11 de febrer de 2013

"Simplificaciones extrañas"


Aquest és el títol d'una de les activitats que proposa Fernando Corbalán en "Matemáticas cercanas", un CD editat al 2012 per a "Cuadernos de Pedagogia" per Wolters Kluwer (ISSN: 0210-0630). Al veure-la en aquest CD ens vam recordar que també apareixia a la columna del Corbalán al diari "Heraldo de Aragón" (proposta i solució) i en aquella ocasió la vam trobar tan interessant com ara.

L'activitat de la que parlem tracta de cancel·lacions anòmales, o sigui, simplificacions correctes obtingudes per l'incorrecte procediment de cancel·lar dígits.

En aquest vídeo s'explica la qüestió:


A l'article "Errores correctos en la simplificación de fracciones: reflexión sobre algunas prácticas docentes en matemáticas" de Jesús Beato Sirvent publicat al 2010 a la revista SUMA (nº 63, pàg 35-41) es fa una interessant anàlisi d'aquesta qüestió i la relaciona amb el ja conegut acudit gràfic:
Segons Wolfram Mathworld les fraccions amb denominador menor que 1000) que admeten aquestes simplificacions són (en ordre creixent de numerador): 13/325, 16/64, 19/95, 26/65, 124/217, 127/762, 138/184, 139/973, 145/435, 148/185, 154/253, 161/644, 163/326, 166/664, 176/275, 182/819, 187/286, 187/385, 187/748, 199/995, 218/981, 266/665, 273/728, 275/374, 286/385, 316/632, 327/872, 364/637, 412/721 i 436/763

Aquí no s'inclouen casos trivials com 30/50 o 77/77 però n'hi ha d'altres que tampoc hi apareixen
www.futilitycloset.com/2009/02/15/cancel-that/
www.futilitycloset.com/2011/06/15/canceling-zeros/
www.futilitycloset.com/2011/04/12/cancel-that-2/
www.futilitycloset.com/2013/02/07/anomalous-cancellation/
http://www.futilitycloset.com/2008/06/01/math-notes-46/

El motiu pel qual no estan moltes d'aquestes fraccions en la llista de Wolfram és la mateixa per la qual no hi apareix 49/98 (esmentada tant al vídeo de James Tanton com a l'article de Beato): 49/98=4/8 és correcte però 4/8 no és irreductible.

A l'article que a aquest tema dedica Thomas Osler "Lucky fractions: Where bad Arithmetic gives correct results" es presenten altres exemples que no apareixen a llista de Wolfram (en aquella llista l'únic exemple on el numerador té 2 xifres i el denominador en té 3 és 13/325 però Olsen esmenta tres exemples més 83/332=8/32, 27/756=2/56 i 39/975=3/75, tres casos en que la fracció obtinguda no és irreductible).

1 comentari:

  1. També es poden fer cancel·lacions anòmales una mica diferents a les presentades a l'entrada anterior.
    Per exemple, a l'àmbit dels exponents: http://www.futilitycloset.com/2007/10/19/square-deal/
    http://www.futilitycloset.com/2007/07/24/math-notes-18/
    O a l'àmbit de les derivades d/dx (2x) = 2

    ResponElimina