Convertir la pràctica reproductiva en productiva

Durant les vacacances d'estiu vam veure a Numberplay (entrada de cada dilluns del blog d'entreteniments del NYTimes) la proposta d'un puzle anemenat "The angle maze" on es comentava com un grup d'assesors proposaven als mestres que els ensenyessin les activitats més "avorrides" que feien a classe i entre tots buscarien maneres de fer-les més interessants i productives.

Expliquen com van reconvertir una fitxa sobre classificació d'angles en el següent problema: "Sobre una circumferència marcar 10 punts equidistants i intentar unir-los tots amb una línia contínua tancada de manera que en tots els punts es formen angles obtusos"

Després de gaudir una estona buscant nosaltres mateixos les diferents solucions del problema hem pensat que pot ser aquest problema es posa massa difícil si demanem l'exhaustivitat de la que hem estat parlant en altres entrades, però no perd interès si demanem que trobi dos solucions "diferents".

Creiem que també es pot demanar als alumnes que intentin trobar maneres d'unir els 10 punts de manera que:

• tots els angles siguin aguts
• el nombre d'angles rectes sigui màxim
• la suma d'angles sigui màxima o més difícil: que sigui mínima 

(Segons The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences hi ha 9468 maneres diferents d'unir els 10 punts!!)


Creiem també que és una activitat ideal per fer servir un geoplà circular però imaginem que és dificil que tinguem un amb exactament 10 claus i el geoplà virtual de mida adaptable del que vam parlar a Geoplans i pensament exhaustiu no permet dibuixar-hi polígons còncaus :-(

Per últim voldirem comentar que si preferiu fer aquesta activitat amb menys punts els casos possibles són moltíssims menys i es pot demanar exhaustivitat en les respostes. Per exemple, amb 6 punts només hi ha 12 maneres d'unir-los (tal com es veu en la següent imatge: una d'elles té tots els angles obtusos, cinc d'elles els tenen tots aguts, n'hi ha 4 que tenen dos angles rectes, la suma d'angles màxima és 720º i la mínima és 240º)

http://demonstrations.wolfram.com/PolygonsOnNVertices/ 

En el post Pràctica productiva i pràctica reproductiva ja vam veure un exemple de com reconvertir activitats destinades a practicar destreses bàsiques en activitats en que aquesta pràctica es fa com a part d'una tasca més propera a la resolució de problemes. Aquí  podem afegir dos exemples més:

Un exemple de divisibilitat

Quin és el nombre de dues xifres que té més divisors? Imagineu quants exercicis del tipus "troba tots els divisors de x" hi ha aquí involucrats... massa per fer aquesta tasca de manera individual, per la qual cosa proposem fer-la cooperativament discutint prèviament com es pot repartir la tasca entre els integrants del grup i com es recolliran les respostes:

Font: Calvo, C. (2016) Matemàtiques 6è, Editorial Barcanova 

Un gràfic que suggereix moltes preguntes que podem proposar als alumnes:

• per què hi ha més nombres amb una quantitat parell de divisors que amb una quantitat senar? quins són els nombres que tenen una quantitat senar de divisors?
• que un nombre sigui més gran que un altre implica que té més divisors? i si un d'ells és el doble de l'altre?
• per què no hi ha cap nombre parell entre els 21 nombres que tenen dos divisors?
• què tenen en comú els cinc nombres que tenen 12 divisors?
• ...