23 de maig de 2014

Perímetre i àrea 2

A escola parlem de perímetres i àrees. Plantejar quina és la relació entre el perímetre d'una figura i la seva àrea dóna un joc a classe molt interessant. Per altra banda és una manera de rendir un petit homenatge a l'Emma Castelnuovo, que ens ha deixat fa molt poc.

En el seu llibre de text, per a alumnes del que seria actualment un primer d'ESO, publicat al 1949 sota el títol "La via della Matemàtica la Geometria" publicat en català per la Editorial Ketres presenta la següent imatge. El redactat és un resum del text del llibre.

Relació intuïtiva entre el perímetre i l'àrea de diferents rectangles
Agafeu un cordill que tingui les dos extrems lligats per un nus i poseu-lo entre els dits de les mans de manera que en l'interior es vegi un quadrat. Acostem els dits i separem les mans  per formar  un rectangle com el de la figura. Repetim alguns cops el pas de quadrat a rectangle i de rectangle a quadrat.

La pregunta formulada és: què passa amb el perímetre i l'àrea? Veure que el perímetre no canvia és una deducció fàcil, ja que s'utilitza el mateix tros de corda, però davant la pregunta de l'àrea, un gran nombre d'alumnes (i d'adults) responen que l'àrea es manté igual, ja que el que es perd per una banda es guanya per l'altra.

Una versió Mateclicks d'aquest problema 

Figures:© PLAYMOBIL/ geobra Brandstätter GmbH & Co. KG.
A l'ARC trobareu una activitat relacionada:
http://apliense.xtec.cat/arc/node/29111

Al blog del Joan Jareño també trobareu una entrada fantàstica on s'esmenta i analitza aquesta activitat: Les tires dels tiris: tancant àrees màximes

Mateix perímetre, diferent àrea
Deixant el llibre de banda, però entomant la idea de tractar conjuntament perímetre i àrea una activitat interessant podria ser estudiar quants rectangles del mateix perímetre i diferent àrea es poden trobar dibuixat sobre una quadrícula.

A la imatge l'estudi amb el perímetre 24:

Com es pot observar a l'últim rectangle l'alumne ha badat. Tant bé que anàvem!

Podem obrir-lo a figures sense la restricció que siguin rectangles: partint d'un quadrat de perímetre 16, buscar totes les figures del mateix perímetre que es puguin obtenir dibuixant sobre la trama, i calcular-ne l'àrea.

Exemples de figures amb perímetre 16 que abasten des de l'àrea 16 fins a la 10.
  • Quina és la figura d'àrea més petita que es pot trobar?
  • Podem aconseguir totes les àrees des de 16 fins a la mínima, baixant d'un en un?
  • Podem aconseguir dues figures diferents de perímetre 16 amb la mateixa àrea? 
Una de les discussions interessants a portar a terme és identificar quines accions (sobre els costats) fan que el perímetre disminueixi i quines no. Un exemple de resposta: "doblegar les puntes el revés" (pas de la figura de 16 a la de 15 per exemple)

La mateixa activitat es pot proposar amb escuradents en lloc de treballant sobre paper quadriculat, l'únic aclariment que hem de fer és que els escuradents només poden ser paral·lels o perpendiculars entre sí:
Presentem un exemple de cada valor que pot prendre l'àrea (fets amb Geogebra)

Mateixa àrea, diferent perímetre
Els Tangrams y els Tetraminós són dos materials que ens poden ajudar molt a treballar aquest  aspecte:

Tetraminós
Disposant d'un joc de tetraminós podem preguntar als nostres alumnes si tots tenen la mateixa àrea i el mateix perímetre. Quants perímetres diferents us sembla que trobarem?

Ajuntant dos tetraminós: quina és la figura de perímetre més petit que es pot obtenir? Aquesta activitat aporta discussions interessants. Sobretot si es proposa trobar totes les figures possibles (obtingudes a partir dels dos tetraminós donats), per així comprovar les conjectures prèvies.

Si es volen ampliar les possibilitats de trobar figures diferents ajuntat dues figures podem dels pentaminós
 
Tangrams
En una conferència José Luís Lupiáñez en la que parla de competències, va presentar un exemple que solament de veure'l et ve de gust plantejar-ho als alumnes. De les dues figures de la imatge següent, quina és la que té l'àrea més gran? I perímetre? La part important d'aquesta activitat és demanar que ho justifiquin, utilitzant el vocabulari matemàtic necessari: que parlin ells!

Ajuntant les dues idees, l'activitat proposada anteriorment de buscar figures de perímetre mínim per a tetraminós es pot fer perfectament amb peces del tangram. Aporta un element de dificultat ja que en aquest cas no tots els costats són iguals.

Finalment l'activitat sobre el  tangram del Median, (publicada en aquest blog) va molt més enllà,  tant en la identificació de figures com en el treball d'àrees i perímetres. Us recomanem fer-li un cop d'ull.

Cap comentari:

Publica un comentari