26 de març de 2014

Pràctica productiva: equacions de segon grau

Al post Pràctica productiva i Pràctica reproductiva ja vam comentar com es pot fer l'imprescindible treball relacionat amb destreses bàsiques ambientant-lo en la resolució d'un problema. En aquella ocasió ens centràvem en destresses aritmètiques i en Primària (encara que el problema que allí es presenta "Diffy" l'hem proposat també al primer cicle de l'ESO amb molt bon resultat), avui la proposta és centrar-nos en destresses algebraiques i en el segon cicle de l'ESO (sí! aquí també hi ha lloc per convertir la pràctica reproductiva en productiva)

Ensenyem als nostres alumnes a resoldre equacions de segon grau i després cal que practiquin aquesta destressa. Per què no substituir per preguntes en que la cerca de patrons i regularitats i l'establiment de conjectures juguen un paper fonamental les llargues llistes d'equacions que han de resoldre simplement aplicant una fórmula?

Un exemple de fitxa de treball
  1. Tria tres nombres a, b i c de tal manera que b=a+c. Resol l’equació ax2+bx+c=0. Fes-ho amb altres ternes de nombres. Què observes? 
  2. Tria tres nombres a, b i c de tal manera que a+b+c=0. Resol l’equació ax2+bx+c=0. Fes-ho amb altres ternes de nombres. Què observes? 
  3. Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
      • x+ 7x + 12 = 0 i 12x+ 7x + 1 = 0
      • x– 5x + 6 = 0 i 6x– 5x + 1 = 0 
      • 2x– 7x + 3 = 0 i 3x– 7x + 2 = 0
      • x– 13x + 42 = 0 i 42x– 13x + 1 = 0 
  4. Resol aquestes equacions i conjectura alguna conclusió 
        • 7x– 50x + 7 = 0 
        • 6x– 15x + 6 = 0 
        • 4x– 17x + 4 = 0 
        • 9x– 30x + 9 = 0
  5. Una equació de la forma ax2+bx+c=0 té coeficients 1, 2 i 5. Què és més probable: que tingui solucions reals o no? 
  6. Omple la taula:


Els nostres alumnes podran arribar a diferents conclusions: 
  • a la proposta 1: ax2+bx+c=0 si b=a+c sempre té una solució igual a -1
  • a la proposta 2: ax2+bx+c=0 si a+b+c=0 sempre té una solució igual a 1
  • a la proposta 3: quan són reals, les solucions de ax2+bx+c=0 són els inversos de les solucions de cx2+bx+a=0
  • a la proposta 4: quan són reals, les solucions de ax2+bx+a=0 són dos nombres inversos ente si
  • a la proposta 5: per analitzar si les solucions són reals o no, les sis equacions que tenen aquests coeficients es poden classificar en tres grups segons qui ocupi el lloc del coeficient b 
  • a la proposta 6: la suma de les solucions de ax2+bx+c=0 coincideix amb l'oposat de b/a i el producte de les solucions coincideix amb c/a
I alguns dels nostres alumnes podran, fins i tot, justificar que aquestes conclusions són vàlides sempre.

Afegitò: una setena proposta passa per relacionar les solucions de ax2+bx+c=0 amb les de ax2bx+c=0
Quina relació hi ha entre les solucions de les següents parelles d’equacions de 2n grau? 
    • x+ 7x + 12 = 0 i x 7x + 12 = 0
    • x– 5x + 6 = 0 x+ 5x + 6 = 0 
    • 2x– 7x + 3 = 0 i 2x+ 7x + 3 = 0
    • x– 13x + 42 = 0 i x+ 13x + 42 = 0 
Una vuitena proposta: Si en cada requadre posem un 1, un 2 i un 3 ¿quines solucions racionals es poden obtenir?
Solució:

  • 1x2 + 2x - 3 = 0 solucions: 1 i -3 
  • 2x2 + 1x - 3 = 0 solucions: 1 i -1/2 
  • 3x2 + 2x - 1 = 0 solucions: -1 i 1/3 
  • 3x2 + 1x - 2 = 0 solucions: -1 i 2/3
La pràctica productiva també cap en un examen:
Resol x2–11x+24=0, 2x2–11x+12=0 i 4x2–11x+6=0.
Podries dir quines són les solucions de 8x2–11x+3=0 i 16x2–11x+1.5=0 sense resoldre-les?





1 comentari:

  1. Una ampliació a la 5 és generalitzar-ho: si a, b i c són nombres reals qualsevol... quin dels casos és més probable:

    a) Cap solució real.
    b) Dues solucions reals iguals.
    c) Dues solucions reals diferents.

    pd: Per a simplificar-ho una mica, podem fer que el polinomi sigui mònic.

    ResponElimina