26 de juny de 2016

Pràctica productiva: multiplicacions de nombres de dues xifres

Després d'haver construït juntament amb els alumnes un algorisme per a la multiplicació (l'estàndard o un altre) arriba el moment de practicar la seva execució. Però no cal proposar als alumnes un full sencer amb multiplicacions perquè facin pràctica reproductiva sinó que es pot proposar altre tipus de tasques. En aquest post volem comentar alguns exemples d'aquestes tasques:
  • Calculeu
34x36 i 35x35
73x75 i 74x74
22x24 i 23x23
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
Aquí teniu les respostes de dos alumnes de 5è a aquesta tasca:



El que han establert els dos alumnes és una conjectura: els creuen que sempre que multipliquin per si mateix un nombre el resultat serà una unitat més gran que el resultat de multiplicar l'anterior per el següent del nombre anterior. Però aquesta conjectura es pot convertir en una propietat si l'acompanyem d'una justificació:
Justificació amb reglets presentada per Simon Gregg
Un segon exemple, molt semblant a l'anterior:
  • Calculeu 
34x35 i 33x36
73x74 i 72x75
22x23 i 21x24
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
En aquest cas, els dos resultats sempre difereixen en dos unitatsi aquesta podria ser una justificació:


Un tercer exemple inspirat per un post de Don Steward en el seu blog: Median
  • Calculeu 
34x35+36 i 36x35–34
73x74+75 i 75x74–73
22x23+24 i 24x23–22 
Què hi observeu? Passarà amb altres nombres? Inventeu una altra parella de multiplicacions a les que passi el mateix.
Com totes les conjectures involucrades en aquests exemples, la justificació algebraica és senzilla però fora de l'abast dels alumnes als que està dirigida aquesta mena de pràctica de multiplicacions. En aquest cas: sabem que els dos resultats sempre coincidiran perquè n(n+1)+n+2 = n²+2n+2 i (n+2)(n+1)–n²+2n+2.

Però algun alumne interessat en entendre perquè són sempre iguals els dos resultats, pot sentir-se a prop d'una justificació si li comentem 75x74–73 = (73x74+74+74)–73 = 73x74+74+(74–73) = 73x74+74+1 = 73x74+75.

Canviant totalment d'estil, proposem una quarta tasca relacionada amb la pràctica de multiplicacions de nombres de dues xifres:

  • Si multiplico dos nombres de 2 xifres, què és més probable: que el resultat tingui 3 o 4 xifres?

Creiem que aquesta és una tasca per emprendre amb tot el grup. Comencem proposant una taula de 91 files i 91 columnes en la que en la primera fila i primera columna escribim els nombres del 10 al 90 i en les altres cel·les, els alumnes aniran escribint els resultats de la multiplicació del nombre que encapçala la fila pel nombre que encapçala la columna. Demanem als alumnes que acoloreixin la cel·la si el resultat té tres xifres per poder comparar la quantitat de reusltats de tres i quatre xifres.

Hem triat com a primera fila la inferior (els nombres del 10 al 90 apareixen d'esquerra a dreta) i com a primera columna la de l'esquerra (els nombres del 10 al 90 apareixen d'abaix a dalt). La nostra tria ha estat motivada per l'ordre del sistema de coordenades però no hi ha cap inconvenient en triar altre ordre. Aquí teniu una plantilla per imprimir aquesta taula.

És molt interessant quan els alumnes s'adonen que si obtenen un resultat de tres xifres no només han d'acolorir aquesta cel·la sinó totes les de la mateixa fila i columna que generen resultats menors. Encara més, si veuen que 20x40 té tres xifres poden pintar tot el rectangle que té aquest punt com a vèrtex superior dret. Si veuen que 50x50 té quatre xifres poden deduir que cap cel·la que estigui a la dreta i a dalt d'aquesta cel·la apareixerà pintada i per tant no cal fer aquestes multiplicacions per poder classificar les cel·les corresponents.

Imatge final de la taula que deixa molt clar que és molt menys probable obtenir un resultat de tres xifres
(només hi ha 1490 entre els 8100 resultats possibles)

15 d’abril de 2016

Rectangles i quadrats

En aquest post volem analitzar la relació entre la divisibilitat i la formació de rectangles amb tessel·les rectangulars.

Primer cas
Quants rectangles es poden formar amb vint-i-quatre tessel·les quadrades d'1 cm de costat?

Les 24 tessel·les les podem distribuir en rectangles de 1x24, 2x12, 3x8 i 4x6 que deixen en evidència la relació del problema amb la divisibilitat del nombre de tessel·les disponibles. Aquesta relació ja l'vam analitzar al post Descompondre en factors

http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?ID=3511
Segon cas
Quants rectangles es poden formar amb setze fulls DIN A4?

En aquest cas, la quantitat de divisors del 16 (cinc: 1, 2, 4, 8 i 16) coincideix amb la quantitat de rectangles... una de les raons de la diferència d'aquesta resposta amb la del primer cas és que aquí les "tessel·les" no són quadrades.

Aquesta activitat ja l'havíem relatat al post Referències personals per les unitats del sistema mètric destacant la importància de destacar que tots els rectangles obtinguts tenen àrea 1 m2.

Alumnes de la Marta P. a l'escola La Sínia
Tercer cas
Quants rectangles es poden formar amb deu tessel·les de 3 cm d'amplada i 4 de llargada?

Clarament el rectangle tindrà àrea 120 cm2 (10 tessel·les de 12 cm2). Malgrat que els divisors de 120 són: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 i 120 els rectangles que es poden formar amb aquestes tessel·les són "únicament" cinc (el de 1x120, 2x60 i 5x24 no es poden formar perquè és impossible tenir un costat d'1, 2 o 5 cm amb les tessel·les que tenim...el que pot sorprendre és que sí que es pot formar el rectangle de 10x12!!)