitat)
  • en una segona instància, amb arguments del tipus si N no és divisible entre p no ho serà entre cap múltiple de p, la llista de verificacions disminueix considerablement
  • per últim, quan prenem en consideració que si a és un divisor de N llavors N/a també ho serà. Resulta que tots els divisors venen en parella per tant amb les succcesives verificacions anem obtenint una llista doble, amb uns divisors que creixen i uns divisors que decreixen, quan aquestes dues subllistes es troben ja no cal buscar més. En un primer moment els alumnes pensen que això implica que s'han de cercar divisors entre els nombre fins al N/2 però en realitat la llista és més curta encara ja que no cal superar el nombre √N. 
Un exemple de treball exhaustiu
Podem aplicar aquest treball amb aquest applet

S'han de tatxar tots els divisors del nombre indicat (53) o del resultant de canviar l'ordre de les seves xifres (35) tenint en compte que guanyaràs tants punts com la suma dels divisors tatxats. Per tant, en cada jugada l'estratègia òptima és enumerar tots els divisors dels dos nombres possibles i avaluar la seva suma. Val a dir que quan oblides tatxar algun divisor l'applet reganya!
A l'entrada Més sobre l'arble de factors vam parlar de la possibilitat d'establir una relació entre la descomposició factorial d'un nombre i el llistat de tots els seus divisors.


A la imatge veiem la descomposició del nombre 2012, si els alumnes entenen que més enllà de l'1 els seus altres divisors es troben combinant els factors primers de 2012: 2, 2 i 503, trobaran que tots els divisors de 2012 són: 1, 2, 503, 2x2 (o sigui, 4), 2x503 (o sigui, 1006) i 2x2x503 (o sigui, el propi nombre 2012).


Aquí l'exhaustivitat es trasllada a combinar de manera sistemàtica els diferents divisors primers per tal d'obtenir tots els divisors. Aquestes combinacions no són trivials perquè varien si hi ha factors primers repetits o no, però l'anàlisi d'aquestes particularitats pot permetre als nostres alumnes entendre de quina manera podem mirant la descomposició facotrial d'un nombre saber quants divisors tindrà el nombre.
  • els nombres primers tenen dos divisors
  • els nombres que són producte de dos nombres primers no sempre tenen la mateixa quantitat de divisors. A partir d'analitzar exemples, segur que els nostres alumnes descobreixen el patró
49 té tres divisors: 1, 7 i 7x7
33 en té quatre: 1, 3, 11 i 3x11
121 té tres divisors: 1, 11 i 11x11
55 en té quatre: 1, 5, 11 i 5x11
  • els nombres que són producte de tres nombres primers tampoc tenen sempre la mateixa quantitat de divisors. Convé analitzar tres tipus d'exemples, quan els tres nombres primers són diferents, quan són dos iguals i un de diferent i quan els tres són diferents entre sí
27 i tots els nombres de la forma ptenen quatre divisors:1, 3, 3x3 i 3x3x3
42 
i tots els nombres de la forma p2· q en tenen sis: 1, 2, 13, 2x2, 2x13 i 2x2x13
30 i tots els nombres de la forma p·q·r en tenen vuit: 1, 2, 3, 5, 2x3, 2x5, 3x5 i 2x3x5
Arribar fins aquí ja és un interessant i fructífer treball amb regularitats i patrons però res impedeix a aquests alumnes més curiosos que tenim a l'aula arribar fins al final.