2 de març de 2013

Poliedres amb cares triangulars

Aquesta setmana al taller amb materials manipulatius per treballar la Geometria que fem periòdicament amb els alumnes de l'assignatura AE1 del Màster per a la formació de professors de Secundària de la UPF ens hem platejat construir tots els poliedres convexos que és possible construir de tal manera que totes les seves cares siguin triangles equilàters iguals: els deltaedres

Aquestes fotografies en són el resultat:
Tetraedre (poliedre regular de 4 cares)
Piràmide triangular 
Hexaedre (poliedre no regular de 6 cares)
Bipiràmide de base triangular
Octaedre (poliedre regular de 8 cares)
Bipiràmide de base quadrada
Decaedre (poliedre no regular de 10 cares)
Bipiràmide de base pentagonal
Dodecaedre (poliedre no regular de 12 cares)
Es substitueixen les bases d’un antiprisma quadrat per dos triangles
Tetradecaedre (poliedre no regular de 14 cares)
Prisma triangular triaugmentat (o sigui que es substitueix cada
cara quadrada del prisma per una piràmide de base quadrada
Hexadecaedre (poliedre no regular de 16 cares)
Bipiràmide de base quadrada girolongada
Icosaedre (poliedre regular de 20 cares)
Bipiràmide de base pentagonal girolongada
Però també hem pogut anar més enllà centrant-nos en els angles que formen les cares del tetraedre i octaedre. 
  • les cares del tetraedre formen un angle d'aproximadament 70º
Si com ensenya la següent fotografia posem cinc tetraedres de manera que coincideixin en un vèrtex es veu que l'angle que formen les cares considerat cinc cops és proper a 360º, sense arribar-hi. Això ens permet estimar l'angle amb un valor lleugerament per sota dels 72º.

També podriem calcular l'angle que formen les cares del tetraedre mitjançant trigonometria. El cosinus de l'angle que forma un triangle amb un altre val un terç i, per tant, l'angle mesura aproximadament 70º. 
  • els angles que formen les cares del tetraedre i que formen les cares de l'octaedre sumen 180º
També podriem comprobar aquesta suplementarietat calculant l'angle que formen les cares de l'octaedre. Això ho podem fer, mitjançant trigonometria, calculant l'angle que forma la base amb les cares de la piràmide quadrada obtinguda en partir en dos l'octaedre. El cosinus de l'angle que forma el quadrat amb cada triangle val arrel de 3 sobre 3 i, per tant, l'angle mesura aproximadament 55º. Com a conseqüència d'això deduïm que l'angle que formen dues cares de l'octaedre mesuren aproximadament 110º. 

Un dels grups, fent aquesta comprovació, ha fet aquesta construcció
Això ens ha portat a relacionar els volums d'aquests poliedres: amb 4 tetraedres i un octaedre que comparteixen la mida de les seves arestes hem aconseguit formar un tetraedre que té una aresta el doble de gran. En duplicar l'aresta el volum del tetraedre gran (Vg) és vuit vegades més gran que el volum del tetraedre petit (Vp):
Vg=8Vp
Com a més Vg = 4Vp +Vo, sent Vo el volum del tetraedre, resulta que:
Vo=4Vp
O sigui, que el volum de cada tetraedre que podem fer amb peces triangulars del Polydron (o qualsevol altre material per construir poliedres a partir de les seves cares) és la quarta part del volum de cada octaedre que podem fer amb les mateixes peces!!!

Agraïment especial als alumnes abans esmentats per les fotografies, per les reflexions compartides i sobre tot, per l'entusiasme amb que  han realitzat les tasques proposades.

1 comentari:

  1. Informació complementària:
    http://wordplay.blogs.nytimes.com/2013/09/23/pyramid-2/
    http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Polyhedra/ManyPyramids.shtml
    http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ThreePyramids.shtml

    ResponElimina