15 de maig de 2015

Pràctica productiva: taules

Una manera de repassar les taules de manera productiva és proposar als alumnes trobar el nombre de dues xifres de major persistència multiplicativa.

La persistència multiplicativa de 48 és 2 perquè les seves xifres necessiten 2 passos per arribar a un nombre d’una xifra: 
4x8=32 i 3x2=6 
La persistència multiplicativa de 17 és 1 perquè necessita 1 pas per arribar a un nombre d’una xifra: 
1x7=7 

Fa uns mesos vam proposar aquesta tasca als alumnes de 5è de l'Escola Sadako, demanant-los que pintin d'un color (en aquest cas groc) els nombres de dues xifres de persistència 1, d'un altre color els de persistència 2 i així successiament fins a tobar els nombres de major persitència multiplicativa.

 
L'Anna explica les seves conclusions a mida que va pintant les cel·les

Tal com suggereix l'última imatge en proposar aquest problema sobre una graella ens trobem davant d'un pou de regularitats que els alumnes poden detectar: tots els múltiples de 10 tenen persistència 1, la persistència d'un nombre i el seu revers (per exemple, 38 i 83) tenen la mateixa persistència, ser més gran no implica tenir major persistència, etc.

Així quedaria en acabar:


Encara podem anar més enllà, per exemple, podem treballar amb nombres de tres xifres:
  • Quin són els nombres de tres xifres amb persitència 4? Són 83 nombres (A046513) però podem demanar-ne uns vint als que poden arribar per deducció:
    • 177, 717 i 771: afegint la xifra 1 al nombre de dues xifres que té persistència 4
    • 355, 268, 348, 446, 277 i tots els nombres que s'obtenen canviant d'ordre les xifres d'aquests nombres: multiplicant les seves xifres el resultat és un nombre taronja de la taula anterior (75, 96 i 98)
    • els altres són més difícils de trobar: 377, 378, 379, 467, ...
  • Quin són els nombres de tres xifres menys i més persistents que pots trobar? 
    • hi ha molts nombres de tres xifres de persitència 1 (per exemple, sumant 100 a qualsevol nombre groc de la taula anterior s'obté un nombre groc)
    • la persistència màxima entre nombres de tres xifres és 5 
      • 679 i els altres cinc nombres que utilitzen aquestes tres xifres i 688 i els altres tres nombres que utilizen aquestes tres xifres necessiten 5 etapes per arribar a un resultat d'una xifra
      • el que no es fàcil es comprovaar que no hi ha cap nombre que necessiti 6 etapes 
  • Quina és la persistència més freqüent entre els nombres de tres xifres?
    • per recollir les dades necessàries per a aquest estudi podem proposar un treball cooperatiu entre nou grups perquè analitzi cadascun una centena
Estudi de la persistència del nombres entre 300 i 399

    •  ajuntat totes les dades arribarem a un gràfic d'aquest tipus que ens permetrà concloure que més d'un terç dels nombres de tres xifres tenen persitència 2.

 Podem fer servir aquest applet de @mickaellaunay:
I també podem parlar de "fòssils multiplicatius". La persistència multiplicativa de 489 és 4 ja que necessita 4 passos per arribar a un nombre d’una xifra: 4x8x9=288 2x8x8=128 1x2x8=16 1x6=6 i en aquest cas, diem que aquest últim 6 és el fòssil multiplicatiu de 489. En relació a aquest concepte podem preguntar:
  • Quins nombres de 3 xifres tenen un fòssil senar? 
  • Quins nombres deixen de fòssil 0?
El terme la persistencia multiplicativa va ser utilitzat per primer cop per Neil Sloane (fundador de la fantàstica "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences") a l'article The persistence of a number ( J. Recreational Math., 6 (1973), 97-98).

Podeu trobar més preguntes relacionades amb la persistència multiplicativa al post Reduction Multiplication del blog de Don Steward. En aquests dos post també podeu trobar informació interessant al respecte: "Un juego multiplicando las cifras de tu edad" i "Persistencia multiplicativa y el número 77777733332222222222222222222".

Dos articles inel·ludibles relacionats amb la persistència multiplicativa com a tasca per portar a l'aula són els escrits pel Joan Jareño al seu blog @Calaix2


La persitència additiva no sembla ser tan profitosa per generar tasques riques, però una pregunta que pot ser interessant és quins nombres de tres xifres són "perfectament persistents" (o sigui tenen persistència additiva 3) (A304368)

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada