29 de setembre de 2012

Problemes irresolubles a l'ensenyament obligatori?

Hi ha alguns problemes matemàtics que van romandre sense ser resolts per molts anys (alguns d'ells encara avui no han estat resolts) i que poden ser "entesos" pels nostres alumnes. Òbviament, en presentar-los a l'aula, volem analitzar en què consisteix el problema i no en trobar la seva solució amb els alumnes. I creiem que té interès analitzar alguns d'ells a l'aula perquè tracten temes curriculars d'una manera entretinguda per als alumnes i fàcil d'implementar pel professor.

Dos exemples: 

Problema 1: fins a quina bola has arribat? (adaptació del problema de Schur)
Tenim dos barrets i boles numerades des del nombre 1 cap endavant. El problema consisteix en posar la major quantitat possible de boles als barrets amb dues condicions:
* les boles es van posant dins dels barrets en ordre, primer la bola 1, després la bola 2, etc
* per posar una bola en un barret, el valor de la bola ha de ser diferent al valor de les sumes que es poden obtenir a partir de dues boles que hi ha dins.

Posem un exemple:




Imatge 1. La bola 1 ha estat posada al segon barret,
Imatge 2. Les boles 2 i 3 han estat posades al primer. Ara cal posar la bola 4: pot anar a qualsevol dels dos barrets. Es tria el primer.



Imatge 3. On anirà el 5?: No es pot posar al primer barret atès que les boles 3 i 2 sumen 5 per tant haurà d'anar al segon barret.
Imatge 4.  En intentar posar la bola 6 s'acaba el joc ja que no es pot posar posar ni al primer ni al segon barret.

Proveu-ho ara vosaltres: fins a quina bola heu arribat? heu aconseguit posar el 6? i el 7? Oi que també és possible aconseguir una distribució de fins a 8 boles en dos barrets?

El problema pot continuar amb tres barrets (que és l'exemple que veureu al vídeo que hi a continuació fet amb alumnes de "grade 2"), amb quatre, amb cinc, etc. Tot i que fer-ho amb tres ja es un bon problema. 



Problema 2: Gratacels alineats  (adaptació del problema de Dudeney dels tres punts no alineats)

Col·locar 8 edificis sobre un paper puntejat de 4x4 de manera que no hi hagi tres edificis en línia recta.

Aquesta és una de les 4 solucions
Cal dir que el que es planteja a l'activitat no és solament trobar una solució sinó trobar-les totes. Us podeu divertir una estona resolent el problema o posant-lo als vostres alumnes també amb graelles de 5x5 o més grans.

Podeu veure un vídeo sobre aquest problema a l'aula (en anglès) en "grade 1". Clicar imatge per accedir a vídeo (en anglès)


D'on surt aquesta proposta?
Aquests problemes pertanyen a una col·lecció més amplia, que proposa un problema d'aquest tipus per nivell,  que hem conegut gràcies al James Ward (@jimmybcn2) i que podeu trobar a: http://mathpickle.com/unsolved-k-12/

2 comentaris:

  1. Trobo molt interessant el post. En concret m'he entretingut amb el primer problema de dos pots, i trobo molt interessant veure les diferents maneres de representació que fa la gent. A mi m'ha costat pensar quina seria una representació que em tingués en compte totes les possibilitats, i que em permetés trobar que al final he arribat a una solució màsxima única..
    Com ho heu fet vosaltres? Crec que amb el de 3 pots ja deu ser més entretingut...

    ResponElimina
  2. Tens raó, Laura, amb tres barrets és força més entretingut... encara que intentar col·locar 8 boles en dos barrets ja no és trivial (1-2-4-8 i 3-5-6-7, oi?).

    El que ens va tenir una bona estona pensant-hi és que tal com s'enuncia el problema en la pàgina de mathpickle les solucions no són els nombres de Schur que apareixen a l'article esmentat al post sinó els "nombres dèbils de Schur" (http://www-lisic.univ-littoral.fr/~robillia/Publis/EA11.pdf) que auguren que amb tres barrets podrem col·locar fins a 23 boles!! (1-2-4-8-11-22, 3-5-6-7-19-21-23 i 9-10-12-13-14-15-16-17-18-20)

    ResponElimina