24 de setembre de 2012

Resta portant-ne (IV) una proposta molt engrescadora

Càlcul en columnes
Un dels debats eterns en l'ensenyament de les Matemàtiques a Primària és el paper, les dificultats i les metodologies que implica l'aprenentatge dels algorismes estàndard. Serveixi com a exemple paradigmàtic la resta portant-ne, protagonista absolut dels darrers 40 anys i tema del post "estrella" (el més visitat) d 'aquest bloc.

Segurament aquesta excessiva durada del debat té a veure amb les implicacions socials i escolars que representa el paper central que els algorismes escrits tenen tant per a pares com per a alguns mestres. Però deixant de banda el seu paper com a contingut el problema dels algorismes estàndard a l'escola es pot resumir en aquesta frase: "l'algoritmització prematura provoca passivitat cognitiva". Dit en altres paraules: presentar els algorismes abans de temps potencia una "actitud d'espera" en els alumnes. 

Actualment sembla que comença a haver un consens: apostar per l'endarreriment en la presentació dels algorismes estàndards i resoldre les situacions aritmètiques que es puguin presentar amb estratègies més transparents. Això permet que els alumnes lliguin les seves estratègies emergents amb els instruments de càlcul que utilitzen.

Un d'aquests instruments és l'anomenat càlcul en columnes al llibre de l'Institut Freudenthal Childrens learn Mathematics . Un instrument en el que s'aprofiten els coneixements que els alumnes tenen del sistema posicional (unitats, desenes i centenes) per obtenir el resultat de les operacions. 

Sumar en columnes


Aquesta és l'anomenada suma en columnes. Com es pot observar es recolza en el valor real de le xifres segons el lloc que ocupen i no cau en consider-los tots com a dígits (el 4 de 453 són 400 i no 4). Veiem el procés pas a pas:
400 + 200 = 600
50 + 40 = 90
3 + 8 = 11
Per acabar la suma final s'acostuma a fer mentalment: 690 + 11 = 701



Les diferències bàsiques entre el càlcul en columnes i l'algorisme estàndard serien:
  1. L'algorisme en columnes treballa amb quantitats, metre que l'estàndard treballa amb dígits, la qual cosa entra en confrontació directa amb el treball d'identificació de desenes i centenes just en el moment que s'estan coneixent.
  2. L'algorisme en columnes és transparent i s'associa fàcilment amb un context de diners (sumar bitllets de 100, de 10 i monedes d'euro) que és com s'introdueix. L'algorisme estàndard en ser més comprimit no és tan transparent: el "portar-ne una" no és de comprensió immediata.
  3. L'algorisme estàndard és el punt i final d'un procés de compressió, per tant és més eficient, ocupa menys lloc i és un fet cultural important de les Matemàtiques. Per aquestes raons no hi estem en contra, sinó que posem sobre la taula els inconvenients derivats de la seva introducció prematura i les dinàmiques escolars que comporta actualment.
El discurs associat
"Fer sumes" hauria de venir associat a la resolució de problemes i no presentat de manera aïllada en fulls apart o quaderns. Davant un problema com: "En Jaume ha comprat per regalar dos telèfons mòbils. Un, per a la seva dona, que ha costat 453 € i l'altre, per a la seva filla, que ha costat 248 €. Quant han costat en total?" L'alumne té dues tasques: identificar l'operació que cal fer i trobar el resultat utilitzant les estratègies i habilitats que té en aquell moment al seu abast. A l'hora de fer l'operació, els alumnes poden recolzar-se en el context per resoldre la suma, convertint així l'exercitació en la resolució d'un problema.

A l'hora de calcular les sumes parcials apareixen les estratègies emergents dels alumnes, Per exemple: en la suma presentada anteriorment, per fer 400 + 200 poden sorgir diferents estratègies de resolució més sofisticades o no en funció de les habilitats que dominin, per exemple:
  1. 400 + 200 = 600, si domina l'habilitat de comptar de 100 en 100
  2. 400 € + 200 € si es recolza en el context com a mecanisme de seguretat
  3. 4 bitllets de 100 i 2 bitllets de 100 són 6 bitllets de 100, per tant 600 aprofitant l'estructura de poder comptar bitllets.
És important "que parlin ells" explicant com ho han calculat  i que no ens fixem solament en el que està escrit, ja que així discutim, comparem estratègies i podem incidir en millorar-ne l'eficàcia
Presentem un exemple d'un "discurs associat" a l'operació


Resta en columnes i resta portant-ne
En el cas de les restes sense portar-ne el procés és el mateix que en el cas de la suma, amb algun canvi en el discurs. Per exemple utilitzar "em queden" per a identificar els resultats de les restes parcials. Però el gran avantatge que hi veiem és que quan la resta és "portant-ne" els ofereix un model clar, transparent i entenedor per resoldre les restes d'aquest tipus. Veiem un exemple:

Veiem que, per una banda, el context de treballar amb diners estalvia qualsevol tipus d'instrucció directa donada des de fora. Els primers passos són fàcils ja que tenir 400 € i pagar 200 € implica que encara et quedin 200 €. El canvi es presenta a l'hora d'haver de pagar 8 € quan solament en tens 3. De fet no pots: en deus 5 (el vocabulari pot ser el que us sembli més adient) i escrivim "- 5", associant el signe "-" a l'expressió "en dec". Un cop fetes les restes parcials el càlcul últim és senzill: "si em queden primer 200 € i després 10, me'n queden 210 i si en dec 5, al final em quedo amb 205 €"

Idees finals
Hem posat un exemple, el cas en que la dificultat està en les unitats, però s'estén sense dificultat a altres casos ( a les desenes o a desenes i unitats a la vegada) proveu-ho.

Creiem que l'algorisme en columnes és una gran alternativa per a solucionar les operacions a cicle inicial ja que globalitza la comprensió del sistema de numeració decimal treballant contínuament amb descomposicions de nombres i dóna un model transparent tant per la suma com per la resta.

De totes maneres cal anar amb compte: estem parlant d'una manera de fer Matemàtiques centrada en resoldre situacions. Si ara s'adopta el càlcul en columnes i d'aquí a 3 anys comencen a sortir "quaderns de càlcul en columnes" per exercitar-lo, ens estem equivocant ja que oblidem el context.

Un últim apunt: solucionant les restes per l'algorisme en columnes desapareix el "contingut" restes portant-ne: no es necessita. Aquest aspecte és específic del algorisme estàndard: quan el dependent de la botiga et torna el canvi d'un bitllet de 50€, en algún moment pensa "en porto una"?

Comentari curricular
La LOE, a Catalunya ha desplaçat la introducció de l'algorisme de la resta portant-ne a Cicle Mitjà. Estem completament d'acord, ja que endarrereix la presentació i això ens sembla positiu, però què passa amb els problemes? deixarem de fer problemes de resta portant-ne? De cap manera: gràcies a la resta en columnes podrem atacar qualsevol problema de resta que es presenti a cicle inicial tal i com fèiem abans, però a més sense necessitat de preocupar-nos per fer entendre un algorisme gens transparent.

Amb aquest post donem per acabada (si és que no hi ha algun canvi inesperat) la sèrie de quatre posts sobre resta portant-ne
Posts relacionats: Resta portant-ne (I), Resta portant-ne (II) i Resta portant-ne (III)

6 comentaris:

  1. M'agradaria molt ensenyar la "resta portant-ne" d'aquesta manera molt més transparent, però em trobo en una situació que crec que no és l'adequada. Els alumnes de 2n que acabo de conèixer ja se'ls ha introduït l'algoritme tradicional, així que ara, malgrat que la majoria no es recorda i es podria tornar a començar, crec que els puc embolicar si els ensenyo d'una altra manera diferent, com seria aquesta proposta. Què en penseu?

    D'altra banda, l'escola no està en un moment idoni per a encetar aquest debat. Tot just acaba d'entrar un nou equip directiu i estan molt enfeinats amb altres aspectes. Els llibres i quaderns amb què treballen utilitzen l'algoritme estàndard.

    Què puc fer?

    Patricia.

    ResponElimina
  2. Algunes respostes:
    Una cosa és prendre la decisió i l'altre trobar el moment adequat per fer-ho. No hi ha pressa.
    Em dius que feu la resta portant-ne a segon quan el currículum del Departament no l'esmenta per a Cicle inicial, per tant potser la primera discussió estaria a fer-ho a 3r i fer la de columnes a segon.
    I finalment, de la mateixa manera que quan fem càlcul mental no deixem apuntar res, també podem fer "càlcul en columnes" on no es poden utilitzar algorismes estàndard, i altres estones utilitzar-los. El més important és endarrerir-los. Ens agradaria que altres lectors donessin idees i es fet un debat interessant.

    ResponElimina
  3. Sóc un alumne de magisteri que l'any passat vaig fer pràctiques i que enguany n'he de tornar a fer.

    L'any passat vaig dur a terme les meves pràctiques a un primer de primària. Per error, en un dels llibres hi va aparèixer una resta portant-ne. En aquell moment ho vaig trobar molt estrany, però els infants hem demanaven com es solucionava.
    Ara, gràcies a vosaltres, crec que ja sabré donar una resposta que ells sabran entendre.

    En quant al comentari anterior, jo li proposaria que introduís altres tècniques de resta com si fos un joc, de manera dinàmica. Ja que no està de més que els infants vegin que hi ha més d'una manera de resoldre un problema.

    ResponElimina
  4. Ens agrada molt saber que som llegits per estudiants de Magisteri sigui per iniciativa pròpia o seguint indicacions del vostre professorat. Tots els suggeriments que ens pugueu fer de cara a que aquest bloc us serveixi seran ben rebuts, així com demandes o preguntes que us puguin interessar que toquem

    ResponElimina
    Respostes
    1. Hola,
      jo sóc mestra de 2n i ara quan tornem de les vacances al llibre de text de mates ens apareix la resta portant-ne. Són llibres, en teoria, actualitzats. Jo no veig als meus alumnes preparats per entendre l'algorisme tradicional, si més no, una part d'ells que són més immadurs. Quan tenim llibres de text ens trobem amb les mans lligades, sobretot de cara a les famílies: nosaltres voldríem endarrerir aquest treball, però l'editorial ho ha posat al 2n trimestre, i com dieu en un dels posts, els pares "ensenyen a restar a casa". Com creieu que hauriem de presentar la resta portant-ne? L'ideal seria poder saltar-nos les parts del llibre de text (si poguessim eliminar-los...)

      Elimina
  5. Creiem que la resposta està en els quatres posts que hem dedicat a la resta portant-ne. De totes maneres un parell d'idees
    1. La resta portant-ne no està plantejada fins a tercer en l'actual currículum del Departament d'ensenyament. Per tant potser o hauríeu de canviar de llibre o saltar-se aquest contingut
    2. El que si que cal continuar fent són els problemes de resta que normalment fèieu abans, per exemple
    - Tornar el canvi de 32€ si ens donen un bitllet de 50€ els alumnes el saben fer comptant cap amunt.
    - Introduir la resta sobre la recta numèrica amb l'estratègia de salts, etc
    Si teniu algun dubte ens podeu escriure al nostre mail
    salut

    ResponElimina